巧变形 求最值

<正>《中学生数学》2013年第4月(下)课外练习题初三年级第1题是:题求函数y=2x+2x2+3x+3的最大值和最小值.参考答案用"判别式"给出了解答.本文再给出一种不用"判别式"的解法,供同学们参阅.另解y=2x+2x2+3x+3=2(x+1)(x+1)2+(x+1)+1,当x+1=0时,y=0,即y=0是函数的一个值;当x+1≠0时,y=2x+2x2+3x+3=2(x+1)(x+1)2+(x+1)+1=2(x+1)+1x+1+1.∵|x+1|+1|x+1|≥2|x+1|·1|x+1槡|=2,     

巧求一类等差数列前n项和的最值

例1（1995年高中联赛）设等差数列{an}满足3a8=5a13,且a1〉0,Sn为其前n项之和,则Sn（n∈N＋）中最大的是（ ）．     

借助轨迹 妙求最值

一、题目展示 （2012年高中数学联赛第5题）在△ABC中,^→AB·^→AC=7,｜^→AB-^→AC｜=6,求S△ABC的最大值。     

2021年全国高中数学联赛加试最值题引发的思考

笔者推广了2021年全国高中数学联赛(B卷)加试最值题的结论,给出了一个类似结论.笔者将其作为证明方法的类推应用,阐述利用平均值不等式法、柯西不等式法、待定常数法(或凑等号法)、切线法、中间不等式法,通过构建并运用局部不等式,使一大批不等式竞赛题获得简洁证明.     

一道竞赛题的推广

2010年全国高中数学联赛湖北省预赛高二年级试题第6题是：     

用构造法巧求根式函数最值

根式函数的最值问题具有灵活性强、饵题方法巧、应用知识面广等特点，能考查学生的观察、类比（特别是形式结构的类比）、联想、转化、创新等多种能力．所以一直是高考和竞赛的热点问题．本文介绍构造斜率、向量、线性规划、距离、对偶式求解这类问题的方法，供大家参考．     

利用最值定义巧求参数取值

本文给大家介绍一种利用最值定义由给定含参函数的最值求解相应参数的方法．     

利用方差非负性巧求最值

一组数x1,x2,x3,…xn的平均数为-x,其方差是S^2=1/n[（x1^2＋x2^3＋…＋xn^2）-n-x^2].     

竞赛题的巧解与思考

1．巧解问题——“柳暗花明又一村” 例1 （2007年全国高中数学联赛江西省预赛12题）将各位数码不大于3的全体正整数m按自小到大的顺序排成一个数列{an},     

对一道竞赛预赛试题的探究

本文拟对2013年全国高中数学联赛湖北省预赛高二年级第6题进行探究。试题如图1,设F为椭圆C：4/x2＋3/x2=1的右焦点,过椭圆C外一点P作椭圆C的切线,切点为M,若∠PFM=90°,求点P的轨迹方程。     

抓住等式 巧求最值

在求解最小值、最大值的问题中,如果能抓住已知的等式条件,并进行合理的转化和运用就可以化解问题的难点,使解题朝着正确的、成功的轨道前进,本文举例介绍几种常用方法,供同学们参考.     

利用对称巧求最值两例

在一个含有多个变元的式子（多项式或等式或不等式）中,若交换其中的两个变元其式子不发生改变,则称此式关于这两个变元是对称的,若交换其中任意两个变元其式均不发生改变,则称此式关于所有变元是对称的.利用对称解题是一种重要的思想,其中利用对称可巧妙简捷地求解一类最值问题,看下面的两例.     

基本不等式求最值八法

不等式是高中数学的重要内容之一,而运用基本不等式求最大值或最小值又是不等式一章的重点,也是高考考查的热点。运用基本不等式求最值有很大的灵活性和较高的解题技巧,本文将系统介绍有关的一些常用方法和技巧。     

正确地求条件最值

本文对正确地求条件最值问题作了系统论述,并举例来澄清一些错误观念     

构造常数数列解决数列问题

2008年全国高中数学联赛湖北省预赛试题中有这样一道题：设数列{an}满足：a1=1，a2=2，an＋2/an=an＋1^2＋1/an^2＋1（n≥1）.     

引参法巧求分式的最值

对于分式∑i,j=1,i≠j^n xi·xj型的最值,我们只要恰当地引入参数,将分母变形,然后用均值不等式“凑出分子”的形式,再利用待定系数法,可巧妙地求出其最值,下面举例说明之．     

构造向量求无理函数最值

在学习向量的过程中,有如下两个结论： a·b≤｜a·b｜≤｜a｜·｜b｜; ｜a｜-｜b｜≤｜a＋b｜≤｜a｜＋｜b｜。 本文旨在通过一些例子说明,有针对性地、恰当地构造向量,运用上述结论,能简明快捷地探求四类无理函数的最值．     

拉格朗日恒等式及其应用

本文介绍拉格朗日恒等式,并借助它解决一道数列预赛试题,再通过实例介绍拉格朗日恒等式在解竞赛题中的应用.