关于Garfunkel猜想及其证明

关于Ｇａｒｆｕｎｋｅｌ猜想及其证明孔凡哲山东济宁师专数学系１９８５年，Ｇａｒｆｕｎｋｅｌ在加拿大数学杂志（１）上建立三角形不等式并提出结论更强的猜想几何不等式最新进展［２］称其为Ｇａｒ－ｆｕｎｋｅｌ猜想，［４］将其列为“１００个未解决的问题”第５９题...     

涉及正等角中心与内心的一个不等式

涉及正等角中心与内心的一个不等式周甫林（江苏省盐城师范专科学校２２４００１）在△ＡＢＣ的边ＢＣ，ＣＡ，ＡＢ上分别向外作正三角形ＢＡ′Ｃ，ＣＢ′Ａ，ＡＣ′Ｂ，则ＡＡ′，ＢＢ′，ＣＣ′共点于Ｆ（见［１，Ｐ１０７］）．设Ｐ是△ＡＢＣ所在平面上任意一点，则当...     

二、两个三角不等式的加细

二、两个三角不等式的加细宁波大学数学系陈计在△ＡＢＣ中，有这是笔者在文［１］中给出的一个不等式．对此不等式我们把它加细成：定理等号成立均当且仅当△ＡＢＣ是正三角形．笔者在［１］中还给出了：它容易加细成：命题在西ＡＢＣ中，有等号成立当且仅当面ＡＢＣ是正...     

关于一个三角形不等式猜想的证明

关于一个三角形不等式猜想的证明３１２５００浙江省新昌中学石世昌匡继昌先生在《常用不等式》（湖南教育出版社．１９９３年５月第二版）一书的附录（１００个未解决的问题》中题５９（Ｇａｒｆｕｎｋｅｌ猜想）是：设Ａ、Ｂ、Ｃ”为△ＡＢＣ”的三个内角．则在本文中，...     

一个几何不等式的简证

一个几何不等式的简证江苏江都县大桥中学王根章陈计老师在［１］文中提出并证明了如下不等式：△ＡＢＣ中，等号当且仅当△ＡＢＣ为正三角形时成立．王方汉［３］试图对此给出一个简证，但并不完满，只证了锐角三角形的情形．这里，笔者给出一个较简单的证明，为此先证一...     

一组三角不等式的简单证明

一组三角不等式的简单证明宋庆（江西永修县一中３３０３０４）王伯英先生在文［１］、［２］中利用控制不等式证得一些不同寻常的三角不等式，其中有：ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ２＋１，（１）ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ１＋２２，（２）ｓｉｎＡｓｉｎＢｓｉ...     

一个三角不等式的加强及推广

一个三角不等式的加强及推广湖南岳阳县熊市乡中学陈宽宏诸多书刊中有这样一个三角不等式：△ＡＢＣ是锐角三角形，则ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ＞ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢ＋ｃｏｓＣ（１）证明，见［１，Ｐ６０］或［２］．本文以（１）的等价变形为出发点来加强及推广（１...     

关于三角形的一个不等式

关于三角形的一个不等式３１５２１１宁波大学数学系陈计１９９３年，管志宏［１］提出下列不等式：在西ＡＢＣ中，有当且仅当面ＡＢＣ为正三角形时等号成立．事实上，由熟知的几何不等式（见文［２］的２．１２及２．３３）：易知不等式（１）是平凡的．本文中，我们将不...     

三、一个猜想不等式已获证明

三、一个猜想不等式已获证明中国科学院武汉数理所王振徐和郁在［１］中建立了一个新的三角形不等式：当ｎ是奇数时．其中Ａ、Ｂ、Ｃ是三角形的三内角陈计［２］注意到（１）中的等号对奇数ｎ≥３并不总是取得到的，从而猜测，当ｎ是大于１的奇数时，有不等式他还对ｎ＝３...     

关于三角形中一个不等式的证明

关于三角形中一个不等式的证明尹华焱（湘潭锰矿４１１２０２）文［１］给出了若干三角形三内角函数的不等式的加强，其中命题２是：在△ＡＢＣ中，ｃｓｃＡ２·ｃｓｃＢ２≥２２－２０ｒＲ①本文将指出文［１］对①的证明是错的，同时我们试图给出①式的一个证明．我们...     

一个角平分线不等式的加强

一个角平分线不等式的加强３５００１５福州二十四中杨学枝笔者在文［１］中曾给出以下定理设面△ＡＢＣ的三边长分别为ＢＣ＝ａ，ＣＡ＝ｂ，ＡＢ＝ｃ，其对应的角平分线长分别为ｔａ、ｔａ、ｔｃ，则当且仅当△ＡＢＣ为正三角形时，（１）式取等号．本文仍采用文［１］中...     

三、一个几何不等式的证明

三、一个几何不等式的证明石世昌（浙江新昌中学３１２５００）文［１］提出了如下猜想：设Ｐ，Ｑ，Ｒ分别位于西ＡＢＣ的边ＢＣ，ＣＡ，ＡＢ上，且将同界三等分，则ｏＲ‘“ＲＰ‘＋Ｐｏ‘＞２－‘（ＢＣ‘＋ＣＡ‘＋ＡＢ＊）（１）其中ｋ是正整数．文【Ｚｊ证明了当Ｐ，...     

一、对一个三角形不等式的加细

一、对一个三角形不等式的加细宁波大学陈计我们用英文小写字母表示△ＡＢＣ角元的规范对称函数［在（，，）上取值为１］：现在，用箭头及标号来表示它们之间的不等关系．例如：用来表示不等式；本文对任意△ＡＢＣ，建立了如右不等式族：当且仅当△ＡＢＣ为正三角形时，...     

关于角平分线的两个不等式的注记

关于角平分线的两个不等式的注记李鸿祥（上海铁道学院）本刊１９９４年第５期上的文［１］说：“用初等方法提出并证明若干新近发现的三角形角平分线的不等式”．文中给出定理３在西ＡＢＣ中，有当且仅当面ＡＢＣ为正三角形时，（１）式取等号．我们指出，上述定理是易于...     

有关三角形内心性质命题的评注

文［１］介绍了有关三角形内心性质的如下一个命题：设△ＡＢＣ的内角平分线ＡＤ、ＢＥ、ＣＦ相交于Ｉ,求证：　　　ＡＩＤＩ＋ＢＩＥＩ＋ＣＩＦＩ≥６．①无独有偶,文［２］用三角形的有关心距公式对第３２届ＩＭＯ的一道试题给出了解答．题目为：设Ｉ为△ＡＢＣ的内心,ＡＩ、ＢＩ、ＣＩ分别交对边于Ａ′、Ｂ′、Ｃ′,则　　　　ＡＩＡＡ′·ＢＩＢＢ′·ＣＩＣＣ′≤８２７．②图１实际上,这两个问题都可以用共边比例定理简捷地解决．先证明①式．证明　如图１,设△ＢＩＣ面积为Ｓ１,△ＡＩＣ面积为Ｓ２,△ＡＩＢ面积为Ｓ３,△Ａ…     

关于三基本量的一个不等式及其应用

设Ｒ、ｒ与ｓ是△ＡＢＣ的三基本量（外接圆半径、内切圆半径与半周长）,则有［１］、［２］ｓ４－２ｓ２（２Ｒ２＋１０Ｒｒ－ｒ２）＋ｒ（４Ｒ＋ｒ）３≤０（１）（当且仅当△ＡＢＣ为等腰三角形时取等号）．（１）称为三角形基本不等式．本文中,我们将应用它导出关于Ｒ、ｒ与ｓ的一个含双参数（λ,ｔ）的不等式．适当选择参数λ、ｔ的值,便可得到包括Ｇｅｒｒｅｔｓｅｎ不等式、Ｏ．Ｋｏｏｉ不等式等著名不等式在内的一大批有用的不等式．定理　对△ＡＢＣ中的三基本量Ｒ、ｒ、ｓ及任意实数λ、ｔ,都有　－（ｔ－１）２Ｒ３＋２［ｔ…     

对一个几何不等式猜想的证明

刘健老师在文［１］中曾提出了一个难度较大的几何不等式猜想，即Ｓｈｃ２７在锐角△ＡＢＣ中，证明或否定∑ｗｂｗｃｂｃ≥９４．（１）本文将证明（１）式成立．我们在文中约定如下符号：△ＡＢＣ的三边长为ＢＣ＝ａ，ＣＡ＝ｂ，ＡＢ＝ｃ，其对应边上的角平分线分别为ｗ...     

关于一个矩阵迹的不等式的注记

本文修正了［２］中的一个矩阵迹的不等式的一些错误，证明了ｔｒ［（Ａａ一Ｂａ）（Ａ一β一Ｂβ）］＜０当且仅当αβ＞０且Ａ≠Ｂ，ｔｒ［（Ａａ－Ｂａ）（Ａ－β－Ｂ－β）］＞０当且仅当αβ＜０且Ａ≠Ｂ，这里Ａ，Ｂ是ｎ×ｎ的Ｈｅｒｍｉｔｅ正定矩阵．     

用“取等匹配”技巧证明非严格不等式

笔者在文［１］指出：“对非严格不等式的证明，每一次‘放’或‘缩’保证等号成立是一个基本思考点，是放大或缩小的一个必要性要求”．本文着眼于这一必要性要求，以算术——几何平均值不等式的取等条件为出发点，根据待证不等式（或变形后的不等式）的取等条件和结构特征施行“取等匹配”——凑项或嵌式（数），使许多经常在中数刊物上出现且貌似繁难的非严格对称不等式轻松获证．例１　在△ＡＢＣ中，证明不等式　ｔｇＡ２ｔｇＢ２＋５＋ｔｇＢ２ｔｇＣ２＋５＋　ｔｇＣ２ｔｇＡ２＋５≤４３．证明　由于△ＡＢＣ中，有ｔｇＡ２ｔｇＢ２…     

一个三角形不等式的四面体移植

设△ＡＢＣ的边ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ与外接圆半径、面积和半周长分别为ａ、ｂ、ｃ、Ｒ、△、ｓ．Ｐ是△ＡＢＣ内任意一点,ＡＰ、ＢＰ、ＣＰ分别交ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ于Ｌ、Ｍ、Ｎ．１９６６年荷兰的Ｏ．Ｂｏｔｔｅｍａ建立了不等式：　　　ＡＬ·ＢＭ·ＣＮＳ△ＬＭＮ≥４ｓ（１）等号当且仅当Ｐ是△ＡＢＣ的内心时成立．类似上式,贵刊文［１］Ｐ２６刊载了刘键先生建立的不等式：ＡＬ·ＢＭ·ＣＮａ·ＰＬ＋ｂ·ＰＭ＋ｃ·ＰＮ≥△Ｒ（２）等号当且仅当△ＡＢＣ为锐角三角形且Ｐ为垂心时成立．文［２］给出了（２）式的简证,受其启发,笔者通…