Zur Auswertung von Meßergebnissen an nicht-Newtonschen Flüssigkeiten

Zusammenfassung Es wird gezeigt, daß die bei konstanter Schubspannung und die bei konstantem Schergefälle gemessenen Temperatur- und Druckkoeffizienten nicht-Newton-scher Flüssigkeiten über den Quotienten aus scheinbarer Viskosität und der differentiellen Viskosität miteinander verknüpft sind. Außerdem wird vorgeschlagen, diesen Quotienten zur Charakterisierung des nicht-Newtonschen Verhaltens zu verwenden.Ich danke Herrn Professor Dr.H.-K. Hellwege für die Förderung und Diskussion dieser Arbeit.     

Zur Theorie der Ähnlichkeitsübertragung bei Transportvorgängen in nicht-Newtonschen Stoffen

Zusammenfassung Rheologische Stoffgleichungen besitzen trotz ihrer Vielfältigkeit eine einheitliche dimensionstheoretische Struktur. Es ist deshalb möglich, über die Transportvorgänge in nicht-Newtonschen Medien gewisse allgemeingültige Aussagen zu machen, die auch für die Probleme der Ähnlichkeitsübertragung entscheidend sind. Die Arbeit schließt mit einer kritischen Diskussion desOstwald de-Waeleschen Reibungsgesetzes.

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Summary In spite of their variety, rheological equations of state possess a uniform dimension-analytical structure. It is therefore possible to establish universally valid statements, about transport processes in non-Newtonian media, which are also decisive for application of the theory of similarity. The paper winds up with a critical discussion ofOstwald de-Waels constitutive equation.

     

Die Berechnung stationärer ebener Grenzschichtströmungen nicht-Newtonscher Flüssigkeiten,für die das Ostwald-de Waelesche Reibungsgesetz gilt

Übersicht Für nicht-Newtonsche Flüssigkeiten, für die das Ostwald-de Waelesche Potenzreibungsgesetz gilt, werden die ebenen Grenzschichtdifferentialgleichungen aufgestellt und es wird ihre Gültigkeit diskutiert. Als exakte Lösungen der Differentialgleichungen für die Strömungs- und Temperaturgrenzschicht werden die ähnlichen Lösungen für die Keilströmungen behandelt. Mit den Ergebnissen der ähnlichen Lösungen werden Näherungsverfahren zum Berechnen der Strömungs- und Temperaturgrenzschichten aufgestellt.

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Summary A study of the laminar boundary layer equations of fluids governed by the Ostwald-de Waele. power law is presented. Using the similar solutions for flows past wedges, methods for the approximate solution of the laminar velocity and thermal boundary layer equations are presented for the case of laminar flow past arbitrary external surfaces.

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Die vorhegende Arbeit entstand während der Assistenztätigkeit des Verfassers am Institut für Maschinenelemente und Fördertechnik der Technischen Hochschule Braunschweig (Direktor Prof. Dr.-Ing. O. Lutz) auf Anregung von Herrn Prof. Dr.-Ing. K. Gersten. Verfasser dankt den Herren Professoren Schlichting, Lutz und Gersten, die ihm die Durchführung dieser Arbeit ermöglichten.     

Zur Messung des Fließverhaltens von Polymerlösungen im Bereich hoher Scherbeanspruchung

Zusammenfassung Kapillarviskosimetrische Messungen zur Ermittlung der Viskosität nicht-Newtonscher Substanzen bei hoher Scherbeanspruchung werden durch sekundäre Einflüsse deutlich verfälscht. Der Einfluß der Temperaturerhöhung und des Molekulargewichtsabbaus wird am Beispiel des Systems Polyisobutylen-Toluol untersucht und, soweit möglich, zur Korrektur der Fließkurve herangezogen.Vorgetragen auf der Jahrestagung der Deutschen Rheologen in Berlin-Dahlem vom 7.–10. Juni 1966.Herrn Prof. Dr.F. Patat möchten wir für sein Interesse und die Förderung dieser Arbeit herzlich danken.     

Calibration of and measurements on a rheogoniometer by means of a small computer

Summary In this paper we propose a method for measurements with and calibration of the Weissenberg Rheogoniometer by means of a small computer.For Newtonian fluids we found that the dynamic viscosity is changed by a superposition of a steady shear flow on an oscillatory one, dependent on the direction of the steady shear flow.

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Zusammenfassung In diesem Aufsatz wird eine neue Methode zur Eichung eines Weissenberg-Rheogoniometers und für das Messen mit diesem Apparat dargestellt. Wir haben an newtonschen Flüssigkeiten beobachtet, daß die dynamische Viskosität bei der Überlagerung einer stationären und einer oszillierenden Scherströmung je nach der Richtung der stationären Strömung ihren Wert ändert.

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With 3 figures     

The viscosity of a polar fluid with suspensions

Summary The apparent viscosity of a polar fluid with suspensions of rigid spherical particles undergoing a prescribed bulk motion is calculated. It is shown that the increased rate of dissipation in a polar fluid with suspensions is greater than that of a Newtonian fluid. It is found that the relationship between the viscosity and the concentration has a same form with that of a Newtonian fluid suspension of which ambient fluid has a shear viscosity multiplied by a factor which is greater than unity.

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Zusammenfassung Die scheinbare Viskosität einer polaren Flüssigkeit mit suspendierten steifen, kugelförmigen Teilchen, die eine vorgeschriebene Bewegung ausführen, wird berechnet. Es wird gezeigt, daß die anwachsende Dissipationsgeschwindigkeit in einer polaren Flüssigkeit mit suspendierten Teilchen größer ist als die einerNewtonschen Flüssigkeit. Es zeigt sich, daß die Beziehung zwischen der Viskosität und der Konzentration die gleiche Form hat wie die einerNewtonschen Flüssigkeitssuspension, bei der die umgebende Flüssigkeit eine Scherviskosität besitzt, multipliziert mit einem Faktor größer als 1.

     

An integral rheological model and its application to steady and unsteady viscoelastic data of a polyisobutylene-dekahydronaphthalin solution

Summary A simple integral model is proposed which predicts the viscosity and the first normal stress difference coefficient in conditions of steady simple shearing flow. The model also predicts the time dependent viscosity during the buildup of the shear stress after suddenlyimposed constant shear rate. The experiments performed with aWeissenberg Rheogoniometer on a PIB-Dekahydronaphthalin solution support the integral model in a considerable range of the shear rate.

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Zusammenfassung Ein einfaches Integralmodell, welches die Viskosität und den ersten Normalspannungskoeffizienten bei stationärer einfacher Scherströmung voraussagt, wird vorgeschlagen. Das Modell sagt auch die zeitabhängige Viskosität für eine plötzlich entstandene konstante einfache Scherströmung voraus. Die Experimente, die mit Hilfe einesWeissenbergschen Rheogoniometers an einer Lösung von Polyisobutylen in Dekahydronaphthalin durchgeführt wurden, bestätigen das Integralmodell in einem weiten Bereich von Schergeschwindigkeiten.

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Paper read at the Annual Meeting of the German Rheologists, Berlin-Dahlem, May 20–22, 1968.     

Unsteady flows of a third-order viscoelastic fluid

Summary Unsteady third-order viscoelastic flow is examined for the purpose of determining a method by which certain material constants in theRivlin-Ericksen theory can be measured. The concept of an intrinsic pressure hole error is used, and an expression for this error is derived for third-order flow. It is also shown that the velocity field for unsteady creeping motion of a third-order fluid is identical at any time to a corresponding steady third-order flow. The pressure field, however, depends upon the rate of change of the flow with time.

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Zusammenfassung Es wird die instationäre Strömung dritter Ordnung einer viskoelastischen Flüssigkeit untersucht zu dem Zweck, eine Methode anzugeben, mit deren Hilfe gewisse Stoffkonstanten in der Theorie vonRivlin undEricksen gemessen werden können. Dazu wird das Konzept des intrinsic pressure hole error verwendet, und es wird für diesen Fehler im Rahmen der Theorie dritter Ordnung ein Ausdruck abgeleitet. Weiter wird gezeigt, daß das Geschwindigkeitsfeld für die instationäre schleichende Strömung einer Flüssigkeit dritter Ordnung zu jeder Zeit mit der zugeordneten stationären Strömung dritter Ordnung identisch ist. Im Gegensatz dazu hängt das Druckfeld jedoch von der zeitlichen Änderung der Strömungsgeschwindigkeit ab.

     

On stress distribution in flows of viscoelastic fluids through ducts with porous walls

Summary In continuation of an earlier investigation, the present paper discusses the stress distribution in the inertialess flow of a viscoelastic fluid confined between two plane parallel walls, in which the upper wall moves with a constant velocity while the lower is held at rest with a uniform constant suction applied on its surface. However, the stress field is discussed in detail for the case when the upper wall is also held at rest and the effects arising due to application of suction are pointed out. The most important difference in the behaviour of viscoelastic fluid, compared with that ofNewtonian fluid, lies in the fact that the gradient of the normal stress component in the horizontal direction depends on the distance from the walls.A short discussion has also been provided for the flow in a cylindrical tube with uniform constant suction applied on its surface. Though not evident from general considerations, it is seen that the situation here also is quite similar to that of plane flow.

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Zusammenfassung In Fortsetzung einer früheren Untersuchung wird in der vorliegenden Arbeit die Spannungsverteilung in einer viskoelastischen Flüssigkeit diskutiert, die trägheitslos zwischen zwei parallelen Wänden strömt, wenn die obere Wand mit konstanter Geschwindigkeit bewegt wird und an der unteren, in Ruhe befindlichen eine gleichförmige konstante Absaugung erfolgt. Das Spannungsfeld wird indessen im einzelnen nur für den Spezialfall diskutiert, daß auch die obere Wand ruht, und die infolge der Absaugung entstehenden Effekte werden aufgezeigt. Der wichtigste Unterschied im Verhalten einer viskoelastischen Flüssigkeit, verglichen mit einerNewtonschen Flüssigkeit, besteht darin, daß der Gradient der Normalspannungskomponente in horizontaler Richtung vom Wandabstand abhängt.Abschließend wird noch die Strömung durch ein zylindrisches Rohr mit gleichmäßiger konstanter Absaugung kurz diskutiert. Man findet, daß die Situation hier ganz ähnlich ist wie bei der ebenen Strömung, wenngleich dies nicht aus allgemeinen Betrachtungen gefolgert werden kann.

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Paper presented at the annual meeting of German Rheologists held in Berlin, May 11–13, 1970.     

A rotational double coaxial cylinder viscometer

Summary Design principles for a rotational coaxial cylinder viscometer which directly measures viscosity and yield stress without need for any corrections have been developed. A viscometer with a rotating external cylinder is combined with one with a rotating inner cylinder. The torque is measured on a common tube which makes the inner cylindrical surface in the first viscometer and the outer one in the second one. Two rotational double cylinder viscometers are described in detail. The determinations are illustrated by measurements onNewtonian fluids, time-dependent shear thinning fluids, and a thixotropic suspension and by determination of zero shear viscosity of polymer solutions.

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Zusammenfassung Ein Viskosimeter mit einem äußeren rotierenden Zylinder ist mit einem Viskosimeter mit einem inneren rotierenden Zylinder zusammengebaut worden. Das Torsionsmoment wird an dem Hohlzylinder gemessen, der von der inneren Zylinderoberfläche des ersten Viskosimeters und von der äußeren Zylinderoberfläche des zweiten Viskosimeters abgegrenzt ist. Die Aufbauprinzipien sind entwickelt worden. Es ist möglich, die Viskosität und die Fließfestigkeit direkt als absolute Größen zu messen. Einige Messungen anNewtonschen und nicht-Newtonschen Flüssigkeiten, zeitabhängigen makromolekularen Lösungen und einer thixotropen Suspension werden mitgeteilt.

     

Concentration effects in viscoelastic dispersions

Summary The linear and nonlinear behaviour of thixotropic dispersions in viscoelastic media has been measured. The systems are composed of rutile TiO₂ particles dispersed in a 85% solution of polymerized linseed oil in linseed oil. The volume concentration of the dispersed phase varies between 0 and 23.8%. Under stationary flow the equilibrium viscosities and the first normal stress differences have been recorded. The viscosity data extend from theNewtonian to the power law region. Relative properties have been calculated based upon equal shear rates and also based upon equal shear stresses.The results are discussed in the light of hydrodynamic and physicochemical interactions. A comparison is made with available data on viscoelastic suspensions. The contribution of thixotropy is isolated and its viscoelastic nature is demonstrated. Oscillatory measurements are performed on the sheared samples and the results are compared with the behaviour under stationary flow in the linear as well as in the nonlinear concentration range.

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Zusammenfassung Es wurde das lineare und nicht-lineare Verhalten thixotroper Dispersionen in viskoelastischen Medien experimentell untersucht. Die Systeme bestehen aus Rutil(TiO₂)-Teilchen, die in einer 85%igen Lösung von polymerisiertem Leinöl in (monomerem) Leinöl dispergiert sind. Die Volumenkonzentration der dispersen Phase variiert von null bis 23.8%. Bei stationären Fließbedingungen wurden die Gleichgewichts-Viskosität und die erste Normalspannungsdifferenz aufgenommen. Die Viskositätswerte erstrecken sich vomnewtonschen bis zum Potenz-Gesetz-Bereich. Es wurden relative Eigenschaften berechnet, die entweder auf gleiche Schergeschwindigkeiten oder gleiche Schubspannungen bezogen sind.Die Ergebnisse werden im Hinblick auf hydrodynamische und physikochemische Wechselwirkungen diskutiert und mit den vorliegenden Daten anderer viskoelastischer Suspensionen verglichen. Der Beitrag der Thixotropie wird abgetrennt und seine viskoelastische Natur aufgezeigt. An den gescherten Proben werden Schwingungsmessungen durchgeführt, und ihre Ergebnisse werden mit dem Verhalten bei stationären Bedingungen sowohl im linearen als auch im nichtlinearen Konzentrationsbereich verglichen.

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Paper, presented at the 6. International Congress of Rheology, Lyon, Sept. 4–8, 1972. Inadvertently this paper was not published with the Congress papers.

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With 5 figures     

Wärmedissipation in Polymerschmelzen bei ebener Schleppströmung,thermischer Anfahrvorgang und Gleichgewichtszustand

Zusammenfassung Für Polymerschmelzen wird am Beispiel der Schleppströmung im 2-Platten-Modell die Kopplung zwischen Temperatur- und Geschwindigkeitsfeld (die sogenannte thermische Rückkopplung) untersucht. Aus der Rechnung ergibt sich, daß der thermische Anfahrvorgang, also die Änderung des Temperaturfeldes vom isothermen Anfangszustand zum thermischen Gleichgewichtszustand, bei einerFourier-Zahl Fo=1 fast vollständig abgeschlossen ist. Diese Dauer des Anfahrvorganges ist unabhängig davon, ob mit konstanter Plattengeschwindigkeit oder mit konstanter Schubspannung gefahren wird. — Die thermische Rückkopplung ist um so stärker, je größer der stoff- und prozeßabhängige Parameter dieGriffith-ZahlG ist. Die Viskosität kann bisG=1 noch als temperaturunabhängig und bisG=10 als linear von der Temperatur abhängig angesehen werden. Außerdem findet man, daß sich Temperatur- und Geschwindigkeitsfeld bei der strukturviskosen Flüssigkeit wesentlich weniger beeinflussen als bei einerNewtonschen Flüssigkeit.

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Summary The interaction of temperature and velocity fields for polymer melts in planeCouette flow was investigated. It was found analytically that the thermal development from a uniform initial temperature to the equilibrium temperature field (in which all the dissipated flow energy is conducted to the walls) is almost completed at Fo=1. The duration of this development is nearly independent of the system, whether it is driven at constant speed or with a constant force. — The interaction of temperature and velocity field is more intensive the larger theGriffith numberG. The viscosity may be taken as independent of temperature up toG=1 and as linearly dependent on the temperature up toG=10. Furthermore, the influence of the temperature on the velocity field is much less in a shear thinning than in a Newtonian fluid.

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Vortrag zum 2. Stuttgarter Kunststoff kolloquium, 28.–30. 9. 1971.Der Autor bedankt sich bei Herrn Prof. Dr.-Ing.G. Schenkel für die Anregung und Unterstützung dieser Arbeit und bei Herrn Prof. Dr.-Ing.E. R. G. Eckert für die hilfreichen Diskussionen. Die numerische Auswertung der Ergebnisse wurde auf der Rechenanlage des Rechenzentrums der Universität Stuttgart durchgeführt.     

Zur Stabilität von Strömungen viskoelastischer Flüssigkeiten

Zusammenfassung Das Zustandekommen von Instabilitäten des Zellularströmungstyps in der ebenen und kreisförmigen Couette-Strömung aufgrund von Trägheit und Viskoelastizität wird anschaulich gemacht, und es werden die Störungsgleichungen für eine sog. Theorie 2. Ordnung aufgestellt und diskutiert. Diese Gleichungen werden für die ebene Couette-Strömung in vollständiger Form und anschließend für die nicht-ebene Couette-Strömung unter Vernachlässigung der Trägheit gelöst. Man findet, daß in beiden Fällen die sog. zweite Normalspannungs-differenz eine entscheidende Rolle spielt. Weiter wird gezeigt, daß die gefundenen Kriterien auch über den Anwendungsbereich der Theorie 2. Ordnung hinaus als Näherung gültig bleiben, wenn man die darin vorkommenden Materialkonstanten durch die entsprechenden Materialfunktionen ersetzt. Zum Abschluß werden orientierende Versuche mit einer Couette-Apparatur an viskoelastischen Flüssigkeiten beschrieben. In einer Polyisobutylenlösung treten Instabilitäten des diskutierten Typs bereits unter Bedingungen auf, bei denen die Drehzahl etwa 600 mal kleiner ist, als sie für die Erzeugung derartiger Störungen in einer vergleichbaren Newtonschen Flüssigkeit benötigt würde. In einer Al-Naphthenat-Lösung wird außerdem das Einsetzen elastischer Turbulenz beobachtet, wobei die Drehzahl ca. 30 mal kleiner ist, als sie zur Erzeugung von Trägheitsturbulenz sein müßte.

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Summary Instabilities of the cellular type in straight and circular Couette flow as generated by inertia and visco-elasticity are elucidated, and perturbation equations are derived and discussed for a second-order theory. For straight Couette flow these equations are solved in full generality, but for circular Couette flow with neglect of inertia only. It is found that in both cases the so-called second normal-stress difference is of decisive importance. It is shown further, that stability criteria may also be used as a good approximation outside the range of applicability of the second-order theory, if the material constants are substituted by the respective material functions. Finally, some makeshift experiments with viscoelastic fluids in a Couette apparatus are briefly described. A solution of polyisobutylene shows instabilities of the discussed type under conditions in which the rotational speed is about 600 times lower than it should be for generating such disturbances in comparable Newtonian fluids. In a solution of Al-naphthenate, in addition the transition to elastic turbulent flow was observed. Here, the speed was about 30 times lower than it should be to generate inertial turbulence.

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Herrn Dr. phil. W. Meskat zum 60. Geburtstag gewidmet

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Über die Ergebnisse dieser Untersuchung wurde auf der Jahrestagung der Gesellschaft für Angewandte Mathematik und Mechanik in Darmstadt am 13. April 1966 berichtet, vgl. (12).

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Herrn Dr.G. Kaufhold und Herrn Stud.-ReferendarH. Schmittmann sei für die Vorbereitung und Durchführung der numerischen Rechnungen, sowie Herrn Dr.J. Pawlowski für die Bestimmung der Fließkurven herzlich gedankt. Den Herren cand. phys.E. Schultes undH. Pickelin gebührt Dank für die sorgfältige Durchführung der Experimente.     

Die Abhängigkeit des Fließverhaltens konzentrierter Kugelsuspensionen von der Strömungsform: Ein Vergleich der Viskosität in Scher- und Dehnströmungen

Zusammenfassung Es wird ein Auslaufviskosimeter mit automatischer Meßwertermittlung konstruiert, in dem in guter Näherung eine Dehnströmung realisiert ist. Hiermit werden in Verbindung mit geeigneten Rotationsviskosimetern vergleichende Messungen an konzentrierten Suspensionen von starren Kugeln in newtonschen Flüssigkeiten durchgeführt, wobei ausgeprägte Unterschiede auftreten.So ergeben sich bei Suspensionen von monodispersen Glaskugeln in Öl in der Dehnströmung für mittlere Konzentrationen (0,2 < < 0,52) deutlich kleinere, für hohe Konzentrationen ( > 0,52) aber größere Viskositätswerte als in der Scherströmung. Diese Differenzen lassen sich auf unterschiedliche Platzwechselmechanismen zurückführen. Bei Scherströmungen beobachtet man für die höchsten Konzentrationen einen Übergang vom viskosen zum kornartigen Fließen. In monodispersen Systemen ordnen sich dabei die Kugeln zu hexagonal dicht gepackten Schichten, die übereinander gleiten.Noch deutlicher macht sich der Einfluß des Strömungstyps bei Suspensionen mit Plexiglaskugeln in Öl bemerkbar. In der Scherströmung beobachtet man Scherentzähung, wohingegen in der Dehnströmung nach wie vor eine konstante Viskosität gemessen wird, deren Größe genähert dem Grenzwert des oberen newtonschen Bereichs bei der Scherströmung entspricht. Dies ist durch die größere Effektivität der Dehnströmung bezüglich der Desagglomerierung erklärbar.Wird bei den Glaskugel-Suspensionen das Suspensionsmittel Öl durch eine wäßrige Glucose-Lösung ersetzt, so findet man höhere Werte der relativen Viskosität. Es sind gewisse Hinweise dafür vorhanden, daß dies durch abstoßende Wechselwirkungskräfte hervorgerufen wird.

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Summary An orifice viscosimeter with automatic measuring device is constructed in which extensional flow is realized in good approximation. With this, together with appropriate rotational viscometers, measurements on concentrated suspensions of rigid spheres in Newtonian liquids are performed. Significant differences are found between viscosities in orifice and shear flows.In extensional flow suspensions of monodisperse glass-spheres with a medium concentration range (0.2 < < 0.52) show lower viscosities than in shear flow, whereas with the highest concentrations ( > 0.52) extensional viscosities become higher than shear viscosities. These results can be explained by different mechanisms of configurational rearranging of the spheres. In shear flows at very high concentrations transition from viscous to granular flow is observed. Under these conditions monodisperse spheres arrange into hexagonally packed layers which are sliding one upon another.Even a more pronounced effect of flow type is observed when PMMA spheres in oil are used. Now in shear flow shear-thinning occurs, whereas in extensional flow the same as before a constant viscosity is measured of which the value corresponds to the upper Newtonian shear viscosity. This may be explained by the greater effectivity of extensional flow with respect to desagglomeration processes.When in suspensions of glass spheres oil as the suspending medium is substituted by an aqueous solution of glucose higher values of relative viscosities are realized. There are some indications that this is effected by repulsive mutual forces.

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Von der Abteilung Chemietechnik der Universität Dortmund genehmigte Dissertation; auszugsweise vorgetragen auf der Jahrestagung der Deutschen Rheologischen Gesellschaft in Berlin vom 8.–10. Mai 1978.

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Mit 15 Abbildungen und 3 Tabellen     

Finite-element analysis of slow incompressible viscous fluid motion

Summary The governing field equations and the constitutive relation are specialized to the boundary value formulation of incompressible viscous fluid motion excluding thermal effects. When choosing the velocities and the hydrostatic pressures as variables, the established non-linear matrix equation in terms of finite-element properties becomes valid for both two- and three-dimensional application. It is shown that a restricted class of problems readily fits within the scope of existing finite-element software designed for conventional structural mechanics analysis provided an effective Lagrange multiplier technique can be incorporated.Two curved triangular finite-element models are proposed for both two-dimensional and axisymmetric flow, based on a and order Lagrangian and 3rd order Hermitian interpolation set for the velocities. Some typical examples are attached including linear stationary and transient problems, as well as non-linear cavity flow at moderate Reynolds numbers.

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Übersicht Die Feldgleichungen und das Stoffgesetz werden für die Formulierung der Randwertaufgabe für inkompressible zähe Strömungen spezialisiert, wobei thermische Effekte unberücksichtigt bleiben. Die entwickelte nichtlineare Matrizenbeziehung in Termen der Finite-Element-Schreibweise gilt sowohl für zweidimensionale als auch für dreidimensionale Anwendungen, sofern die Geschwindigkeitskomponenten und der hydrostatische Druck als Strömungsvariablen gewählt werden. Es wird gezeigt, daß eine eingeschränkte Klasse von Problemen direkt im Rahmen bereits bestehender Finite-Element-Programme gelöst werden kann, die für herkömmliche Aufgaben der Strukturmechanik entwickelt wurden, sofern ein effektiver Einbau der Methode der Lagrangeschen Multiplikatoren möglich ist.Für zweidimensionale und achsensymmetrische Strömungen werden zwei krummseitige dreiecksförmige Finite-Element-Modelle vorgeschlagen, deren Geschwindigkeitsfelder mit Hilfe einer Lagrangeschen Interpolation zweiter Ordnung bzw. eines Hermiteschen Ansatzes dritter Ordnung approximiert werden. Einige typische Beispiele behandeln lineare stationäre und instationäre Probleme, sowie eine nichtlineare Hohlraumströmung bei kleineren Reynolds-Zahlen.

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Professor Dr. Ing. Dr. h. c. Eduard C. Pestel zu seinem 60. Geburtstag herzlichst gewidmet.     

On the stability of viscoelastic fluid flow

Summary In continuation of two foregoing investigations where stability of rectilinear flows of viscoelastic fluids between two plane parallel plates was analysed, the present paper discusses the analogous problem for flow in a cylindrical tube (Poiseuille flow) and a cylindrical annulus. The linearized disturbance equations for steady instabilities of cellular type are derived taking into account viscoelasticity according to second-order theory as well as inertial forces. ForPoiseuille flow analytical solutions are obtained, whereas for flow in an annulus a technique of numerical integration is utilized. It is found that curves of neutral stability are similar to the ones for plane channel flow giving a hint in this ease also that possibly two different types of instabilities may occur simultaneously.

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Zusammenfassung Im Anschluß an zwei vorangegangene Untersuchungen, in denen die Stabilität von geradlinigen Strömungen viskoelastischer Flüssigkeiten zwischen zwei ebenen, parallelen Platten behandelt worden war, wird hier das analoge Problem für die Strömung in einem Kreiszylinder (Poiseuille-Strömung) und in einem Ringspalt analysiert. Die Störungsgleichungen für stationäre Störströmungen vom Zellulartyp werden unter Zugrundelegung einer Theorie zweiter Ordnung für die Viskoelastizität und Einbeziehung der Trägheit in linearisierter. Form abgeleitet. Für diePoiseuille-Strömung lassen sich analytische Lösungen finden, wohingegen für die Ringspalt-Strömungen die Lösungen durch numerische Integration gewonnen werden. Die Indifferenzkurven sind von ähnlicher Gestalt wie bei der Strömung durch den ebenen Kanal und weisen ebenfalls auf die Möglichkeit eines gleichzeitigen Vorhandenseins zweier verschiedener Störströmungen hin.

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The main results of this paper were presented as the second part of a talk entitled On stability of rectilinear flows of viscoelastic fluids at the annual meeting of German Rheologists held in Bad Münster a. Stein from 28–30 May 1969.     

Particle motions in non-newtonian media

Summary The rotation of rigid rods and discs, and the deformation and burst of liquid drops were observed in elasticoviscous solutions of polyacrylamide undergoingCouette flow at shear rates from 0.1 to ~ 10 sec^–1. The study extended previous work (1) to cylindrical particles having axis ratios closer to unity and to liquid drops in systems having zero interfacial tension.The period of rotation of discs was appreciably longer than predicted by theory applicable toNewtonian fluids. Depending on the axis ratio and shear rate, the particles drifted into orbits in which the conventional orbit constantC varied periodically throughout each orbit. Above a given shear rate, rods aligned themselves in the direction of flow without rotating, in a metastable equilibrium position; in the case of discs at higher shear rates the position of alignment was stable.The oscillating deformation and orientation of drops in a system of two solubleNewtonian silicone oils was in fair accord with theory. With pairs of elasticoviscous polyacrylamide solutions, deformation and burst of viscous drops occurred along the vorticity axis, in contrast to the behaviour of elasticoviscous drops of polyisobutylene in Decalin having a finite interfacial tension, which deformed and burst in a manner similar toNewtonian drops.

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Zusammenfassung Die Rotation starrer Stäbchen und Scheibchen sowie die Verformung und das Aufbrechen flüssiger Tröpfchen wurde in viskoelastischen Polyacrylamid-Lösungen untersucht, die in einerCouette-Apparatur mit Schergeschwindigkeiten zwischen 0,1 und ca. 10 sec^–1 geschert wurden. Diese Untersuchung ergänzt eine frühere Arbeit (1), insofern zylindrische Teilchen mit einem Achsenverhältnis näher bei eins und Tröpfchen in Systemen mit verschwindender Grenzflächenspannung berücksichtigt werden.Die Umdrehungsperiode der Scheibchen kam erheblich langsamer heraus, als sie auf Grund der fürnewtonsche Flüssigkeiten gültigen Theorie vorausgesagt wird. Die Teilchen trieben, abhängig von ihren Achsenverhältnissen und der Schergeschwindigkeit, in Kreisbahnen hinein, für welche die konventionelle KreisbahnkonstanteC sich periodisch änderte. Oberhalb einer bestimmten Schergeschwindigkeit orientierten sich die Stäbchen in Richtung der Strömung in einer metastabilen Gleichgewichtseinstellung; für Scheibchen war bei höheren Schergeschwindigkeiten diese Einstellung stabil.Oszillationsverformung und Orientierung der Tröpfchen in einem System zweier ineinander lösbarernewtonscher Siliconöle stimmte zufriedenstellend mit der Theorie überein. Für Paare viskoelastischer Polyacrylamid-Lösungen wurden die zähen Tröpfchen entlang der Richtung der Rotationsachse verformt und aufgebrochen im Gegensatz zu viskoelastischen, eine endliche Grenzflächenspannung aufweisenden Tröpfchen von Polyisobutylen in Dekalin, die ähnlich wienewtonsche Tröpfchen verformt und aufgebrochen wurden.

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This paper is, in effect, an addendum to Reference (1). To avoid unnecessary repetition, identical symbols have been used (with the addition of andD which are defined in the text), and frequent use is made of figures and equations from references (1) and (2).

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This work was supported by the Defence Research Board of Canada. (DRB Grant 9530-47).

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With 3 figures and 2 tables     

Secondary flow induced by the rotation of a wavy rod

Summary The flow induced by the rotation of a wavy rod is studied using the method of domain perturbations. Of particular interest is the motion in axial planes which enters at second order. These secondary motions are sensitive to changes in the geometric and material parameters. For some values of the parameters the flow is entirely dominated by inertia; for other values, by normal stresses. For still other values of the parameters the competition between inertia and normal stresses causes the flow field to split into two distinct regions with normal stresses dominant near the rod and inertia dominant far away from the rod. The problem treated may be regarded as a model for the flow induced by agitators and stirring rods. The predictions of the analysis are in qualitative agreement with the experiments ofWhite, Chankraiphon andIde (6).

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Zusammenfassung Die Strömung, die durch Rotation eines welligen Stabes verursacht wird, wird mit Hilfe der Domänen-Störungsmethode untersucht. Von besonderem Interesse ist dabei die Strömung in axialen Ebenen, die in zweiter Ordnung auftritt. Diese Sekundärströmungen reagieren empfindlich auf eine Änderung der geometrischen und der Materialparameter. Für bestimmte Werte dieser Parameter ist die Strömung ausschließlich durch Trägheitseffekte bestimmt, während für andere Werte Normalspannungen ausschlaggebend sind. Schließlich führt in einem bestimmten Parameterbereich der Wettbewerb zwischen Trägheit und Normalspannungen zu einer Aufspaltung des Strömungsfeldes in zwei verschiedene Gebiete, wobei die Normalspannungen in Stabnähe und die Trägheitseffekte in großer Entfernung vom Stab vorherrschen. Das hier behandelte Problem kann als Modell für Strömungsfelder betrachtet werden, die durch Rührwerke und Rührstäbe hervorgerufen werden. Die analytischen Voraussagen sind in qualitativer Übereinstimmung mit Experimenten vonWhite, Chankraiphon andIde (6).

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With 4 figures and 1 table     

Das Fließverhalten von Perbunanlatices

Zusammenfassung Es wurde das Fließverhalten einiger Perbunanlatices in einem Konzentrationsbereich von 0,5 bis 47,3% und in einem Temperaturintervall von 18 bis 35°C eingehend untersucht. Unterhalb von 25% verhalten sich die Latices wieNewtonsche Flüssigkeiten. Bei höheren Konzentrationen hängt ihr Fließverhalten von der Schubspannung ab: Bis etwa 100 dyn · cm^–2 zeigen die Emulsionen ebenfalls dasNewtonsche, darüber hinaus jedoch strukturviskoses Verhalten. Die relative bzw. spezifische Viskosität erwiesen sich imNewtonschen Bereich bei allen Konzentrationen als temperatur-unabhängig.Die Meßergebnisse lassen sich durch eine modifizierteRobinson-Beziehung beschreiben. Mit Hilfe einer einfachen Arbeitshypothese, daß die Latexteilchen durch eine dünne immobilisierte Flüssigkeitsschicht (Hydrathülle) vergrößert werden, gelingt es, unsere sämtlichen Meßergebnisse aus demNewtonschen Bereich sowie einige aus der Literatur bekannte Daten über das Fließverhalten von Naturlatex durch eine gemeinsame Kurve darzustellen.Für die freundliche Unterstützung bei dieser Arbeit danken wir Herrn Dr.W. Meskat.     

Die Bedeutung der effektiven Viskosität für das Verhalten strukturviskoser Öle in Gleitlagern

Zusammenfassung Obwohl der Viskositätsbegriff an sich für nicht-Newtonsche Flüssigkeiten keine Gültigkeit besitzt, wird zur technischen Anwendung auch deren Fließverhalten durch Viskositätswerte gekennzeichnet, wozu der jeweilige Quotient aus Schubspannung und Geschwindigkeitsgefälle gebildet wird. Damit wird es möglich, auch strukturviskose Schmierstoffe bei der Berechnung bzw. Nachrechnung von Gleitlagern zu berücksichtigen.Die durch den Fließmechanismus begründete Annahme unterschiedlicher Viskositäten gemäß obiger Definition in Beanspruchungsrichtung und senkrecht dazu wird den wahren Verhältnissen im Lagerspalt nur bedingt gerecht, wie die Versuche mit einem konzentrischen Lager gezeigt haben. Die Auffassung der Viskosität als einen Vektor sollte daher zunächst nur als eine mathematische Hilfsvorstellung betrachtet werden. Für die praktische Behandlung des Systems Gleitlager/ strukturviskoses Öl bietet sich vielmehr die Definition einer effektiven Viskosität auf der Basis eines effektiven Geschwindigkeitsgefälles an. Hierbei handelt es sich umdie mittlere Viskosität, die für das Gesamtverhalten des betreffenden Schmierstoffes in einem Gleitlager verantwortlich ist. Sie besitzt keine physikalische Grundlage im Sinne desNewtonschen Viskositätsbegriffes, sondern bedeutet eine Rechengröße, mit der es möglich ist, vergleichende Betrachtungen zwischen strukturviskosen und reinviskosen Schmierstoffen anzustellen.

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Summary Although the term of viscosity does not apply to non-Newtonian liquids, viscosity values are nevertheless used in technical application to characterize the flow properties also of non-Newtonian liquids, using the quotient of shearing strength and velocity gradient. It is thus rendered possible in calculating, and checking the calculation of, friction bearings also to consider lubricants of the non-Newtonian type.The assumption, based on the flow mechanism, of differentia] viscosities, in accordance with the above definition, in the direction of stressing and perpendicular thereto does only conditionally come up to the real relations in the bearing gap, as experiments with a concentric bearing have shown. Considering the viscosity a vector should therefore, for the time being, only be a mathematical auxiliary conception, For the practical treatment of the system friction bearing/non-Newtonian oil, there rather offers itself the definition of an effective viscosity on the basis of an effective velocity gradient. It is the mean viscosity which is envolved here and which is responsible for the overall behaviour of the lubricant concerned in a friction bearing. It has no physical basis in the sense of the Newtonian viscosity concept, but means a calculation quantity with which it is possible to make comparative considerations between non-Newtonian and purely Newtonian viscous lubricants.

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Vorgetragen auf der Jahrestagung der Deutschen Rheologen in Berlin-Dahlem vom 20.–21. Mai 1968.