探究一类条件不等式的源与流

文[1]对不等式“若xi〉0，i=1，2，3且∑i=1^3 xi=1，则1/1＋x1^2＋1/1＋x2^2＋1/1＋x3^2≤27/10”给出了一个较为简单的证明．其证明思路是：先证明对任意0〈x〈1有1/1＋x^2≤27/50（2-x），即（x-1/3）^2（x-4/3）≤0成立（这是显然的，且x=1/3时等号成立）.     

构造“零件不等式”证明一类条件不等式

文[1]用初等方法证明了不等式：若xi〉0，i=1，2，3，且x1＋x2＋x3—1，则1/（1＋x1^2）＋1/（1＋x2^2）＋1/（1＋x3^2）≤27/10     

初等证明不初等

文[1]用初等方法证明了不等式：若xi〉0,i=1,2,3,且^3∑i=1xi=1,则1/1＋x^21＋1/1＋x^22＋1/1＋x^23≤27/10.     

Diophantine inequality involving binary forms

Let r =2^d-1 ＋ 1. We investigate the diophantine inequality
｜∑i=1^r λiФi（xi,yi）＋η｜〈（max 1≤i≤r{｜xi｜,｜yi｜}）^-δ,
where Фi（x,y）∈X[x,y]（1≤i≤r） are nondegenerate forms of degree d = 3 or 4.     

关于一个不等式猜想的否定

本刊文[1]对文[2]中的第一个不等式给予推广，对第二个不等式的推广提出一个猜想：设xi〉0（i=1，2，3，…，n），n∑i=1xi=1.则n∏i=1（1/1-xi＋xi）≥（n/n-1＋1/n）^n.     

巧用等比性质证不等式

题目 已知xi,yi∈R^＋（i=1,2,…,n）,且x1/y1〈x2/y2〈…〈xn/yn,求证：x1/y1〈x1＋x2＋…＋xn/y1＋y2＋…＋yn〈xn/yn.     

2008年上海市高考数学（理）第11题赏析

上海市2008年高考数学（理）第11题为：题目方程x^2＋√2x-1=0的解可视为函数y=x＋√2的图像与函数y=1/x的图像交点的横坐标，若方程x^4＋ax-4=0的各个实根x1,x2,…,xk（k≤4）所对应的点（xi,4/xi）（i=1,2,…,k）均在直线y=x的同侧，则实数a的取值范围是______.     

一个最小值极大化问题的简解

文[1]为解决二次规划问题：已知实数x1，x2，…，xn，满足x1^2＋x2^2＋…＋xn^2=1，当n≥3时，求maxmini≠j i≠j｜xi-xj｜.     

n元三次多项式不等式猜想的证明

猜想 [1]　设 x1,x2 ,… ,xn∈ R+ ,n为正整数 ,证明或否定 :n( n - 1 ) ∑ni=1x3 i + ( ∑ni=1xi) 3　≥ ( 2 n - 1 ) ∑ni=1xi∑ni=1x2i ( 1 )这是杨学枝老师近日提出的一个猜想 .经探讨发现 ,此猜想成立 .为证明 ( 1 )式成立 ,先给出如下引理 .引理 1　 x1,x2 ,… ,xn∈ R,n为正整数 ,则( ∑ni=1xi) 3 =∑ni=1x3 i + 3∑i≠ jx2ixj+ 6 ∑1≤ i相似文献   

一类“数学问题”的统一证法

文[1]给出了不等式:已知x,y,z∈R+,m∈N+.求证:x/mx+y+z+y/x+my+z+z/x+y+mz≤3/m+2. 文[2]给出了不等式:已知xi＞0(i=1,2,…n),k＜1,求证: n∑i=1 xi/x1+x2+…+xi-1+kxi+xi+1+…+xn≥n/n+k-1. 文[3]给出了不等式:设ai＞0(i=1,2,3,…,n),p∈R,q＞0,且n∑i=1ai=A,Si=pai+q(A一ai)＞0(i=1,2,…,n),求证:     

α-混合随机序列最近邻密度估计的强相合收敛速度

设{Xi）i=1^∞是一维平稳序列，具有公共的未知密度f（x），在{Xi}i=1^∞是α-混合的条件下，给出了f（x）基于前礼个观测值{Xi}i=1^∞的最近邻密度估计的强相合收敛速度，当f（x）满足适当条件，收敛速度可达到0（n^-1/3（ln n）^4（1＋p）／3））．     

一类多维指数分布的参数估计

考虑生存函数为(F)(x1,x2,…,xn)=P{X1＞x1,…,Xn＞xn}=exp{-[n∑i=1(xi/θi)1/δ]δ}(0＜xi＜∞,0＜δ≤ 1,0＜θi＜∞,i=(1,n))的一类多维指数分布,给出了它的密度函数的表示式,并讨论了它的性质.提出了相关参数δ的估计(^δ),证明了(^δ)有相合性和渐近正态性,得到了(^δ)的渐近方差σ2δ.最后还给出了若干随机模拟的结果.     

对两个代数不等式的探索

文[1]给出了如下定理及猜想:定理1对于任意实数x,y,a,b有(x-a)2 (y-b)2≥(x2 y2-a2 b2)2.定理2已知x,y,xi,yi∈R(i=1,2,…,n),且x2 y2≥n∑i=1xi2 yi2,则(x-n∑i=1xi)2 (y-n∑i=1yi)2≥(x2 y2-n∑i=1xi2 yi2)2(1)猜想,已知x,y,xi,yi∈R(i=1,2,…,n),则(x-n∑i=1xi)2 (y-n∑i=1y     

一个不等式的推广及猜想

文[1]介绍了如下一个不等式:若xi>0,i=1,2,3,且∑3i=1xi=1,则11 x12 1 1x22 1 1x32≤1170(1)文[1]给出了(1)的一个初等证明·今推广(1)如下:若xi>0,i=1,2,3,4,且∑4i=1xi=1,则1x13 1 1x32 1 1x33 1 1x43≤26556(2)证明先证明:对任意0相似文献   

一道自主招生试题的加强及推广的统一

（2010年浙江大学自主招生试题）有小于1的正数：x1,x2,…,xn且x1＋x2＋…＋xn=1．求证：1/x1-x2^3＋1/x2-x2^3＋…＋1/xn-xn^3〉4．     

兔子是这样从帽子里面抓出来的

数学问题1785 设0≤xi≤1,n∈N,n≥3,且n∑i=1xi=1,求f(x1,x2…,xn)=n∑i=1 xi/1+x2i的最大值. 命题人用下面的引理给出了该问题解答.引理 0≤x≤1时,有不等式x/1+x2≤(n/n2+1)2[(3+n2)x-2nx2](*),当且仅当x=1/n时等号成立. 文[1]将上述引理调侃为“就象从一顶帽子里抓出一只兔子的戏法一样令人感到意外,根本不具备什么启发性”.笔者认为这种说法有失偏颇,不能把自己没有看透的东西说成不自然的东西,现在我们来看引理是怎样被发现的.     

Precise rates in the law of the logarithm for the moment convergence in Hilbert spaces

Let （X, Xn; n ≥1） be a sequence of i.i.d, random variables taking values in a real separable Hilbert space （H, ｜｜·｜｜） with covariance operator ∑. Set Sn = X1 ＋ X2 ＋ ... ＋ Xn, n≥ 1. We prove that, for b 〉 -1,
lim ε→0 ε^2（b＋1） ∞ ∑n=1 （logn）^b/n^3/2 E{｜｜Sn｜｜-σε√nlogn}=σ^-2（b＋1）/（2b＋3）（b＋1） B｜｜Y｜^2b＋3
holds if EX=0,and E｜｜X｜｜^2（log｜｜x｜｜）^3bv（b＋4）〈∞ where Y is a Gaussian random variable taking value in a real separable Hilbert space with mean zero and covariance operator ∑, and σ^2 denotes the largest eigenvalue of ∑.     

一个竞赛不等式的多方位推广

文[1]中给出了下列结果： 已知x1，x2，…，xn∈R^＋则 x1^2/x2＋x2^2/x3＋…＋xn^2/x1 ≥x1＋x2＋…＋xn＋4（x1-x2）^2/x1＋x2＋…＋xn （1）[编者按]     

利用方差非负性巧求最值

一组数x1,x2,x3,…xn的平均数为-x,其方差是S^2=1/n[（x1^2＋x2^3＋…＋xn^2）-n-x^2].     

一道竞赛试题解法探究

例 1　 ( 1995年数学冬令营第五题 )设xi >0 ,∑ni =1xi=1(i =1,2 ,… ,n) ,求证 :∑ni =1xi1+ (x1+x2 +… +xi- 1)xi+xi+ 1+… +xn≤ π2 .证　令sinθi=∑ik =1xk ,θ0 =0 (i =1,2 ,… ,n) ( 0<θi≤ π2 ) ,则∑ni=1xi1+ (x1+x2 +… +xi - 1)xi+xi + 1+… +xn=∑ni =1sinθi-sinθi- 11+sinθi - 11-sinθi- 1=∑ni =12sin θi-θi - 12 cosθi+θi- 12cosθi - 1≤∑ni =12sinθi-θi - 12<∑ni =1(θi-θi - 1)=θn -θ0 =π2 .例 1的命制及解法均含有高等数学中的思想方法 ,为了说明问题 ,我们给出如下两个结论 .定理 1　设 f(x) 是区…