某些条件极值问题的初等解法

以考研数学试题为例,介绍了某些条件极值问题的初等解法.     

某些条件极值问题的向量解法

条件极值问题 ,在日常生活中应用极广 ,涉及到的知识面较为广阔 ,解法多样 .对于某些具有圆型或有限和型条件 ,而且目标函数是圆型或有限和型函数的条件极值问题 ,可通过构造恰当的向量 ,利用向量内积不等式获得简便的解法 ,本文将通过几个具体的例子予以介绍 .本文要用关于向量内积的基本不等式 (柯西不等式 ) :若 ｍ =(ｍ1,ｍ2 ,… ,ｍｋ)、 ｎ =(ｎ1,ｎ2 ,… ,ｎｋ)是ｋ维向量 , ｍ·ｎ=∑ｋｉ=1ｍｉｎｉ(称为向量 ｍ与 ｎ的内积 ) ,| ｍ | =∑ｋｉ=1ｍ2 ｉ12 (称为向量 ｍ的模或长度 ) ,则 | ｍ· ｎ|≤ | ｍ |·| ｎ| .上式等…     

对《简捷解法》一文的补充

本刊85年第7期刊登的《一类解几题的简捷解法-加减法》(简称《简捷解法》)-文,可减少解题的计算量,对提高解题速度和技巧是有益的,但要注意其严密性。仿照《简捷解法》一文中的例1的方法解下面的问题: 题求经过两圆     

多变量三角函数极值问题的初等解法

借助于求导的方法单变量函数的极值问题可以得到比较圆满的解决,然而要用统一的方法来处理多变量函数极值问题还需要更为深入的微分学知识,因此谋求这类问题的初等解法还是很有价值的。本文只局限于讨论三角函数,其实所论及的方法同样运用于其他初等函数。多变量三角函数极值问题的处理大约有两条途径可循:一是将多变量问题转化为单变量问题,一般称之为“降维法”;二是直接在多变量意义下抓住各变量间所存在的某种内在联系,用初等方法予以解快。不妨称之为“多元法”。尽管处理问题的基本途径大抵是这样两条,然而由于问题本身各异,所使用的具体方法也各具待点。下面以“降维法”“多元法”这     

对《十字相乘法的一种灵活应用》一文的补充意见

读了本刊今年第一期《十字相乘法的一种灵活应用》一文,颇受启发,仔细思索,发现该文的方法还可以多样,运用范围也可以扩大,特提出两点补充意见如下。一对形如x~3+Bx~2+Cx+D的三次四项式,有时拆C要比拆B简单些。这是因为三次项的系数是1,它只能分成1×1,而D则可能分解成多种不同的整数的乘积,会给拆项增加困难。例如,易知x~3+8x~2+17x+10=x(x+2)(x+6)+5(x+2),x~3+16x~2+11x+6=x(x+2)(x+3)+3(x+2),一般地。拆C之后,原式成为x(x     

函数方程的另一种初等解法——递推法

《数学通报》87年第8期发表了《函数方程的一种初等解法——代换法》,本文给出这类问题的另一种初等解法——递推法。 用递推法解决函数方程问题的一般思路是:先由题给条件中寻找或建立函数值间的递推关系式,然后加以恰当地运用,最终使问题归     

对《数列求和几招》一文的补充

《中学生数学》(2006年1月上)刊登的《数列求和几招》,介绍了几种常见的数列求和问题的类型及解法．在近几年的高考题及各地模拟题中可以发现对数列知识的考查推陈出新,越来越重视对能力的考查,这就要求我们在掌握以上通     

一个易错的极值问题和它的一种解法

最近辅导学生时遇到一个极值问题: 求3/cosθ 2/sinθ(o＜θ＜π/2)的最小值. 这是一个看似简单,但却容易被解错的题.从形式上看最容易想到用平均不等式去解,学生解法如下:     

关于《通项方程的一种解法》一文的注记

《数学通报》１９９８年第４期《通项方程的一种解法》一文中的例３：已知数列｛ａｎ｝满足初始条件ａ１＝３,和递推关系ａｎ＋１＝３ａｎ＋２ａｎ＋１（ｎ≥１）,求通项公式．对此例,笔者认为利用一维基本形的射影变换（见文［１］来解答,较为简捷．视ａｎ＋１＝３ａ...     

关于多元函数条件极值问题解法的注记

结合实例指出教材中多元函数条件极值求法的不严谨性,即求解多元函数条件极值的漏解现象。通过理论分析得到漏解的三个原因,并提出拉格朗日乘数法完整的解题步骤。该步骤也适用于求解多元函数条件极值的代入法。     

《一个浓度问题的简便解法及延拓》一文的修正与补充

贵刊 2 0 0 1年第 7期发表了金老师的文章《一个浓度问题的简便解法及延拓》 .文中提出了倒溶液的浓度问题的简便解法 ,另外将问题进行延拓提出了以下结论 :结论 1　设甲乙两个容器中分别盛有浓度为 ｐ % ,ｑ % (ｐ≠ｑ)的某种溶液Ｍｍｌ,同时从甲乙两个容器中取出Ａｍｌ溶液交换倒入对方的容器中进行“调和” ,则“调和”前后两容器的浓度之和保持不变 ;在上述“调和”下 ,当且仅当Ｍ =2Ａ时 ,在第一次“调和”完成后 ,两容器的浓度保持相同 ,在其他情况下 ,“调和”过程中两种溶液的浓度之差成等比数列 .结论 2　在结论 1的条件下 ,经 (ｎ…     

“向量极值问题的最优性条件”一文的注记

本文给出了文［１］中的几个主要结果（即［１］中的推论２，定理４，定理６及定理７）的反例，进而更正了有关结果     

对《函数单调性的探讨》一文的补充

《中学数学》(湖北)91年第8期王天硕先生在《函数单调性的探讨》一文给出若干有关函数单调性的命题,借用这些命题为探讨函数的单调性提供了若干方法。本文再给出若干探讨单调性的方法,权当上文的补充。     

对《根的定义用处大》一文的补充

《中学生数学》2010年第9期(初中版)刊登的文章《根的定义用处大》,读后受益匪浅.所举例题只用到如果t是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根,则at2+bt+c=0;而反之,如果at2+bt+c=0,则t是一元     

对《关于最大公约数的一个问题》一文的补充

贵刊1992年第1期登载的王琳同志的文章《关于最大公约数的一个问题》,实质上,是应用矩阵的初等变换,求整数的最大公约数,对所阐述的问题。我提出两条补充意见:     

常曲率空间中单形的某些条件极值问题

借助于矩阵次特征值的概念,建立了线性约束二次型正定的一个充分必要条件,给出了常曲率空间中单形外接超球半径的某些条件极值表示,由此可以导出了一些“度量加”的几何不等式．     

对《有心圆锥曲线切线的一个性质》一文的补充

文[1]给出了椭圆和双曲线切线的一个性质,笔者经过思考还发现抛物线切线的一个性质,算是对文[1]的补充和完善.性质1若P为抛物线y2=2px（p〉0）上不同于坐标原点O的任意一点,直线PO交直线l：x=t于点M,直线PN⊥直线l,垂足为N,以点P为切点的切线交直线l于点Q,则Q为MN的中点.证明如图1,设P（x0,y0）,则y20=2px0,N（t,y0）.     

对《Some Notes on Solvability of LPDO》一文的补充

文[1]对具重特征的线性偏微分算子 L(x,D)=D_1~2+x_1~2D_2~2+PD_2+qD_1+c 的局部可解性作了有趣的说明。所得结果表明具重特征的线性偏微分算子中的低阶项对它的局部可解性起着关键的作用。现在我们对更一般的具重特征的偏微分算子给出类似的结论。     

一道条件不等式试题的两种解法

<正>题目(2014年四川内江)已知实数x、y满足2x-3y=4,并且x≥-1,y<2,若现有k=x-y,则k的取值范围是______.解法一替元法解题思路由于x、y满足2x-3y=4,易知x、y中只有一个元是独立的,如此不妨用其中一个元去表示另一个元(笔者用y表示x),如此一来k=x-y就将变成了关于y的式子了,求范围的难度就相对降低了.同时,替代以     

对《一类条件不等式探源》一文的商榷

数学通报2008年第8期刊登了《一类条件不等式探源》一文,文中对文[2]给出的条件不等式:若a,b,c＞0且a+b+c=1则1/(1+a2)+1/(1+b2)+1/(1+c2)≤27/10;