表达式x（δf／δx）＋y（δf／δy）和x（δf／δy）-y（δf／δx）的若干性质

讨论了偏导数表达式x(δf/δx) y(δf/δy)和x(δf/δy)-y(δf/δx)的若干性质，尤其是它们的积分性质。     

Hammerstein型非线性积分方程的固有值与固有函数

<正> 本文是作者工作[1]—[3]的继续.利用 Leray-Schauder 拓扑度理论研究下面形式的Hammerstein 型非线性积分方程(?)(x)=integral G k(x,y)f[(?)(y)]dy=A(?)(x) (1)的固有值与固有函数,这里 G 表 N 维欧氏空间 R~N 中某有界闭域,函数 f(u) 在0≤u≤δ(δ>0)上连续且 f(0)=0.以下,恒用 f′+(0)表 f(u)在点 u=0的右导数.定理1 假定:(i)非负连续核 k(x,y) 满足k(x,x)(?)0 (x∈G);     

二元函数全微分求积的一个简单方法

利用分离积分的方法，给出了二元函数全微分P（x，y）出＋Q（x，y）dy=du（x,y）求积的一个简便公式．其特点是只需计算函数P和函数Q的不定积分，从而避免原方法在积分路径选取时的麻烦以及由积分路径选取不当所导致的错误．     

利用重积分证明定积分不等式趣例几则

在重积分的计算中,如果被积函数可以分解为地f(x)·g(y),则它在矩形区域(σ):a≤x≤δ;C≤y≤d上的积分可化为两个定积分的乘积来计算.即有:     

恰当近似全微分问题

<正> 在数学分析中我们已经知道,假如 P(x,y),Q(x,y)是平面区域 G 上的连续函数,那么 P(x,y)dx+Q(x,y)dy是恰当全微分(即某一个二元函数的全微分)的充要条件是曲线积分integral from C P(x,y)dx+Q(x,y)dy与路线 C 无关(C 是区域 G 上的可求长曲线).如果 P(x,y),Q(x,y)并非连续,这时问题就变得复杂一些,因为托尔斯托夫证明了:即使在勒贝格意义下的第二型曲线积分     

关于平面断裂中的J积分

本文利用复变函数和微积分的理论讨论线弹性各向同性均匀材料板和正交异性复合材料板Ⅰ、Ⅱ型裂纹尖端附近的J积分,得到了下列结果: (1)将各个J积分统一化为对坐标的曲线积分的标准形式:J=∫_rP(x,y)dx+Q(x,y)dy (2)证明了各个J积分的路径无关性. (3)推出了各个J积分的具体计算公式.     

有限生成的幂零群的共轭分离性质

研究了有限生成的幂零群中元素的共轭分离问题.设ω表示全部素数组成的集合,π是ω的非空真子集,G是有限生成的幂零群,则下述三条等价:(i)如果x和y是G中的任意两个不共轭的元素,则x和y在G的某个有限p-商群中不共轭,其中p∈π;(ii)如果x和y是G中的任意两个不共轭的元素,则x和y在G的某个有限π-商群中不共轭;(iii)G的挠子群T(G)是π-群且G/T(G)是Abel群.同时举例说明:设G是有限生成的无挠幂零群,对于任意素数p,x和y都在G的有限p-商群G/G~p中共轭,但x和y在G中不共轭.     

关于二元函数的全微分求积中积分路径的选取问题

在讨论格林公式应用时，我们知道，如果在单连通开区域C内，函数P（x，y）及Q（x，y）具有一阶连续偏导数，且满足条件时，则微分式P（x，y）dx＋Q（x，y）dy在G内是某个二元函数u（x，y）的全微分式，即有原函数上式右端的曲线积分是与路径无关的。一般地说，可选取由起点M（x     

Bondy的泛圈图定理的改进

记G=(V,E)是简单图,1971年Bondy得到O re条件下的泛圈图的著名结果:若2连通n阶图G的不相邻的任两点x、y均有d(x) d(y)≥n,则G是泛圈图或G=Kn/2,n/2.这里进一步研究条件d(x) d(y)≥n-1,得到:若2连通n阶图G的不相邻的任两点x、y均有d(x) d(y)≥n-1,则G是泛圈图或G∈{K(Cn 1)/2∨G(n-1)/2,Kn/2,n/2}.本文作者得知最近国际著名权威专家Ho lton等人也得到完全相同的结果,但本证明更简捷.     

Hamilton连通性和邻域并条件

设G＝（V，E）为简单图，δ为图G的最小度，1987年Faudree等人给出NC＝min{|N(x)∪N(y)‖x,y∈V(G),xy∈N(G)}，有关文献曾研究3连通的H连通图，本文进一步得到：若G是n阶2连通图，且NC≥n-δ，则G除几个图外均是H连通图，从而，完成了邻并条件的H连通图问题。     

应用高斯公式应注意的一个问题

在利用高斯公式计算第二类曲面积分时 ,若曲面为非封闭曲面 ,此时添加辅助曲面时 ,要特别注意 ,要保证在封闭曲面及内部满足高斯公式的条件 ,稍有不慎就会得出错误的结果 .如下面这个例子 :例　算曲面积分 I = Σxdydz ydzdx zdxdy(x2 y2 z2 ) 3/2 ,其中Σ为曲面 1 -z5 =(x -2 ) 21 6 (y -1 ) 29(z≥ 0 )的上侧 .解　令 P =x(x2 y2 z2 ) 3/2 ,Q =y(x2 y2 z2 ) 3/2 ,R =z(x2 y2 z2 ) 3/2设Σ1是 xoy平面上由 (x -2 ) 21 6 (y -1 ) 29≤ 1所围部分的下侧 ,Ω是Σ与Σ1所围闭域 .∵ P x =-2 x2 y2 z2(x2 y2 z2…     

一类二阶变系数线性微分方程的另二种解法

在文 [1 ]中我们介绍了二阶变系数线性方程y″+[b G( x) -G′( x)G( x) ]y′+c G2 ( x) y =0 ( 1 )的求解方法 (式中 G( x)在某区间 I上具有一阶连续导数 ,且 G( x)≠ 0 ,b和 c为实常数 ) ,即令y′=-G( x) yv ( 2 )将 ( 1 )化为关于新函数 v的一阶可分离变量方程 ,积分后代入 ( 2 )式再积分 ,最后得到方程 ( 1 )的通解。我们称这解法为函数变换降阶法。本文再介绍作者在文 [2 ]中给出的方程 ( 1 )的另二种解法。一、待定常数、函数法我们猜想方程 ( 1 )有形如y =erf (x) ( 3 )的解 ,其中 r为待定常数 ,f( x)为某一待定函数 ,它具有所需…     

具有幂零奇点的七次Hamilton系统Abel积分的零点个数估计

本文研究了具有幂零奇点的七次Hamilton系统的Abel积分的零点个数问题.利用Picard-Fuchs方程法,得到了Abel积分I(h)=∮_(Γh)g(x,y)dx-f(x,y)dy在(0,1/4)上零点个数B(n≤3[(n-1)/4]),其中Γ_h是H(x,y)=x~4+y~4-x~8=h,h∈(0,1/4),所定义的卵形线f(x,y)=∑(1≤4i+4j+1≤n)aijx~(4i+1)y~4j)和g(x,y)=∑(1≤4i+4j+1≤n)bijx~4iy~(4j+1)是x和y的次数不超过n的多项式.     

分部积分法在重积分中的应用

重积分是一元函数积分的推广,但与一元函数积分相比,计算重积分的难易除了与被积函数有关外,还与积分区域的特点有关。我们知道,计算重积分的主要方法是化重积分为累次积分。对于y—x(x—y)次序的累次积分∫_a~b dx ∫_(c(x))~(d(x)) f(y)dy (∫_c~d dy ∫_(a(y))~(b(y)) f(x)dx),若函数f(t)的原函数不能用初等函数表示出来,则在文[1]—[6]中求此累次积分的值时,都是使用狄利克莱变换,交换累次积分的次序后进行的。如累次积分∫_0~1 dy ∫_y~(y~(1/2)) sin x/x dx的求值,文[3]中指出,不交换其次序就积不出结果;文[4]中说,如果不交换其次序,积分难以进行。果真如此吗?现在我们来研究不交换其次序的求值方法。首     

关于满足A(H)=3的图的存在问题

设 H 为任意的有限无向图.以 d_H(x,y)表示 H 的两个顶点 x,y 之间的距离.顶点 x在 H 中的联系数 e_H(x)=(?)d_H(x,y).图 H 的半径与直径分别为ρ(H)=(?)(x)与δ(H)=(?)(x).H 中以ρ(H)为联系数的顶点叫做 H 的中心点,全体中心点集的诱导子图叫做 H 的中心,记为 C(H).定义 A(H)=(?){|V(G)|-|V(H)|∶C(G)≌H}(G 为有限无向     

谈二维随机变量的函数的分布函数

设二维随机变量 (X,Y)的概率密度为 f (x,y) ,二维随机变量的函数是 U =U(x,y) ,则U的分布函数为FU(u) =P{ U≤ u} = Gf (x,y) dxdy,G:u(x,y)≤ u,(-∞ 0 .将此…     

关于Simon和Murty猜想的证明

我们沿用书[1]中的记号和术语。设G=(V,E)是简单有限无向图,其中V=V(G),E=E(G)分别是G的顶点集合和棱集合。v(G)=|V(G)|,ε(G)=|E(G)|。设x,y∈V(G),x和y之间的距离d_G(x,y)定义为G中最短(x,y)路(path)的长度;如果x和y在G中不连通,则定义d_G(x,y)=∞。G的直径diam(G)定义为G中最大的距离,即     

非线性积分方程解的指数与解的个数

本文对型非线性积分方程,给出了一个由Fredholm行列式表示其解的指数的公式,并且讨论了利用Fredholm行列式判断其解的个数的方法。 引理1 设线性积分算子A:C(G)→C(G) (Au)(x)=integral from G (K(x,y)u(y)dy) (1) 其中GR~N为有界闭域,K(x,y)在G×G上连续。从而A全连续,相应于A的Fredholm行列式F-det[I-A]为     

图有含(或不含)特殊边的[a,b]-因子的邻域条件

设G是一个n阶图.设1≤a＜b是整数.设H1和H2是G的任意两个边不交子图,它们分别具有m1和m5条边,以及δ(G)表示最小度.证明了若δ(G)≥a+m 2,n≥2(d+b-m2)(a+b-m1-1)/(b-m1),a≤b-(m1+m2),并且|NG(x)UNG(y)|≥an/(d+b-m1)+2m2对任意两个不相邻的顶点x和y成立,那么G有[a,b]-因子F使得F含有H1的边并不含H3的边.     

关于轮图优美标号的性质

设G=(V(G)),E(G))为p个顶点,q条边的连通简单图,以x和y为端点的边记作(x,y).定义1 称l为G的一个优美标号,如果l是一个单射:l:V(G)→{0,1,…,q}使得对所有边(x,y)∈E(G),由(?)(x,y)=|l(x)-l(y)|所定义的函数是一个—一对应.并称l(x)为顶点x的优美值.