两条直线重合条件的运用

在《平面解析几何》课本中、两条直线平行和垂直的条件运用得比较充分，而对两条直线重合的条件则运用得不够．这在教与学两个方面都应引起汪意．下面想从三个方面谈一谈两条直线重俣条件的运用．1求直线的方程例1设在同一个坐标平面上的两个动点p（x，y）、Q（X’，y’），它们的坐标满足：x’＝x＋2y＋1，y’=2x＋3y－1．当动点P在不垂直于坐标轴的直线ｌ上移动上，动点Q在与直线ｌ垂直且过点A（1，2）的直线ｌ’上移动，求直线ｌ的方程．用设亘线l的S程为：Ax十By＋C—0①则直线l’的方程为：B（x1）A（yZ）＝0＠把已知X’、／的表…     

一类极值问题巧解

1问题的提出不少资料上有这样一道题：“过点P（1，4）作直线交x轴正半轴于A，交y轴正半轴于B，求：（1）DO火I叫OBD的最小值；（2）求bOAB面积的最小值．”对求DAB的最小值却无处涉及，从几何图形上看，这个问题解的存在性是确定无疑的，能否用初等数学知识解答这个问题？答案是肯定的，现解答如下：解设点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），那么直线的方程为3＋3—l，将点P的坐标代人得“十子一1，变形得b一一斗（显然aMI），这样我们有＃op。lmtr。。＄、gb％。ff。ljRt’＝9。t一7，都是要求t—ZSM·这样我们有，当t—…     

对《有心圆锥曲线切线的一个性质》一文的补充

文[1]给出了椭圆和双曲线切线的一个性质,笔者经过思考还发现抛物线切线的一个性质,算是对文[1]的补充和完善. 性质1若P为抛物线y2=2px（p〉0）上不同于坐标原点O的任意一点,直线PO交直线l：x=t于点M,直线PN⊥直线l,垂足为N,以点P为切点的切线交直线l于点Q,则Q为MN的中点.证明如图1,设P（x0,y0）,则y20=2px0,N（t,y0）.     

构造方程 出奇制胜

在解析几何中，有一类问题若采用构造方程法求解，规律明显，方法巧妙，事半功倍．一般地，此类题有下面两个特征：题目的图形特征：两点失第三点；1．描述第三点的量为系数；构造的方程特征2.描述两点的两个量为根．例1过圆（x-a）2＋（y—b）2=r2（r＞0）外一点P（x0，y0）作圆的切线PA、PB，A、B为切点，求切点弦AB所在的直线方程．解题目的图形特征：两点人B夹第三点P．如图1所示．设A（X1，y1），B（Bx2，y2），则过A点的切线PA的方程为：（x1-a）（x-a） （y1-b）（y—b）=r2，即（x—a）x1 （y-b）y1=a（x—a）＋b（y—b）＋…     

各抒己见觅真支

师：这次考试中有道选择题，是1997年高考文科第（7）题（又见文[1]），大家的选择答案可谓”两边倒”现在请同学们就此题的选择，各抒已见、以理晓人，弄清楚孰对孰错，对在哪里．错在何处；8目设函数y＝f（x）定义在实数民上，则函数y一人x－1）写x一人l－J的图象关于（）（A）自经y＝0对你（B）围线。＝0对你（C）直线y＝l对称（D）直线。＝1对称甲：先作y＝j’x）的图象关于y铀的对那，得到y一人一x）的图象，再把x一八一x）的图象问在平移1个率应，即得y一八一x＋1）的图象，政选（B）．Z：甲同学在第二步作”平接受澳’的，万向用…     

由一道解析几何例题的解答所想到的

现行高中课本《平面解析几何》（必修）P38页中有这样一道例题：已知两条直线：l_1：x＋my＋b＝0，l_2：（m－2）x＋3y＋2m＝0．当m为何值时，l_1与l_2（i）相交；（ii）平行；（iii）重合．课本给出的解题过程是：解将两直线的方程组成方程组：解得m＝3．（i）当m≠3时，方程组有唯一解，l_1与l_2相交．（ii）当m＝－1时，方程组无解，l_1与l_2平行．（iii）当m＝3时，方程组有无穷多解，l_1与l_2重合．其实，当m＝2或m＝0时，这两条直线也相交，这正是及的分母为0的倩况．因此这类问题还应注意对分母为零的情况的讨论．下面，我们不妨再…     

直线一题 细品深究

题 已知直线l过点P（2,1）,且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,0为坐标原点,若l与直线y=x（x〉o）交于点Q,求当pq/1＋pa/1取最大值时l的方程为.     

如何对曲线方程中变量的取值范围进行说明

高二的同学在求曲线（或点的轨迹）方程时，往往对于什么时候要对方程中变量的取值范围进行说明以及如何说明感到棘手．本文对这个问题谈点看法，供大家参考．1在什么时住必须说用？我们知道，如果：1．曲线C上任意点M的坐标（X。，y。）都是方程f（x，y）一0的解；2．以方程／（l，y）＝0的任意解（11，川）为坐标的点M（11，yi）都在曲线C上．那么八x，y）一0就是曲线C的方程．但有时我们求出的方程虽然满足条件1，却不满足条件2．它存在这样的解（X”，y”），以（．T”，y“）为坐标的点并不在曲线C上．这时就必须对方程中变量的取…     

一道源于教材、高于教材的好试题

浙江省 2 0 0 3年高中证书会考试题 3 3 ,是一道源于教材高于教材的好试题。题目 :已知椭圆C1 :x212 y26=1,圆C2 :x2 y2 =4,过椭圆C1 上的点P作圆C2 的两条切线 ,切点为A、B .( 1)如图 1,当点P的坐标为 ( -2 ,2 )时 ,求直线AB的方程 ;( 2 )当点P(x0 ,y0 )在椭圆上运动但不与椭圆的顶点重合时 ,如图 2 ,设直线AB与坐标轴围成的三角形面积为S ,问S是否存在最小值 ?如果存在 ,请求出这个最小值 ,并求出此时点P的坐标 ;如果不存在 ,请说明理由 .分析 :( 1)直线AB方程为 :y =x 2 ;( 2 )设A(x1 ,y1 ) ,由题意 ,及切线PA、PB的性质 ,连…     

2007年全国高中数学联合竞赛一试第14题解法集锦

2007年高中数学联赛一试第14题是这样的一道解析几何问题：已知过点（0，1）的直线l与曲线C：y=x＋1/x（x〉0）交于两个不同点M和N，求曲线C在点M和N处的切线的交点轨迹．     

直线方程中一组有趣的最值问题

动直线l过定点P（a,b）（a,b〉0）,1分别交x轴正半轴、y轴正半轴于A、B两点,l的斜率为k．有下列性质成立：     

二次曲线弦的中点问题与代点相减法

直线与二次曲线相交所得弦的中点的有关问题，是解析几何中的重要内容，也是历年高考命题的热点之一，其解法丰富多采，千姿百态．本文仅不常用的代点相减法作一些探讨．1关于代点相减法及其解题模式所谓代点相减法，就是将二次曲线弦的端点坐标代入二次曲线方程，然后借助代数运算实现解题目标．其一般模式是：（1）令弦的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），将其坐标代入二次曲线的方程f（x,y）=0，得f（x1，y1）=0，f（x2，y2）＝0．（2）将（1）中所得的两式相减，并通过因式分解将其整理为只含有x1＋x2，y1＋y2，x1-x2和y1-y2的式子．…     

抛物线切线的一个性质

<正>性质已知抛物线C:y2=2px(p>0),斜率为k的动直线l与抛物线C交于不同两点M、N,过M、N做抛物线的切线,则切线交点的轨迹为一条平行于x轴的射线.(特别地:当直线斜率不存在时,轨迹为x轴的负半轴).证明设M(x1,y1),N(x2,y2),     

综合题新编选登

已知函数f（x）=ax^3＋bx^2＋c（a，b，c∈R，α≠0）的图象过点P（-1，2），且在点P处的切线与直线x-3y=0垂直．     

一道圆锥曲线题的推广

题目已知椭圆 C：x2/a2＋y2/b2=1（a〉b〉0）的离心率为1/2,以原点为圆心,椭圆的短半轴Z为半径的圆与直线x-y＋√3=0相切．     

多方向推导点到直线的距离公式

人教版高中数学第二册（上）P51： 在平面直角坐标系中,如果已知某点P的坐标为（x0,y0）,直线l的方程为Ax＋By＋C=0,怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P到直线l的距离呢？     

对一道上海高考试题的探讨

（2009年上海第18题）过圆C：（x-1）2＋（y-1）2=1的圆心，作直线分别交x、y正半轴于点A、B，△AOB被圆分成四部分，如图1．若这四部分图形面积满足SI＋SⅡ=SⅡ＋SⅢ，则这样的直线AB有_______．     

点关于直线对称点的向量公式

1．公式 若点P（x0,y0）关于直线l：Ax＋By＋C=0的对称点Q（x1,y1）,则     

方程x0x＋y0y=r^2表示的轨迹

已知圆O：x^2＋y^2=r^2,点P（x0,y0）． 1．当点P在圆t时,我们知道x0x＋y0y=r^2。为过点P（x0,y0）的圆O的切线方程．     

为何韦达定理不适用

题目已知圆x2＋y2=4与抛物线y2=ax（a＞0）相交于A、B两点，且IABI—2乃，求该抛物线的焦点坐标．解设A、B两点的坐标分别为：（11，yi），（xZ，yZ），由于题设条件中的圆和抛物线均关于2轴对称，故有2；一22＞0，y．—一yZ。＿．．I＿－．－－－－－－fu＿＿。＿M且Iyll—lyZI一一一J3，不妨取yi一J3，趴x＼yL4得x，＝1或x＝－1（一，将A点坐标（1，厄）代入y‘一。得。一3，rt抛物线的焦点坐标为（号，0）．’，”－”－””””’”””——””””4’一””笔者在课堂上讲完该解法后，让学生用韦达定理试试，立即有学生提出该…