Existenz und Eindeutigkeit starker und klassischer Lösungen für inhomogene hyperbolische Differentialgleichungen im Hilbertraum

In dieser Arbeit befassen wir uns mit der inhomogenen Differentialgleichung:

$$\begin{aligned} u'(t)+A(t)u(t)+f(t)= & {} 0,\quad t\in (t_1,t_2)\\ u(t_1)= & {} \varphi \end{aligned}$$

im abstrakten Hilbertraum und weisen eindeutige starke Lösungen aus der Klasse der lipschitzstetigen Funktionen nach, falls f(t) von beschränkter Variation ist, sowie klassische Lösungen, falls f(t) zusätzlich stetig ist. Das bedeutet den Verzicht auf die bisher übliche Forderung der Lipschitzstetigkeit von f(t) für den direkten Nachweis der klassischen Lösbarkeit.

     

Schwache Lösungen des Frankl-Morawetz-Problems im ℝ3

In a bounded simple connected region G ? ?³ we consider the equation $$L\left[ u \right]: = k\left( z \right)\left( {u_{xx} + u_{yy} } \right) + u_{zz} + d\left( {x,y,z} \right)u = f\left( {x,y,z} \right)$$ where k(z)? 0 whenever z ? 0.G is surrounded forz≥0 by a smooth surface Γ₀ with S:=Γ₀ ? {(x,y,z)|=0} and forz<0 by the characteristic \(\Gamma _2 :---(x^2 + y^2 )^{{\textstyle{1 \over 2}}} + \int\limits_z^0 {(---k(t))^{{\textstyle{1 \over 2}}} dt = 0} \) and a smooth surface Γ₁ which intersect the planez=0 inS and where the outer normal n=(n_x, n_y, n_z) fulfills \(k(z)(n_x^2 + n_y^2 ) + n_z^2 |_{\Gamma _1 } > 0\) . Under conditions on Γ₁ and the coefficientsk(z), d(x,y,z) we prove the existence of weak solutions for the boundary value problemL[u]=f inG with \(u|_{\Gamma _0 \cup \Gamma _1 } = 0\) . The uniqueness of the classical solution for this problem was proved in [1].     

Ein Kriterium für die Existenz nicht-linearer ganzer Lösungen elliptischer Differentialgleichungen

Ohne ZusammenfassungDiese Arbeit ist von einem von uns (Johannes Nitsche) unter Contract Nonr — 710(16) zwischen der Universität von Minnesota und dem Office of Naval Research vorrereitet worden.     

Zwei Kriterien für die Existenz periodischer Lösungen von Differentialgleichungen zweiter Ordnung

Ohne Zusammenfassung Hermann Schmidt zum sechzigsten Geburtstag gewidmet     

Schranken für Lösungen von Randwertaufgaben

Ohne Zusammenfassung     

A priori-Schranken für diskrete Lösungen monotoner Operatorgleichungen und Anwendungen

Summary Operator equationsTu=f are approximated by Galerkin's method, whereT is a monotone operator in the sense of Browder and Minty, so that existence results are available in a reflexive Banach spaceX. In a normed spaceY error estimates are established, which require a priori bounds for the discrete solutionsu _h in the norm of a suitable space . Sufficient conditions for the uniform boundedness u _{h Z} =O(1) ash0 are proved. Well-known error estimates in [3] for the special caseX=Y=Z are generalized by this. The theory is applied to quasilinear elliptic boundary value problems of order 2m in a bounded domain . The approximating subspaces are finite element spaces. Especially the caseX=W ₀ ^{m, p} (), 1<p<,Y=W ₀ ^{m. 2} (),Z=W ₀ ^{m. max (2,p)} ()W^m, () is treated. Some examples for 1<p<2 are considered. Forp2 a refined technique is introduced in the author's paper [7].

     

LP-Abschätzungen und klassische Lösungen für nichtlineare Wellengleichungen II

This paper deals with the global classical solvability of the Cauchy problem for nonlinear wave equations of higher order of the following form where denotes the Laplacian, a real constant, m a positive integer, and f the nonlinearity. Using results of the first part [6] concerning estimations for the kernel of the associated integral equation a priori estimates for certain L^P-norms of the local regular solution are established for higher space dimensions and for a class of nonlinearities satisfying certain growth and positivity conditions. This leads to completely regular solutions by means of the Sobolev embedding theorems.     

Ein Einschliessungsverfahren für Lösungen Fehlerbehafteter Linearer Gleichungen

In a partially ordered space, the method x_n+1 = L⁺x _n ⁺ – N⁺x _n ^- – L^–y⁺ + N^– y _n ^- + r, y_n+1 = N⁺y⁺ – L⁺y _n ^- – N^–x _n ⁺ + L^–x^– + t of successive approximation is developed in order to enclose the solutions of a set of linear fixed point equations monotonously. The method works if only the inequalities x₀ y₀, x₀ x₁, y₁ y₀ related to the starting elements are satisfied. In finite-dimensional spaces suitable starting vectors can be computed if a sufficiently good approximation for the fixed points is known.

     

Eindeutigkeitsaussagen für das Tricomi-Problem im ℝ2 für eine Klasse nichtlinearer Gleichungen gemischten Typs

For the nonlinear equation $$L[u]: = k(y)u_{xx} + u_{yy} = g(x, y, u, u_x , u_y )$$ inG, bounded by a piecewise smooth curveΓ ₀ fory>0 which intersects the liney=0 at the pointsA(?1,0) andB (0, 0) and fory<0 by the characteristicsΓ ₁ andΓ ₂ through the pointsA andB which intersect at the pointC, the uniqueness of boundary value problems i) \(u|_{\Gamma _0 \cup \Gamma _1 } = \varphi \) and ii) \(d_n u|_{\Gamma _0 } = k(y)u_x dy - u_y dx|_{\Gamma _0 } = \varphi ds,u|_{\Gamma _1 } = \psi \) is proved by the energy-integral method.     

Existenz und eindeutigkeit für die erste randwertaufgabe bei gewöhnlichen differentialgleichungen

The shooting method is used to prove existence and uniqueness of solutions to (1) under various types of Lipschitz conditions on f. Since the shooting function turns out to be strictly monotone, a priori estimates for the solutions are easily obtained.     

Ebene und räumliche periodische Lösungen des Hillschen Problems

Ohne ZusammenfassungAstronomisches Rechen-Institut in Heidelberg Mitteilungen Serie A Nr. 20 Cuno Hoffmeister zum 70. Geburtstag gewidmet     

Ein Identitätssatz für Lösungen quasilinearer hyperbolischer Differentialgleichungen

Ohne Zusammenfassung     

Notwendige Bedingungen für die diskontinuierlichen Lösungen von den Variationsproblemenn-ter Ordnung

Ohne Zusammenfassung Vorgelegt von A. Rényi     

Zahlenmythen im öffentlichen Leben —Aufgabe für den Mathematikunterricht

When administrative bodies publish figures we are often stunned by the precision with which they seem to render various situations and consequently tend to rely on their correctness. These figures, however, frequently do not describe a situation as accurately as they suggest. Thus working and drawing conclusions from such “precise figures” soon turns out to be highly problematic. Mathematics taught in school today encourages the pupils’ belief in the validity of such seemingly “precise figures”. This article promotes a deeper consciousness of this widely neglected problem and gives first suggestions of how to use the term “precision” in relation to figures in school mathematics in a reasonable and responsible way.     

Zur Regularität schwacher Lösungen für elliptische Systeme partieller Differentialoperatoren

Ohne Zusammenfassung     

Kriterien für die physikalische Bedeutung der unstetigen Lösungen der hydrodynamischen Bewegungsgleichungen

Ohne ZusammenfassungNach einem Vortrage des Verfassers, gehalten im mathematischen Seminar der Herren Proff. Hilbert und Minkowski im Wintersemester 1904–05 zu Göttingen.     

Über die Lösbarkeit des Einbettungsproblems für Abelsche Zahlkörper

Ohne ZusammenfassungDiese Arbeit wurde von der Philosophischen Fakultät der Universität Leipzig als Dissertation angenommen.