三角形界心的若干性质

性质1过三角形任一顶，＊’的周界中线平行于内·C与对边中点的连线．这是已有性质，略证如下．设AK为西ABC周界中线，则＊K一户一C，KC一户一b，M为BC中点，AI延长交对边BC于E，则BE一MM，于是”“hMc性质2三角形一顶点到界心的距离，等于内心到对边中点距离的二倍．证明设M、N分别为西＊BC的边＊C和AC中点，I为内。c，J为界·G（如图2），则IN／／BJ（性质1），连CI延长到F，使IF—CI，连AF，FB，则IN／／AF，于是BJ／／AF，同理AJ／／BF，AFBJ为平行四边形，性质3在同一三角形中，人G、J共线且JG—ZGI．事…     

1997年全国高中数学联合竞赛第二试试题及参考答案

1．如图，已知两个半径不相等的圆Q与圆Q相交于M、N两点，且回OI、圆Oz分别与圆O内切于S、T两点．求证：OM上MN的充分必要条件是S、N．7三点共线．（命题组供题〕证明如图，设圆q、圆Q，圆O的半径分别为rl、r。、r．白条件知O、OI、S三点共线及O、OZ、T三点共线，且OS。OT-r，连结OS、OT、SN、--、oM、OIN、OzM、OzN．OIOi．充分性设J、N．T"占其线．则／J一上T．又面＊＊N与西Q人Y"均为等腰三角形，ZS一LOINS，L7"＝fozM"．ZS＝LOzNT，Z7"＝ZOINS．OZN／／OS，OlN／／ffi"，故四边形to；NOz为平行四边形…     

一道中考题的命制过程与启示

一、试题呈现(南通卷第26题)在菱形ABCD中,∠B=60°,点E在边BC上,点F在边CD上.(1)如图1,若E是BC的中点,∠AEF=60°,求证BE=DF;(2)如图2,若∠EAF=60°,求证△AEF是等边三角形     

对一道初中联赛题的探讨

命题设凸四边形ABCD的对角线AC、BD的交点为M，过点M作AD的平行线分别交AB、CD于点E、F，交BC的延长线于点O．P是以O为圆山，OM为半径的圆上一点．求证：∠OPF＝∠OEP（图1）．这是1996年全国初中数学联赛第二试的第二题．事实上，命题的结论并非局限在凸四边形中，倘若将题设中的“凸四边形ABCD”改为“凹四边形ABCD”，其它条件不变，仍可得到结论．命题*设凹四边形ABCD的对角线AC、BD的交点为M，过M作AD的平行线分别交AB、CD于点E、F，交BC于O，P是以O为圆心，以OM为半径的圆上一点．则∠OPF＝∠OEP．证如图…     

用垂足三角形的性质解竞赛题

是锐角ABC的三条高线，我们称DEF为ABC的垂足三角形．用SABC、R分别表示ABC的面积和外接园半径，SDEF、LDEF分别表示DEF的面积和周长，则垂足三角形有如下有趣的性质．性质1性质n证明同理故R（sin2A＋sin2B＋sin2C）4RsinAsinBslnC．下面以一些国内外竞赛题为例，说明会足三角形两个性质的应用．例1凸DEF是锐角上ABC的垂足三角形，凸ABC和bDEF的外接团半径分别是R、r．求证：R—Zr．（1981年太原市竞赛题）证明如④2，例2锐角凸＊＊C三边上的高分别是AD、＊E、CF，凸ABC外接国半径为R．求证：凸ABC的面积等于西D…     

探究双曲线渐近三角形的一组性质

1渐近三角形的定义 如图1，设l是过双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1（n〉0，6〉0）上的一点P（x0，y0）的切线，l与双曲线的两条渐近线分别交于点M，N，与x轴交于点Q，则称△OMN为双曲线的渐近三角形．     

一道课外练习题的简解与挖掘

<正>《中学生数学》(初中刊)2014年第8期刊登的《课外练习及参考答案》栏目初三年级的第1题及参考答案为:已知:如图1,正方形ABCD的边长为2,从各边往外作等边三角形ABE、BCF、CDG、DAH,求四边形AFGD的面积.参考答案解如图2,连接DF,并过点F作FM⊥BC于点M,延长FM交AD于点N,△BCF是等边三角形,且其边长为2,     

一道立几题妙解的启示

在高三要学总复习时，我遇见了这样一山立体几何题：尼日如日1，tkrtM＆命P--ABC的庆历过长为a，例校长为Zrt，E、F分别是PB、BC上的点．求西AEF的用长的最小住．初看此题，觉得题B很简单，不就是把三公唯展成平面图形'在西＊AA'中解出一条边的问大嘛2但是解题过程中却遇到了一个麻饬的问题，'那就是要用三倍角公式进行计算。难通非要有警长的运算吗？不甘。（手是想到了年面几何，便有了下面的妙解办把Z校依展开，如用2所6．凸PABgy凸PBC丝面PCA'，'由时称性可MAA－'／／M。'／AA"M且aB-ca。一。。人力j一A。F＝。"：HAB…     

正三角形的面积与费尔马问题解

1问题的提出1．1对于给定的等边△PQR，已知其内一点O到三顶点的距离OP=α、OQ=b、OR=c，求等边△PQR的面积S．1．2以a、b、c为边构造一个三角形△ABC在平面上求一点S，使SA＋SB＋SC的值最小．（即费尔马最短距离（l）问题）2问题的解决2．1如图1所示，设正△PQR的边长为x，由余弦定理可知：2．2以a、b、c为边构造三角形△ABC如图2所示，费尔马提出如下问题：在平面上求一点S，使l=SA＋SB＋SC达到最小，即费尔马最短距离l．下面应用力学模拟方法解决此问题，如图3，在A、B、C处各打一小孔，取三条线绳扎结于S，然后穿孔各…     

对福建省一道高考试题的一般性探究

试题（2012福建高考文科21题）:如图1,等边三角形OAB的边长为8(3^1/2),且其三个顶点均在抛物线E:x²=2py（p>0）上.（1）求抛物线E的方程;（2）设动直线l与抛物线E相切于点P,与直线y=-1相较     

两道竞赛题的联系及引申

1996年全国中学生数学冬令营第一天第一题是：命题1如图1，设H是锐角凸ABC的垂心，由A向以BC为直径的圆作切线AP、AQ，切点分别为P、Q．求证：P、H、Q三点共线．1997年中国数学奥林匹克竞赛第四题g．命题2如图2，四边形ABCD内接于圆，其边AB、DC的延长线交于点P，AD与BC的延长线交于点Q，由Q作该圆的两条切线QE和QF，切点分别为E、F，求证：P、E、F三点共线．此两题都属于证三点共线问题，文【l」给出了命题2的别证及引申．事实上，命题1与命题2是可以统一的，更确切地说命题1是命题2的特殊情况，并且它们还可以纵向引申到…     

一道高中联赛题的几种新证法

1题目如图1，已知两个半径不等的圆O1与圆O2相交于M、N两点，且圆O1与圆O2内切于S、T两点，求证：OM上MN的充要条件是S、N、T三点共线（满分50分，命题组供题）这是1997年全国高中联赛第二试中第一大题，命题组为改卷提供的参考答案只有一种证法【’］．其实，平面几何问题，常无定法，从不同角度去思考，往往可以发现多种途径，有的还是很简捷的证法．本文除了给出几种不同于上述参考答案的新证法以外，还用根轴的知识给出了一个最简证法．2充分性证明的简化在证充分性时，需要先证OO．NOZ是平行四边形原证法是利用面OISN，凸OZ…     

一道跨越"时空"的教材习题探析

1 习题展示 题目1 如图1,△ABD,△AEC都是等边三角形,求证:BE=DC. 说明本题为人教版8年级上册P 58的第11题,是对等边三角形的性质及全等的巩固演练题,发现对应元素的关系是问题的关键.     

arcsin(1-x~2)/(1 x~2) arccos(2x)/(1 x~2) 2arctg(2x)/(1-x~2)的构图

题目设,求的值此题通常是观察联想，应用万能公式作交换的典型题．然而，笔者通过构造直角三角形来求解，则更为简洁，令人叹服．解构造Rt凸ABC，使LC＝90”，AC一2，＊C一I－／，则＊B＝1＋’，如图．arcsin(1-x~2)/(1 x~2) arccos(2x)/(1 x~2) 2arctg(2x)/(1-x~2)的构图@毛晓峰$兰州铁路一中!73000     

三角形的“等积点”及其性质

1走义设P是否ABC所在平面内的一点，若a·PA＝b·PB＝c·PC．则称P是ABC的等积内．2等积点的性质性质1三角形的等积点在各边上射影所成三角形是等边三角形．证设P是ABC的等积点，作PH上BC、PE上CA、PF上AB，D、E、Fg重定，如图1．A、F、P、E四点并圆，目PA是直径，田正弦定理，同理可后田等积点的定义得性质2三角形的节税点对自边的张角号段边所对角的差相等，目差为6O”．证设P是否ABC形内的等积点，如图1．由四点并圆可得注（1）当等积不P在西ABC内的，田性质28MAPB—60”＋fAM180o，上AM120“，老等．即有max｛A…     

一个平面几何定理的极坐标证法

定理一个凸四边形如果对进之和相等，那么有内切圆．证明如图以四边形ABCD的顶点C为极点，对角钱AC为极轴建立极坐标系．由于AB－BC＝DA－CD，则B、D为以A、C为焦点的双曲线同一支上两点．设B（ρ_1，θ_1）、D（ρ_2，θ_2），双曲线方程为注意到B点的双曲线的切线即为∠B的角平分线．而切线方程为因为仅需验证直线（*）在双曲线这一支的同一侧且过B点．实际上若得以验证．设tB、ZD的角平分钱交点为M（，6）则由即M在上C的角平分线上，所以四边形ABCD有内切圆．此证法把题设条件中的凸四边形推广到任意四边形，从而是本质的…     

一类内接三角形的面积的统一公式

设P是△ABC所在平面内任意一点，AP，BP，CP交直线BC，CA，AB分别于D，E，F，则称△DEF为点P关联△ABC的内接三角形．本文得到了此类内接△DEF与△ABC面积关系的统一公式．即定理设P是△ABC所在平面内的一点，△DEF是P关联△ABC的内接三角形，若有向线段的比，则有Ceva定理知2lA人一1．先证P在凸ABC内的情形．如图1，由于次证P在凸ABC外的情形．如图2，因凸ABC三边所在直线以及过凸ABC三顶点与三边的平行线，六条直线将凸ABC外面的部分划分为15个不同的区域U中一1．2，…，15）．这些区域可归结为四类：UI－U3为…     

对三棱锥的一个截面的探讨

现行高级中学课本《立体几何》（必修本）P62，有这样一道题求证：平行于三棱锥的两条相对棱的平面截三棱锥所得的截面是平行四边形．这是一道看似平淡无奇、实则回味无穷的好题．如图I，利用线面平行的性质不准证明．本文拟对截面EFGH作点探讨，得到一些饶有趣味的命题，并例析此截面的广泛应用．IM面特殊化由截面＊＊CH平行移动而得命gi（l）当E为AB中点，且SA一BC时，截面EFGH是菱形；（2）当SA上BC时，截面EFGH是矩形；（3）当E为AB中点，SA—BC，SA上BC时，截面EFGH是正方形．对棱SA、BC的长H相对位置已定，则有命…     

一题九变,变变不离其宗

这是《平面几何》第一册P135的第10题: 如图:点C为线段AB上一点,ΔACM,ΔBCN是等边三角形。求证:AN=BM。证明ΔNCA和ΔBCM中,     

构造A字型 图解中考题

<正>构造是一种创造能力,就平面几何而言主要是作辅助线,本文以2014年几道中考题为例,谈谈如何构造课本基本图形(如图1常称A字型)解(证)题.例1(湖北黄石)AD是△ABC的中线,将BC边所在直线绕点D顺时针旋转α角,交边AB于点M,交射线AC于点N,设AM=xAB,AN=yAC(x,y≠0).(1)如图2,当△ABC为等边三角形且α=30°时,证明:△AMN∽△DMA;