Teoria analitica del campo elettromagnetico

Sunto Nell’Introduzione si illustra l’opportunità di fondare la teoria matematica del campo elettromagnetico sullo studio degli integrali dell’equazione rot K+mK=Φ, con m costante complessa non nulla. Una tale scelta si manifesta infatti particolarmente adatta ai problemi posti dalla tecnica delle onde elettromagnetiche. La Teoria dell’equazione omogenea rot K+mK=0 può essere sviluppata secondo due indirizzi, uno integrale e l’altro fondato sullo sviluppo del vettore K in serie di opportune funztoni. Ciò in analogia con quanto avviene nella Teoria delle funzioni analitiche di una variabile complessa. La presente memoria appartiene totalmente all’indirizzo integrale. Nella Parte Prima si deduce un’espressione integrale la quale fornisce il valore assunto dal vettore K in un punto di un dominio regolare a partire dalla conoscenza dei valori da esso assunti sul contorno. Si esaminano le proprietà della relazione integrale stabilita. Fra l’altro si deduce che quando un integrale dell’equazione rot K+mK=0 è continuo in un campo con le sue derivate parziali prime esso vi è analitico. Nella Parte Seconda si stabilisce una condizione necessaria e sufficiente affinchè esista in un dominio V di contorno S un vettore K, continuo in V, soddisfacente in V — S all’equazione rot K+mK=0 (m non reale) e riducentesi sul contorno a un vettore G assegnato. La condizione ottenuta è una relazione integrale fra i valori assunti da G sul contorno S di V. La Parte Terza è dedicata alla traduzione in equazioni integrali dei problemi posti dall’elettromagnetismo. Le equazioni integrali si riferiscono ai valori assunti dai campi elettrico e magnetico sulle superfici di separazione dei diversi mezzi, ciascuno dei quali omogeneo e isotropo, nei quali il campo elettromagnetico si estende. I teoremi stabiliti nella prima e seconda parte della memoria consentono di affermare la necessità e la sufficienza delle equazioni integrali scritte. In tutta la memoria, accanto all’equazione rot K+mK=Φ, viene pure considerato il sistema di equazioni rot K=Φ, div K=f relativo ai campi statici.     

Sur un thÉorÈme gÉnÉral relatif aux Équations intÉgrales de premiÈre espÈce et sur quelques problÈmes de physique mathÉmatique

Seguendo le moderne vedute sulla teoria dei fronti d'onda, si esamina il sistema differenziale quasi lineare, trascritto con le notazioni tridimensionali, della dinamica di un fluido ideale relativistico in condizioni adiabatiche. Le velocità normali di avanzamento, nei tre modi di propagazione ottenuti, sono la naturale estensione di quelle stabilite nell'ambito classico. I fronti d'onda epicentrali, in due modi di propagazione in uno stato costante del flusso relativistico, sono ellissoidi mobili ad assi crescenti linearmente col tempo. Nei casi statici, tali ellissoidi si riducono a sfere con raggi diversi da quelli che si hanno in fluidodinamica classica. Infine si considera il legame fra la velocità normale di avanzamento e la velocità normale di propagazione del fronte d'onda, deducendo di quest'ultima la forma covariante.     

Funzioni tensoriali di un vettore e leggi elementari dell’elettromagnetismo

Sunto Si espone un algoritmo particolarmente adatto per lo studio delle leggi elementari dell’elettromagnetismo, sia allo scopo di stabilire il grado di indeterminazione da cui sono affette, sia allo scopo di determinare tutte le leggi elementari dotate di requisiti assegnati. Nel primo capitolo si esaminano le proprietà generali delle leggi elementari e si classificano. Nel secondo capitolo si studiano i tensori del secondo e del terzo ordine associati alle leggi elementari. Tali tensori sono tutti funzioni di un vettore e godono delle proprietà che al mutare della terna di riferimento le nuove componenti del tensore, espresse in funzione delle nuove componenti cartesiane del vettore, godono dell’invarianza formale. Tale proprietà si traduce in un sistema di equazioni funzionali, che vengono risolte. Si ha così che le 9 (27) componenti del tensore di secondo (risp. terzo) ordine possono essere espresse mediante una combinazione lineare di sole 3 (risp. 7) funzioni del solo modulo del vettore, che vengono chiamate “funzioni di distanza” del tensore. La ricerca delle leggi elementari dotate di proprietà assegnate dà luogo a sistemi di equazioni differenziali fra le componenti dei tensori associati alle dette leggi. Tali sistemi constano talvolta di un enorme numero di equazioni alle derivate parziali del primo o del secondo ordine. Tuttavia la sopradetta conoscenza della semplice struttura dei tensori incogniti ed un appropriato procedimento di calcolo permettono di pervenire alle soluzioni in modo relativamente semplice, rispetto alle complessità che la questione offre a prima vista. Alcuni esempi vengono illustrati. Nel terzo capitolo si risponde in modo esauriente all’antica questione relativa all’indeterminazione della prima legge elementare diLaplace. Nel quarto capitolo si determinano le espressioni generali di particolari insiemi di leggi elettrodinamiche. Ad Antonio Signorini nel suo 70^mo compleanno.     

Sui sistemi continui nel caso asimmetrico

Sommario Si prosegue da un punto di vista generale una ricerca di G. Grioli sulla elasticità asimmetrica con deformazioni finite (e con momenti interni di contatto). Tra l'altro si fanno osservazioni sull'energia libera e su un certo parametro τ in connessione con le equazioni costitutive e col problema della loro determinazione sperimentale. Si caratterizza pure il conformarsi dei materiali considerati al principio di isotropia fisica dello spazio. Si confrontano le relazioni trovate con altre differenziali già note, delle quali si determina l'integrale generale. Tra l'altro si dà una caratterizzazione di tipo energetico della simmetria degli sforzi derivanti da un potenziale elastico.     

Soluzioni cilindriche nella teoria dei plasmi anisotropi

Sunto Si determinano delle classi di soluzioni delle equazioni descriventi nell'ambito della teoria di Chew, Goldberger e Low un plasma anisotropo con condizioni al contorno relative ai due casi: (a) dominio cilindrico indefinito, (b) dominio cilindrico finito. Si danno poi le condizioni necessarie e sufficienti per la stabilità delle soluzioni trovate. Lavoro eseguito nell'ambito della attività dei Gruppi di Ricerca Matematica del C.N.R. presso l'Istituto di Matematiche Applicate della Facoltà di Ingegneria della Università di Pisa.     

On the stability of couette-benard M.H.D. flows of binary mixtures

Summary We study a class of Couette-Benard M.H.D. flows of a binary mixture in a plane slant layer. By using the theory of semigroups of linear bounded transformations, we prove that the initial-value problem forfinite perturbations has one and only one solution belonging to a suitable Banach space. Finally, we show the inconditionated asymptotical stability in norm of such a solution.

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Sunto Si studia una classe di moti magnetoidrodinamici alla Couette-Benard di una miscela fluida binaria in uno strato piano obliquo e, con le tecniche della teoria dei semigruppi di trasformazioni lineari limitate, si dimostra, in un opportuno spazio di Banach, l’esistenza e l’unicità della soluzione del problema di evoluzione per perturbazionifinite e l’incondizionata stabilità asintotica in norma di tali moti.

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Entrata in Redazione il 19 Ottobre 1974.

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Work performed under the auspices of the National Research Council (C.N.R., Gruppo Nazionale per la Fisica Matematica).     

Fondamenti della geometria sulle varietà algebriche

Sunto Vengono qui continuaté le ricerche dell'Autore, dal 1909 in poi, intorno alla geometria sopra una varietà algebrica del corpo complesso e si costruisce in particolare una esauriente teoria delle irregolarità della varietà, fondata sia sopra una loro definizione geometrico-topologica, come sopra una loro definizione trascendente, stabilendosi inoltre l'equivalenza delle definizioni. A Giovanni Sansone nel suo 70^mo compleanno. Questa Memoria, preparata in occasione del giubileo scientifico del CollegaGiovanni Sansone, ed a lui dedicata, vuole anzitutto attestare la mia, anzi la nostra gratitudine, verso chi mi è stato efficientissimo Condirettore per tanti anni, fin da quando cioè, per una deplorevole disposizione, restai solo nel Comitato Scientifico degli ? Annali ?, divenendone automaticamente, senza mia volontà, unico Direttore. Il Prof.Sansone fu il primo, in ordine di tempo, che scelsi per associarlo a me nella Direzione dell'antico e celebrato periodico. Con lui, a nostra volta, scegliemmo d'accordo, a mano a mano, per successive cooptazioni, gli altri Colleghi. All'abilità e alla solerzia tecnico-organizzativa di lui, siamo quasi interamente debitori dell'odierno prestigio e dell'attuale diffusione del nostro Periodico, oggi patrimonio prezioso, materiale e morale, della matematica italiana. La Memoria è stata preannunciata da una I Nota riassuntiva, contenente però quasi tutto l'essenziale, pubblicata nei Rendiconti dell'Accademia Nazionale dei Lincei, seduta del 9 maggio 1959, e da una II Nota pubblicata nei Rendiconti della stessa Accademia, seduta del 14 settembre 1959. I fondamenti della parte più moderna della geometria sopra una varietà (dell'ordinario corpo complesso) i cui inizi spettano, come ben si sa, aNoether, furon posti in luce dalle seguenti Memorie dall'A. e da quelle di altri, con esse più o meno immediatamente collegate. Citazioni più circostanziate trovansi nelle Memorie cui alludiamo dell'A., e cioè:Fondamenti per la geometria sulle varietà algebriche: I contributo, Rend. del Circolo Matematico di Palermo, 1909. —Fondamenti per la geometria sulle varietà algebriche: II Contributo, Annali di Matematica, 1951. —Fondamenti per la geometria sulle varietà algebriche: III Contributo, Annali di Matematica, 1956. Ivi son richiamate anche le Note preliminari dei Comptes Rendus, 1955, 1956, sulle forme differenziali di 1^a specie. —Fondamenti per la geometria sulle varietà algebriche: IV Contributo. La teoria delle irregolarità delle varietà algebriche, Rend. Acc. Naz. dei Lincei, 1956. —Fondamenti per la geometria sulle varietà algebriche: V Contributo. Ancora sulla teoria delle irregolarità, Memorie dall'Accademia Nazionale dei XL, 1957–58. I risultati della presente Memoria potranno essere confrontati con quelli conseguiti daE. Marchionna nell'Appendice ch'egli, aderendo alla mia richiesta, ha aggiunte alla fine del mio Trattato citato nella nota (²) a piè della pag. 3 della presente Memoria (precisamente l'Appendice diMarchionna va da pag. 395 in poi). Il Trattato ha potuto essere completamente stampato, mercè la solerte cooperazione di lui, sia pel coordinamento d'una parte della materia, come per la correzione d'una buona metà delle bozze del volume, ch'egli ha preso in consegna quando il dattiloscritto non era neppure composto tipograficamente per intero. Per tutto ciò rinnovo qui al Prof.Marchionna l'espressione della mia viva gratitudine, alla quale si associeranno di certo quanti troveranno nel volume qualcosa di utile pei progressi della geometria algebrica, sia nel dominio classico, come in quello astratto. A proposito dei risultati contenuti nell'Appendice IV, devo ricordare che la relazione fra la somma dalle due ultime irregolarità diV _d, la deficienza del sistema canonico parziale staccato sopra una ipersuperficieE elementare, dal proprio sistema aggiunto |E' |, nonchè la sovrabbondanza del sistema |E' | viene conseguita pure per via algebrico-geometrica, diversa da quella qui esposta, nella pag. 429 dell'Appendice predetta e precedentemente nel lavoro diMarchionna Sul teorema di Riemann-Roch, ecc. (Nota III), Lincei, 1958, p. 673. Una delle vie indicate daMarchionna, onde pervenire alla relazione cui s'allude, presuppone tuttavia, in un secondo tempo, il teorema (diKodaira) di regolarità dell'aggiunto. Questosecondo modo di deduzione permette di ottenere più rapidamente il risultato, ed ha il vantaggio di conseguirlo più in generale, in relazione ad una generica ipersuperficieA non singolare, tracciata sopra unaV _d, priva di punti multipli; mentre qui (come nella Nota lincea preventiva) c'interessa di conseguire la relazione, di cui al successivo n. 2, con una dimostrazione del tutto autonoma. nel quadro della geometria algebrica classica, in quanto sopra la relazione cui si allude, noi vogliamo dipoi poggiare la deduzione di parecchie altre proprietà, stabilite daKodaira con mezzi di analisi, che si allontanano molto dal quadro predetto. Di ciò diremo più ampiamente nella presente Memoria e nelle Memorie che continueranno la presente.     

I fondamenti della geometria numerativa

Sunto. Costruzione dei fondamenti della geometria numerativa (computo della costanti, conservazione del numero, calcolo simbolico, principio generalizzato diPlücker-Clebsch) dal punto di vista delle teorie (dovute all' Autore), che hanno fatto progredire e rinnovato tanta parte della moderna geometria algebrica (teoria della base, varietà virtuali, sistemi d'equivalenza, teoria generale delle corrispondenze). Teorema d'esistenza delle caratteristiche delle condizioni pure di data dimensione imposte agli elementi d'una varietà algebrica, anche in presenza di elementi degeneri. Applicazioni (teoria delle caratteristiche inerenti a spazi lineari, risoluzione generale del problema delle caratteristiche per le coniche d'un piano, base e modello minimo della varietà degli elementi lineari del piano) (1). Il mio primo lavoro è stato pubblicato negli ? Atti della R. Accademia delle Scienze di Torino ? (vol. XXXV, pag. 774) il 27 maggio 1900. Veramente io avevo già fatto stampare fin dal 1898 mentre ero studente presso una tipografia della mia nativa Arezzo, una noticina sull'estensione dei teoremi diPascal e diBrianchon. Non sapevo allora che l'estensione era nota.     

Sulle condizioni di validità dei metodi di sommazione di Gronwall

Sunto Si studiano le condizioni di validità dei metodi di sommazione(f, g) diGronwall, con ipotesi assai meno restrittive per le funzionif eg di quelle fatte dalGronwall stesso. Si mettono in luce, successivamente, varie proprietà generali relative ai metodi(f, g), sotto le nuove condizioni, e si applicano questi alla teoria del prolungamento analitico di una serie di potenze Lavoro eseguito presso il Seminario Matematico della Scuola Normale Superiore di Pisa.     

Intorno ad un teorema di Hodge sulla teoria della base per le curve di una superficie algebrica

Sunto Si dimostra, con procedimento algebrico-geometrico assai semplice, un teorema diHodge sulla teoria della base per le curve tracciate sopra una superficie algebrica; da questo si traggono poi varie conseguenze, concernenti i gradi virtuali delle curve di una superficie algebrica o delle corrispondenze fra due curve algebriche, il principio di degenerazione diEnriques, e la teoria diSeveri delle corrispondenze fra due superficie algebriche.     

La formalizzazione della nozione di prova e una nuova definizione dell'indipendenza. II

Riassunto La prima parte di questo lavoro è stata pubblicata sul Vol. XVII, N. 9 di questa rivista. In essa si è compiuta un'analisi delle trattazioni dell'indipendenza nella teoria delle probabilità, analisi che ha consentito di individuare tre approcci fondamentali al problema della definizione dell'indipendenza. Ciascuno dei suddetti approcci è stato ampiamente analizzato sia nelle sue trattazioni intuitive sia, quando ciò si verifichi, nelle sue trattazioni formalizzate. Questo articolo consta della seconda, terza e quarta parte del lavoro. Nella seconda parte si espongono intuitivamente le idee di fondo relative alla nozione di ?prova? che si intende introdurre tra i concetti primitivi della teoria delle probabilità. La terza parte è dedicata all'analisi, operata sempre a livello intuitivo, di una nuova definizione d'indipendenza non coinvolgente la nozione di ?probabilità?, definizione che diviene formulabile grazie alla nozione di ?prova?. La quarta parte è infine dedicata alla formalizzazione degli argomenti trattati nella seconda e nella terza parte.

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Summary The first part of this work has been published on Vol. XVII, N. 9 of this review. In the first part we have analysed the well-know developments of indipendence in the theory of probability and we have pointed out the existence of three principal points of view. Each of these points of view has been extensively analysed in its intuitive development and in its formalised development, when there exists one. This paper includes the second, third and fourth part of the work. In the second part we analyse intuitively the main ideas about the concept of ?trial? that we intend to introduce among the primitive concepts of the theory of probability. In the third part we analyse intuitively a new definition of indipendence not involving the notion of ?probability? based on the concept of ?trial?. Finally the fourth part is devoted to the formalization of matters treated in the second and in the third part.

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Lavoro eseguito con contributo del CNR, nell'ambito del gruppo nazionale per le strutture algebriche e geometriche e le loro applicazioni (sezione VII).     

Un teorema di interpolazione; applicazioni ai problemi ai limiti per le equazioni differenziali a derivate parziali

Sunto. Si stabiliscono condizioni atte ad assicurare la validità della (*) dell’introduzione; e si applica la (*) ad alcune questioni connesse alla trattazione dei problemi ai limiti per le equazioni differenziali alle derivate parziali. Lavoro eseguito nell’ambito delle attività svolte nei gruppi di Ricerca matematica del C. N. R.     

Stability and bifurcations of symmetric periodic orbits

Se un problema Hamiltoniano integrabile non degenere, come si può ottenere dal problema dei due corpi in coordinate rotanti, è perturbato con una funzione potenziale simmetrica rispetto ad un asse, le proprietà di simmetria delle soluzioni consentono di semplificare la ricerca, di orbite periodiche. In tal modo si ottiene un teorema di continuazione delle orbite periodiche che fornisce più informazioni di quello classico. La funzione che descrive la simmetria delle orbite è genericamente una funzione di Morse, e le biforcazioni di orbite periodiche simmetriche possono essere descritte in termini di punti singolari e di valori critici di tale funzione. II problema ristretto dei tre corpi ed il problema del satellite in un potenziale non axisimmetrico sono trattati come esempi. Le stesse biforcazioni possono anche essere descritte come singolarità degeneri della funzione generatrice della trasformazione canonica associata all'applicazione di Poincaré, cioè al trascorrere di un periodo sinodico. In tal modo le proprietà di stabilità lineare delle orbite periodiche, la segnatura dei punti singolari della funzione generatrice e l'andamento qualitativo della funzione di simmetria appaiono correlate tra loro. Ne risulta la possibilità di predire, prima di qualsiasi esperimento numerico, non solo la struttura generica delle biforcazioni delle orbite periodiche simmetriche, ma anche la stabilità di tutte le orbite periodiche coinvolte.     

Sui fluidi capaci di elettro-magneto-strizione dai punti di vista classico e relativistico

Sunto Si pongono le basi di una generale teoria dell'elettro-magneto-strizione (con deformazioni finite e coppie di contatto). Inoltre, in particolare, si dimostrano varie proprietà dei fluidi, eventualmente viscosi, capaci di elettro-magneto-strizione e di coppie di contatto; di queste alcune sono estensioni relativistiche (non banali) di teoremi classici, altre vengono dimostrate prima in Fisica classica e poi estese alla Relatività ristretta o generale. Nel presente lavoro sono essenziali, tra l'altro, certi risultati, concernenti il tensore energetico E_αβ del campo elettromagnetico, esposti nella recente nota [9′] dello stesso autore.     

Sul calcolo plurivettoriale negli spaziS n e applicazioni alla meccanica dei sistemi rigidi

Sunto Si stabiliscono alcuni complementi sulle omografie vettoriali e in particolare sulle omografie assiali; si applicano i risultati ottenuti per sviluppare il Calcolo plurivettoriale in modo assoluto, cioè senza l'uso dell'ordinario Calcolo tensoriale. Come conseguenza, si estende allo spazioS _n, conn > 3, l'operatore ∧ (prodotto vettoriale) ed il concetto di vettore di una omografia, finora considerati soltanto nello spazio ordinario. Così si sviluppa una teoria vettoriale che con altre ad essa riattaccantesi si presta utilmente per le indagini geometriche e fisico-matematiche negli spazi a più dimensioni. Infine, come esempio illustrativo, si è fatta una applicazione meccanica, stabilendo i fondamenti della Cinematica dei sistemi rigidi negli spaziS _n, ottenendosi rapidamente una discussione più esauriente di quelle già note.     

Variazioni di segno condizionate e teorema di Fabry

Sunto Si estende il campo di applicabilità della classica condizione sufficiente diE. Fabry per il punto critico sulla circonferenza di convergenza: questa condizione richiede l'ispezione della successione dei coefficienti su una successione di tratti e il computo di certe variazioni di segno. Per ottenere la nostra estensione si introduce il concetto di ? variazione di segno condizionata ? che consente tanto un computo più favorevole quanto la possibilità di ridurre l'ispezione alla parte centrale dei tratti. - 1. Posizione del problema. - 2. Variazioni di segno condizionate. - 3. Condizione unilaterale con quante si vogliono variazioni di segno (Teor. I). - 4. Una funzione ausiliaria. -5. Condizione sufficiente espressa con le variazioni di segno condizionate (Teor. II). -6. Il tratto ridotto (Teor. III, IV e V). - 7. Criter? sufficienti per le serie di potenze non prolungabili (Teor. VI). - 8. Alcuni lemmi noti. - 9. Un nuovo lemma. - 10. Maggiorazione diIIp. - 11. Dimostrazione del lemma principale. - 12. Dimostrazione del Teor. II. - 13. Dimostrazione del Teor. V.     

Geometria proiettiva di elementi differenziali

Sunto. Preliminare allo studio differenziale delle varietà rispetto al gruppo topologico (nel senso indicato nel testo) è quello della totalità delle calotte, di ordine e dimensione fissati, rispetto al gruppo delle collineazioni. La rappresentazione analitica di tali calotte introduce elementi arbitrar? (sia nel riferimento rispetto all' ambiente, sia nella scelta dei parametri sulla calotta). Un'adeguata rappresentazione iperspaziale di quelle calotte nasce dalla considerazione delle calotte eccezionali, e porta a varietà razionali di semplice definizione rispetto alle quali quelle calotte sono rappresentate da spaz? lineari; il gruppo delle collineazioni con un punto fisso nello spazio dato si rappresenta nel gruppo delle collineazioni per cui una di quelle varietà è trasformata in sè. Poichè la rappresentazione geometrica elimina le accidentalità della rappresentazione analitica si ha un modo di riconoscere senz' altro l'esistenza di invarianti relativi a configurazioni di elementi differenziali (anche di dimensioni differenti).     

Sulla geometria d'una superficie poco differente da un ellissoide con applicazione al caso della Terra

Sunto Si assumono come punti corrispondenti, sulla superficieS e ‘sull’ ellissoide, due punti situati su una stessa normale diS, ammettendo che l'angolo delle normali alle superficie in due punti corrispondenti sia una piccola quantità della quale si possa trascurare il quadrato. Si confrontano in questa ipotesi gli elementi metrici diS con i corrispondenti ellissoidici, studiando in particolare le trasformate ellissoidiche delle geodetiche diS. Si fa una applicazione della teoria alla determinazione del ? geoide ? per mezzo delle deviazioni della verticale, ponendo questa determinazione su fondamenti più rigorosi.     

Sull'informazione associata alle esperienze incomplete

Sunto Nell'ambito della teoria dell'informazione senza probabilità, si propone una definizione assiomatica dell'informazione associata ad esperienze incomplete. Si discutono in particolare le proprietà del guadagno di informazione e dell'informazione condizionale, giungendo a caratterizzare con un sistema di equazioni funzionali la classe delle misure di informazione che soddisfano agli assiomi adottati; come caso particolare si ottiene la classica misura di Shannon-Rényi. Lavoro eseguito per la realizzazione del programma del gruppo di ricerca n. 7 del C. N. R.     

Zu einem aufsatz von Y. Hayashi über anisotrope elektromagnetische felder

Riassunto Suggerito da discrepanze evidenti fra esperimento e calcolo, e ben sapendo che esse provengono, in parte, da fenomeni di anisotropia, si cominciano a correggere sistematicamente le teorie con dei supplementi anisotropici. Per questo, le Note, piccole o ampie, che si occupano di problemi di anisotropia, meritano attenzione.

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Résumé Suggéré par d'évidentes discrépances entre expériment et calcul, et sachant bien qu'il proviennent, en partie, de phénomènes d'anisotropie, l'on commence à corriger systématiquement les théories par des suppléments anisotropiques. C'est pourquoi des notes, petites ou larges, qui s'occupent de problèmes d'anisotropie, méritent d'attention.