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本文先给出关于三角形双圆半径的一个恒等式: 定理1 设(?)O(R)、(?)I(r)是△ABC的外接圆和内切圆,AI、BI、CI与对边BC、CA、AB分别交于点D、E、F,与外接圆(?)O分别交于点D'、E'、F',则 相似文献
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定理 设四边形 ABCD的边 AB、BC、CD、DA与对角线 AC、BD的中点分别为 E、F、E′、F′、G、G′,△ BCD、△ CDA、△ DAB、△ ABC的重心分别为 A′、B′、C′、D′,则 AA′、BB′、CC′、DD′、EE′、FF′、GG′七线共点 .证明 如图 1 ,连结EF、FE′、E′ F′、F′ E,图 1则可得 EF ∥=12 AC,F′ E′∥=12 AC.即有 EF∥=F′ E′,故四边形 EFE′ F′是平行四边形 ,于是 EE′、FF′互相平分 .类似地 ,可证明 FF′、GG′互相平分 .故 EE′、FF′、GG′相交于它们的中点 .令 EE′的中点为 I,连结 EC、D… 相似文献
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文[1]曾老师给出了三角形中关于角平分线的一个优美不等式,即定理1 a,b,c是△ABC的三边,wa,wb,wc为△ABC的角平分线,那么有1/(wa4)+1/(wb4)+1/(wc4)≥1/(a4+b4+c4) (1)文[2]安老师把不等式(1)加强为定理2 a,b,c是△ABC的三边,ma,mb,mc为△ABC的中线,那么有1/(ma4)+1/(mb4)+1/(mc4)≥16/(a4+b4+c4) (2)经笔者探究发现三角形旁切圆半径也有以上有趣性质. 相似文献
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文 [1 ]给出如下关于三角形双圆半径的一个命题 :设△ ABC的外接圆半径为 R,内切圆半径为 r,顶点 A、B、C到内心的距离分别为 a0 、b0 、c0 ,则 4 Rr2 =a0 b0 c0 .今给出此命题所引伸出的一个“姊妹”命题 :命题 设△ ABC的外接圆半径为 R,旁切圆半径为 r′,顶点 A、B、C到对应的旁心的距离分别为 a′0 、b′0 、c′0 ,则 4 Rr′2 =a′0 b′0 c′0 .证明 如图 1 ,∵ r′=a′0 sin A2 =b′0 cos B2=c′0 cos C2 ,∴ r′3=a′0 b′0 c′0 sin A2 cos B2 cos C2 1又 △ =12 r′( b c - a) =Rr′( sin B sin C - sin A… 相似文献
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有关凸四边形的一个性质重庆市南岸区四公里小学胡波我们知道,两条相互垂直的直线将长方形分成四个小长方形(如图1),其面积分别为S1,S2,S3,S4,则有S1×S4=S2×S3。S1S2S3S4图1若将两条互相垂直的直线改成对角线,长方形就分成了四个面... 相似文献
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本文先给出关于双圆半径的一个命题 :图 1设△ ABC的外接圆半径为 R,内切圆半径为r,顶点 A、B、C到内心的距离分别为 a0 、b0 、c0 ,则 4 Rr2 =a0 b0 c0 .证明 ∵ r=a0 sinA2 =b0 sin B2=c0 sin C2 ,∴ r3 =a0 b0 c0 sin A2 sin B2 sin C2 . 1∵ △ =12 r( a b c)=Rr( sin A sin B sin C)=2 R2 sin Asin Bsin C,∴ r2 R=sin A .sin B .sin Csin A sin B sin C,易证 sin A sin B sin C=4 cos A2 cos B2 cos C2 ,∴ r2 R=2 sin A2 sin B2 sin C2 ,∴ r4 R=sin A2 sin B2 sin C2 ,2把 2代入… 相似文献
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既有内切圆,又有外接圆的四边形,称为双圆四边形。双圆四边形有一系列有益的结论,其中有几个结论曾作为竞赛题展现在数学爱好者面前,掌握这那结论,可以加深对这类几何图形的了解,增进学习兴趣。本文把这些结论介绍如下,供教学和课余活动的参考。结论1.双圆四边形的对边之和相等。 相似文献
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文[1]为了证明不等式三角形若干“心”的一个性质,给出以下引理:引理设不等边△ABC的外心为O,垂心为H,内心为I,界心为K,则OI=∥12KH.本文拟用向量法将其推广到非等边双圆闭折线中.定理设非等边双圆闭折线的外心为O,垂心为H,内心为I,奈格尔点(即界心)为K,则OI=n-11NH.证明设非等 相似文献
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受文[1]的启发,笔者得到一个关于四边形的优美不等式,现整理出来供读者参考.定理在四边形ABCD中,AC,BD为对角线,则有AC2+ BD2≤1/2[( AB+ CD)2+(AD+ BC)2]①当且仅当四边形ABCD是平行四边形时不等式①取到等号.为证明定理,首先引用文[1]的一个定理,即双十定理凸四边形两条对角线的平方和等于两组对边中位线平方和的2倍. 相似文献
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文[1]给出了四边形如下性质: 定理在四边形ABCD中,G1,G2,G3,G4分别为△ABCD,△CDA,△DAB,△ABC的重心,则S四边形G1G2G3G4=1/9S四边形ABCD. 相似文献
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本文给出关于三角形的内切圆半径的一个新性质 .定理 若 D、E是△ ABC的 BC边上的图 1任意二内点 ,r1、r2 、r3 、r4、r5分别是△ ABD、△ ACE、△ ADE、△ ABE、△ ACD的内切圆半径 ,则 r1r2=r3 - r4r3 - r5.为了证明该定理 ,我们首先给出一个引理 .引理 [1] 若 P为△ ABC的边 BC上的任一内点 ,h为边 BC上的高 ,r、r1、r2 分别为△ ABC、△ ABP、△ ACP的内切圆半径 ,则r =r1+ r2 - 2 r1r2h .(证明略 )下面给出本文定理的证明 .证明 如图 1 ,不妨设△ ABC的内切圆半径为 r,BC边上的高为 h,则由引理可得 :r =r1+ r5-… 相似文献
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圆锥曲线焦半径的一个性质 总被引:1,自引:1,他引:0
圆锥曲线已有很多优美的性质被发现,如何更加深入地研究、发现其性质,笔者的体会是借助电脑软件试验观察进行直觉感悟,然后计算证实、否定,或依据对圆锥曲线新的认识借助高观点通过类比、归纳的逻辑思维手段发现其性质。 相似文献