求分式函数值域的方法

我们把形如ｆ(x) =(ｄx~2 +ｅｘ + ｆ)/(ａx~2 +ｂx+ｃ)(分子分母既约 ,ａ、ｄ不同时为零 )的函数称为二次分式函数 .下面举例说明二次分式函数值域的求法 .问题求函数 ｆ(ｘ) =ｘ + 22ｘ2 + 3ｘ + 6 的值域 .我们可以把函数式变形为ｆ (ｘ) =ｄｘ2 +ｅｘ+ ｆａｘ2 +ｂｘ +ｃ=ｍ(ｘ +ｎ)ｘ2 + ｐｘ+ ｑ+ｈ的形式 ,而ｇ(ｘ) =ｘ +ｎｘ2 + ｐｘ + ｑ=ｘ +ｎ(ｘ +ｎ) 2 +ｒ(ｘ+ｎ) +ｓ(ｓ≠ 0 ) .当ｘ +ｎ =0时 ,则易得 ｇ(ｘ) =0 ;当ｘ +ｎ≠ 0时 ,继续变形为 ｇ(ｘ) =1(ｘ +ｎ) + ｓｘ +ｎ+ｒ=1ｈ(ｔ) +ｒ,其中ｔ =ｘ +ｎ ,ｈ(ｔ) =ｔ + ｓｔ…     

关于函数f(x)=(ax b)～(1/2) (cx d)～(1/2)值域的一个定理

对于函数ｆ(ｘ) =ａｘ ｂ ｃｘ ｄ的值域 ,当ａ ,ｃ同号时 ,显然可以用函数的单调性求解 ;当ａ ,ｃ异号时 ,不能用函数单调性求解 ,近几年各数学刊物介绍了许多好的解法 .本文试给出一个求函数ｆ(ｘ)值域的定理 ,从根本上解决这种函数的值域求解问题 .为了叙述方便 ,设ｆ(ｘ) =ａｘ ｂ ｄ-ｃｘ(ａ>0 ,ｃ>0 ) .下面先给出一个引理 .引理　设ｆ1 (ｘ) =ａｘ ｂ ,ｆ2 (ｘ) =ｄ -ｃｘ(ａ>0 ,ｃ>0 ) ,则ｆ1ｄｃ ｆ2 - ｂａ =ｆ1ｄｃ ｆ2 (ｘ) ｆ2 - ｂａ ｆ1 (ｘ) .证明　因为ｆ1ｄｃ ｆ2 - ｂａ =ａｄｃ ｂｄ ｂｃａ =(ａｄ ｂｃ) 2ａｃ ,…     

构造函数f(x)=sum from i=1 to n()(a_ix-b_i)~2证明不等式

函数 ｆ(ｘ) =∑ｎｉ=1(ａｉｘ -ｂｉ) 2 =(ａ1ｘ -ｂ1) 2 + (ａ2 ｘ -ｂ2 ) 2 +… + (ａｎｘ -ｂｎ) 2 是关于ｘ的二次函数且具有特点 :①二次项系数大于 0 ;②函数值 ｆ(ｘ)≥ 0 .则有其判别式Δ≤0 .某些不等式证明题 ,若能根据已知条件和结论的特点 ,巧构函数 ｆ(ｘ) =∑ｎｉ=1(ａｉｘ -ｂｉ) 2 ,从而利用 ｆ(ｘ)≥ 0 ,Δ≤ 0可轻松获解 .例 1　已知ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ且ａ + 2ｂ + 3ｃ=6 ,求证 :ａ2 + 2ｂ2 + 3ｃ2 ≥ 6 .证　构造函数 ｆ(ｘ) =(ａｘ - 1 ) 2 + ( 2·ｂｘ - 2 ) 2 + ( 3ｃｘ - 3) 2 =(ａ2 + 2ｂ2 + 3ｃ2 )·ｘ2 - 1 2ｘ + 6…     

一类无理不等式

近两年 ,各种中学数学刊物对于代数不等式中的分式不等式的讨论颇多 ,但对无理不等式的关注似乎较少 .本文将利用文 [1 ]的结论 ,即下述引理建立几个无理不等式 ,它们或推广或加强了已知不等式或给出已知不等式的反向估计 .引理　设ａ≤ｘｉ ≤ｂ ,ｉ=1 ,… ,ｎ ,ｎ≥ 2 ,ｘ1 … ｘｎ =ｓ,ｆ(ｘ)是 [ａ ,ｂ]上的连续的严格上凸函数 ,Ｆ(ｘ1 …ｘｎ) =ｆ(ｘ1 ) … ｆ(ｘｎ) ,则Ⅰ　Ｆｍａｘ =Ｆ ｓｎ,… ,ｓｎ =ｎｆ ｓｎ ,即当且仅当ｘ1 =… =ｘｎ 时Ｆ达到最大值 ;Ⅱ　Ｆｍｉｎ =Ｆ(ａ ,… ,ａ ,ｂ ,… ,ｂ ,ｃ) =ｕｆ(ａ) (ｎ - 1 -ｕ…     

关于函数图象对称问题的相关命题研究

函数是高中数学的重点内容之一 ,函数问题的多变体现了函数的特点 .研究函数图象的对称特点 ,对更进一步理解函数的性质是十分重要的 .1　图象关于点对称问题的相关命题定理　奇函数ｙ=ｆ(ｘ) ,ｘ∈Ｒ的图象关于原点对称 .(证明见教材 ,略 .)奇函数满足ｆ(-ｘ)= -ｆ(ｘ)可写为ｆ(0 +ｘ) +ｆ(0 -ｘ) =0 ,ｘ∈Ｒ .由以上关系式拓展得如下命题 .命题 1　若一个函数ｙ =ｆ(ｘ)对任意ｘ∈Ｒ满足ｆ(ａ -ｘ) +ｆ(ａ+ｘ) =2ｂ,当且仅当它的图象关于点 (ａ,ｂ)成对称图形 .证明　设点Ｍ(ｍ ,ｎ)为函数ｆ(ｘ)图象上任意一点 ,它关于点 (ａ ,ｂ)的对称…     

求解含有绝对值的“三个二次”综合题的五个着眼点

中学数学中的“三个二次”是指二次函数、二次方程、二次不等式 .以二次函数为中心 ,用它的图象和性质串联另外两个“二次”以及其他知识组成的综合题是历年高考的重点 .含有绝对值的“三个二次”综合题乃重中之重 ,解答这类问题常从以下几个方面考虑 .1　运用公式 | |ａ| - |ｂ| |≤ |ａ±ｂ|≤ |ａ| + |ｂ|例 1　函数ｆ(ｘ) =ａｘ2 +ｂｘ +ｃ　 (ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,ａ≠ 0 ) ,若函数ｆ(ｘ)的图象与直线ｙ =ｘ和ｙ =-ｘ均无公共点 ,求证 :1) 4ａｃ -ｂ2 >1;2 )对一切实数ｘ ,恒有 |ａｘ2 +ｂｘ +ｃ| >14 |ａ| .分析 :1)略 .2 ) |ａｘ2 +ｂｘ …     

两个组合恒等式的联系及其组合意义和概率论证法

贵刊 2 0 0 1年第 6期刊载的文 [1 ]证明了组合等式 :∑ｎｉ=0(-1) ｉＣｉｎｉｋ =0　　　　　当ｋ≤ｎ-1且ｋ∈Ｎ时(-1) ｎｎ !　当ｋ =ｎ时笔者发现上述结论正是贵刊 1 996年第 6期刊载的文 [2 ]定理的推论的另外一种表述 .文 [2 ]的定理及推论如下 :定理　设ｆ(ｘ) =ａｘｎ+1 +ｂｘｎ+ｃｎ- 1 ｘｎ- 1 +…+ｃ1 ｘ+ｃ0 是ｎ+ 1次多项式 .则 ∑ｎｉ=0( - 1 ) ｉｆ(ｉ)Ｃｉｎ= ( - 1 ) ｎｎ !(ａＣ2 ｎ+1 +ｂ)… ( )推论 :设ｆ(ｘ) =ａｘｍ+ｂｍ- 1 ｘｍ- 1 +… +ｂ0 是ｍ次多项式 ,则　∑ｎｉ =0( - 1 ) ｉｆ(ｉ)Ｃｉｎ =( - 1 ) ｎｎ !ａ…     

一个三角形三边关系猜想的否定

贵刊文 [1 ]否定了文 [2 ]给出的三角形三边定理 ,证明了除非对任意的正实数ａ ,ｂ ,ｃ都有ｆ(ａ ,ｂ ,ｃ) =0 ,否则 ,三角形的三边ａ ,ｂ,ｃ不存在整式关系式ｆ(ａ ,ｂ ,ｃ) =0 ,并且提出如下猜想 :除非ｆ(ａ ,ｂ ,ｃ)恒等于零 ,否则 ,对任意三角形三边ａ ,ｂ ,ｃ而言 ,不存在一个固定的关系式ｆ(ａ ,ｂ ,ｃ) =0 .本文指出上面的猜想是不成立的 .利用符号函数ｓｇｎｘ =1 ,当ｘ>0时 ;0 ,当ｘ =0时 ;-1 ,当ｘ<0时 ,引入如下三元实值函数ｆ(ｘ,ｙ,ｚ) =ｓｇｎ(ｘ+ｙ -ｚ) +ｓｇｎ(ｘ+ｚ-ｙ)+ｓｇｎ(ｙ+ｚ -ｘ) -3 .由于ｆ(2 ,1 ,1 ) =-1 ≠ 0…     

判别某类非周期函数的一种方法

1979年全国通用高中数学课本引入“函数周期性”内容之后 ,一直引起人们的关注 .笔者注意到有关判定ｆ(ｘ) =ｓｉｎ1ｘ、φ(ｘ) =3ｃｏｓ ｘ -1(ｘ +1 ) (ｘ-2 ) 等为非周期函数时 ,总是采用反证法加以论证 .这不仅有一定的难度 ,而且也需花费时间 .对于上述ｆ(ｘ)、φ(ｘ)以及更为一般的函数Ｆ(ｘ) =Ａｓｉｎ (ｘ-ｂ1) (ｘ-ｂ2 )… (ｘ-ｂｋ)(ｘ-ａ1) (ｘ-ａ2 )… (ｘ-ａｎ) 、Φ(ｘ) =Ａｃｏｓ(ｘ -ｂ1) (ｘ -ｂ2 )… (ｘ -ｂｋ)(ｘ -ａ1) (ｘ -ａ2 )… (ｘ -ａｎ) (其中Ａ(≠ 0 )、ａｉ(ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ)、ｂｊ(ｊ=1 ,2 ,… ,ｋ)均为实常…     

课外练习

高一年级1 .已知集合Ａ ={ｍ ,ｎ},问集合Ｂ ={ｘ|ｘ∈Ａ},Ｃ ={ｘ|ｘ Ａ}中的元素分别是什么 ?(贵州开阳县教育局教研室 (5 5 0 3 0 0 )　张廷均 )2 .已知ａ—→ 与ｂ—→不共线 ,试判断关于ｘ的方程ａ—→·ｘ2 +ｂ—→·ｘ+ｃ—→=0—→ 的实数解的个数 .(河北石家庄四十二中 (0 5 0 0 61 )　于润兴 )3 .设函数ｆ(ｘ) =1 -2ｘ1 +ｘ ,若将ｙ=ｇ(ｘ)的图像与函数ｙ =ｆ- 1(ｘ +1 )的图像关于直线ｙ =ｘ对称 ,求ｇ(2 )的值 . (山东沂水县第二中学 (2 7640 0 )　沈　韦华)高二年级1 .已知函数ｆ(ｘ) =2 ｘ-2 -ｘ,数列 {ａｎ}满足ｆ(ｌｏｇ2 …     

一个数学问题的推广

设ａ ,ｂ ,ｃ,ｄ ,∈Ｒ ,求证ａｂｃ ｂｃｄ ｃｄａ ｄａｂ≤ 11 6(ａ ｂ ｃ ｄ) 3(1 )这是《数学教学》1 999年第 2期问题与解答栏目第 475号题 ,原证法较复杂 ,文 [1 ]给出一简单证明 ,文 [2 ]曾用高等数学的拉格朗日乘数法证明了 (1 )式的推广形式ｘ1 ｘ2 …ｘｎ- 1 ｘ2 ｘ3… ｘｎ ｘｎｘ1 ｘ2 …ｘｎ- 2 ≤1ｎｎ- 2 (ｘ1 … ｘｎ) ｎ- 1 (2 )若采用初等对称函数的记号Ｅｋ(ｘ) =Ｅｋ(ｘ1 ,… ,ｘｎ) =∑1≤ｉ1 <… <ｉｋ≤ｎ∏ｋｊ=1ｘｉｊ,ｋ=1 ,… ,ｎ ,则 (2 )式可写作Ｅｎ- 1 (ｘ) ≤ 1ｎｎ- 2 Ｅｎ- 1 1 (ｘ)本文将利用逐步…     

全国高中数学联赛一例

20 0 2年全国高中数学联赛试题第 15题 :设二次函数 ｆ(ｘ) =ａｘ2 +ｂｘ +ｃ　 (ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,ａ≠ 0 )满足条件 :(1)当ｘ∈Ｒ时 ,ｆ(ｘ -4 ) =ｆ(2 -ｘ) ,且ｆ(ｘ)≥ｘ ;(2 )当ｘ∈ (0 ,2 )时 ,ｆ(ｘ)≤ (ｘ + 12 ) 2 ;(3)ｆ(ｘ)在Ｒ上的最小值为 0 .求最大的ｍ(ｍ >1) ,使得存在ｔ∈Ｒ ,只要ｘ∈ [1,ｍ ] ,就有 ｆ(ｘ +ｔ)≤ｘ .解　ｆ(ｘ -4 ) =ｆ(2 -ｘ) ,∴　函数 ｆ(ｘ)的图象关于直线ｘ =-1对称 ,∴　 -ｂ2ａ=-1,即ｂ =2ａ①令　ｇ(ｘ) =(ｘ + 12 ) 2 ,则直线 ｙ =ｘ与抛物线 ｇ(ｘ) =(ｘ + 12 ) 2图 1相切于点Ａ(1,1) .又当ｘ∈…     

一个定理的别证及推广

文 [1 ]的定理 2为 :设ａ ,ｂ∈Ｒ+,若ａ+ｂ≤ 2 ,则ａ+ｂ2 +2ａ+ｂ ≤ａｂ +1ａｂ若ａｂ≥ 1 ,则ａ+ｂ2 +2ａ +ｂ≥ ａｂ+1ａｂ其证明方法是作差比较法 ,现用函数的单调性证明之 .证明　易证函数ｆ(ｘ) =ｘ +1ｘ 在 (0 ,1 ]上递减 ,在 [1 ,+∞ )上递增 .因为 ａ +ｂ2 ≥ ａｂ ,故当 ａ+ｂ2 ≤ 1时 ,ｆ ａ+ｂ2 ≤ｆ(ａｂ) ,当ａｂ≥ 1时 ,ｆ ａ +ｂ2 ≥ｆ(ａｂ) ,即当ａ +ｂ≤ 2时 ,ａ+ｂ2 +2ａ+ｂ≤ ａｂ+1ａｂ.当ａｂ≥ 1时 ,ａ +ｂ2 +2ａ+ｂ≥ ａｂ+1ａｂ.推广　设ｘｋ >0 (ｋ =1 ,2 ,… ,ｎ) ,若∑ｎｋ=1ｘｋ ≤ｎ ,则1ｎ∑ｎｋ =1ｘｋ+…     

综合题新编选登

题 1 5　函数ｆ(ｘ) =11 ａ·2 ｂｘ的定义域为Ｒ ,且ｌｉｍｎ→∞ ｆ(-ｎ) =0 (ｎ∈Ｎ) .1 )求证 :ａ >0 ,ｂ <0 .2 )若 ｆ(1 ) =45 且ｆ(ｘ) 在 [0 ,1 ]上的最小值为 12 ,求证 :ｆ(1 ) ｆ(2 ) … ｆ(ｎ) >ｎ 12 ｎ 1- 12 (ｎ∈Ｎ) .证　 1 )∵ ｆ(ｘ) 的定义域为Ｒ ,∴ 1 ａ·2 ｂｘ≠ 0恒成立 ,即ａ≠ - 2 -ｂｘ,而 - 2 -ｂｘ<0 ,∴ａ≥ 0 ,若ａ =0 ,则ｆ(ｘ) =1与ｌｉｍｎ→∞ ｆ(-ｎ) =0矛盾 ,故ａ >0 .ｌｉｍｎ→∞ ｆ(-ｎ) =ｌｉｍｎ→∞11 ａ·2 -ｂｎ=1　　　 (0 <2 -ｂ<1 ) ,11 ａ　 (2 -ｂ=1 ) ,0　　　 (2 -ｂ>1 ) .∴ …     

函数图象的有关问题

函数图象是函数的一种表达形式 ,是刻划函数性质的重要内容 ,函数图象也是高考命题的热点 .下面例谈函数图象的类型及解题策略 .一、图象的变换1.图象的平移函数 ｙ =ｆ(ｘ)的图象沿ｘ轴向左或向右平移ａ(ａ >0 )个单位 ,所得到的图象的函数表达式为 ｙ =ｆ(ｘ +ａ) 或 ｙ =ｆ(ｘ -ａ) ;而沿 ｙ轴向下或向上平移ｂ(ｂ>0 )个单位所得到的图象为ｙ +ｂ =ｆ(ｘ)或 ｙ -ｂ=ｆ(ｘ) .例 1　函数ｙ =1- 1ｘ - 1的图象是 (　　 ) .(2 0 0 2全国高考试题 )(Ａ)　　 (Ｂ)　　(Ｃ)　　 (Ｄ)　　分析　函数ｙ =1- 1ｘ - 1的图象是由ｙ =- 1ｘ的图象沿ｘ…     

辩证思维解题策略举要

数学中充满了辩证法 ,解决数学问题常常需要运用辩证思维 ,本文介绍几种常见的辩证思维解题策略 .1　一般与特殊一般性寓于特殊性之中 ,在解决数学问题时 ,将一般问题特殊化和将特殊问题一般化是常用的两种策略 .1 1　一般问题特殊化当我们在解决一般问题遇到困难时 ,如果先考虑其特殊情形常常能发现一般规律 ,从而使问题顺利解决 .例 1　已知函数ｆ(ｘ) =ｘ1 -ｘ2 ,并定义ｆｎ(ｘ)=ｆ(ｆ(…ｆｎ个(ｘ) ) ) ,其中ｎ为自然数 ,求ｆｎ(ｘ) .分析 :此题用直接代入的方法简直无从下手 .如果我们先考虑几个特殊情形 ,如ｆ1 (ｘ)、ｆ2 (ｘ)、ｆ3(…     

世界各地数学奥林匹克试题摘编

1　 (第 4 7届拉脱维亚数学奥林匹克 )已知ａ ,ｂ是互不相同的自然数 ,求证 :存在无穷多个自然数ｎ ,使得ａ +ｎ与ｂ +ｎ互素 .证　不妨设ｃ =ａ -ｂ >0 ,则存在非负整数 ｑ ,ｒ ,使得ｂ =ｑｃ +ｒ ,这里 0≤ｒ≤ｃ -1 ,令ｎ =ｃ +1 -ｒ +ｋｃ ,这里ｋ为非负整数 ,则ａ +ｎ =(ｂ +ｃ) +(ｃ+1 -ｒ +ｋｃ)=ｑｃ+ｒ +2ｃ+1 -ｒ +ｋｃ=(ｑ +ｋ +2 )ｃ+1 .ｂ +ｎ =(ｑ +ｎ +1 )ｃ +1 .设ｄ是ａ +ｎ与ｂ +ｎ的最大公约数 ,则ｄ|(ａ +ｎ) - (ｂ +ｎ) =ａ -ｂ =ｃ,∴ｄ|1 ,∴ｄ =1 .∴ａ +ｎ与ｂ +ｎ互素 .2　 (拉脱维亚第 4 7届数学奥林匹克 )是否…     

向量巧证不等式

在不等式证明中 ,若能根据其结构特点 ,构造向量 ,运用向量的数量积知识 ,则可使问题得到出其不意地解决 .例 1　已知ａ、ｂ、ｃ、ｄ∈Ｒ ,求证 :(ａｃ+ｂｄ) 2 ≤ (ａ2 +ｂ2 ) (ｃ2 +ｄ2 ) .证明　构造向量ｍ—→ =(ａ ,ｂ) ,ｎ—→=(ｃ ,ｄ) ,设ｍ—→ 与ｎ—→ 的夹角为θ ( 0≤θ≤π) ,则　ｍ—→·ｎ—→ =ａｃ +ｂｄ ,　 |ｍ—→| =ａ2 +ｂ2 ,　　 |ｎ—→| =ｃ2 +ｄ2 ,∵　ｍ—→·ｎ—→ =|ｍ—→|·|ｎ—→|ｃｏｓθ≤ |ｍ—→|·|ｎ—→| ,∴　 (ａｃ+ｂｄ) 2 ≤ (ａ2 +ｂ2 ) (ｃ2 +ｄ2 ) .例 2　设ｘ ,ｙ∈Ｒ+ ,且ｘ + ｙ =1 ,…     

反函数的性质应用举例

我们知道 ,函数 ｙ =ｆ(ｘ)若存在反函数 ,则 ｙ =ｆ(ｘ)与它的反函数 ｙ =ｆ-1(ｘ)有如下性质 :性质　若 ｙ =ｆ-1(ｘ)是函数 ｙ =ｆ(ｘ)的反函数 ,则有ｆ(ａ) =ｂ ｆ-1(ｂ) =ａ .这一性质的几何解释是 ｙ =ｆ(ｘ)与其反函数 ｙ =ｆ-1(ｘ)的图象关于直线 ｙ=ｘ对称 .例 1　函数 ｙ =2 - 34ｘ -ｘ2 - 3( 1≤ｘ≤ 2 )的反函数是 ｙ =ｆ(ｘ) ,则 ｆ( 2 ) =.解　设 ｆ( 2 ) =ｘ ,则由性质知ｆ-1(ｘ) =2 ,即 2 - 34ｘ -ｘ3 - 3=2 ( 1≤ｘ≤ 2 ) ,化简得ｘ2 - 4ｘ + 3=0 ,解得ｘ =1 .所以 ｆ( 2 ) =1 .例 2　函数 ｆ(ｘ) =ｘ - 2ｘ +ａ的图象关…     

课外练习

高一年级1 .当函数 ｙ =2ｃｏｓｘ - 3ｓｉｎｘ取最大值时 ,求ｔａｎｘ的值 . 2 .求证 :ｔａｎ5=ｔａｎ2 +ｔａｎ3 +ｔａｎ2·ｔａｎ3·ｔａｎ5.3 .函数 ｆ(ｘ)是定义在 {ｘ|ｘ≠ 0 ,ｘ∈ｋ}上的奇函数 ,且 ｆ(ｘ)在 ( 0 ,+∞ )上为减函数 ,又ｆ( 3 ) =0 ,ｇ(θ)=ｃｏｓ2θ - 2ｍｃｏｓθ + 4ｍ ,θ∈ [0 ,π2 ] .若集合Ｍ ={ｍ| ｇ(θ) >0 },Ｎ ={ｍ| ｆ[ｇ(θ) ] <0 }.求Ｍ∩Ｎ .高二年级1 .已知不等式 1ｎ + 1 + 1ｎ + 2 +… + 12ｎ>11 2 ｌｏｇａ(ａ -1 ) + 23 对一切大于 1的自然数都成立 ,求实数ａ的取值范围 .(2 .已知 :△ＡＢＣ的顶…