第一周初二(上)代数综合练习

一、填空题（１２分）１．如果ｘ２＋ａｘ＋９＝（ｘ－３）２,则ａ＝,５ｘ２－３ｘ＋ｂ＝（５ｘ＋２）（ｘ－１）,则ｂ＝．２．当ｘ时,分式－ｘｘ２＋５的值是正数,当ｘ＝时,１３－ｘ＝３．３．已知方程（ａ＋３）ｘ＝３,当ａ时,方程有唯一解,当ａ时,它无解．４．已知等式２ａ－ｂｎ＋ａ＝ｎ,当ｎ≠２时,ａ＝．５．方程１ｘ＋２－３＋ｘｘ＋２＝０的增根是,化简４ｘ２－１４ｘ２＋４ｘ－３＝．６．计算１ｘ＋２－２ｘ＋５ｘ＋２＝．二、选择题（１５分）１．下列分解因式错误的是（　）．（Ａ）ｘ４－８ｘ２＋１６＝（ｘ＋２）…     

中学课本中的一个方程等价性问题

高中课本《平面解析几何》第１３１页例４是“化圆锥曲线的极坐标方程ρ＝ｅｐ１－ｅｃｏｓθ为直角坐标方程”，解题时涉及到方程ｘ２＋ｙ２＝ｅ（ｘ＋ｐ）（１）与两边平方后所得方程（１－ｅ２）ｘ２＋ｙ２－２ｅ２ｐｘ－ｅ２ｐ２＝０（２）的等价性问题．课本中有这样...     

类比万能公式的结构解题

类比万能公式的结构解题夏远道（河南商城高中４６５３５０）高中《代数》必修本上册第１８２页给出了万能公式：ｓｉｎα＝２ｔｇα２１＋ｔｇ２α２，ｃｏｓα＝１－ｔｇ２α２１＋ｔｇ２α２，ｔｇα＝２ｔｇα２１－ｔｇ２α２．这组公式的框架结构是：（）１＋（）２...     

求双曲线的渐近线的策略和公式

求双曲线的渐近线的策略和公式罗万才（湖南湘潭师范４１１２０４）双曲线ｍ２ｘｗ—ｎ２ｙ２＝ｋ（ｋ≠０）与其渐近线。ｍ２ｘ２—ｎ２ｙ２＝０的方程结构相近，仅是常数项不同（＊）．由此联想问题：（１）双曲线Ｌ：ｆ（ｘ，ｙ）＝Ａｘ２＋Ｂｘｙ＋Ｃｙ２＋ＤＸ＋Ｅｙ...     

一个素变数丢番图不等式

本文证明了如果１＜ｃ＜２３７／２１４，则对于充分大的Ｎ和ε≥Ｎ－１／５（２３７／２１４－ｃ）＋ｖ（ｖ＞０）表达式Ｄ（Ｎ）：＝Σ｜ｐｃ１＋ｐｃ２＋ｐｃ３－Ｎ｜＜－εｌｏｇｐ１ｌｏｇｐ２ｌｏｇｐ３ 关于素变数ｐ１，ｐ２，ｐ３有渐近公式，改进了文献［１］的结果１＜Ｃ＜１．１．     

慎用斜率公式

斜率公式在中学数学中应用广泛,十分活跃,但人们在应用斜率公式解题时,常有疏失之处;笔者通过探究两道课本习题的流行解法,以期大家引以为鉴;习题１　一个圆的直径的端点是Ａ（ｘ１,ｙ１）、Ｂ（ｘ２,ｙ２）,证明：圆的方程是：（ｘ－ｘ１）（ｘ－ｘ２）＋（ｙ－ｙ１）（ｙ－ｙ２）＝０．（《平面解析几何》甲种本,Ｐ８０第③题）《中学数学杂志》１９９４年第一期Ｐ４２载文给出如下证法：“证明：设Ｐ（ｘ,ｙ）为圆上的动点,由ＰＡ⊥ＰＢ,得ｙ－ｙ１ｘ－ｘ１·ｙ－ｙ２ｘ－ｘ２＝－１,即　（ｘ－ｘ１）（ｘ－ｘ２）＋（ｙ－…     

解题过程中的配凑策略

转化是解题的一种重要策略，而配凑则是实施转化的主要手段，本文以实例谈谈如何配凑．1变“1”配凑1的变化好似万花筒，精彩纷呈．对其变化能力的强弱可显示解题者解题水平的高低2变形联想国出解题过程应时刻注意变形联想，捕捉各知识点间的联系，从而架起解决问题的桥梁．例3求函数y一六十一叠的值域．解变形y一六＼·六＜，联想到万能公式，令工一tRO，再配凑有y一十sin28·（xiar＝＋sin46．例4函数／（1）。／x‘－3x‘－61’十13－／in＝M3的最大值是．．（1990年全国高中联赛试题）解题目呈二次根式，联想两点之间的距离公式作配凑…     

数学软件在中学数学教育中的应用(8)

解数学题是每个中学教师必须具备的能力．无论是课堂上的例题、练习题、习题、还是课外作业题、测验题、考试题、竞赛题的选取和解答,均占用了教师大量时间．如何使教师从中解放出来？学会用数学软件来解数学题,就可以做到“事半功倍”．以后的续篇将分专题加以阐述,本文的主题是用数学软件解有关因式分解的数学问题．下面用例子说明用数学软件（Ｍａｔｈｃａｄ７．０）解有关因式分解的数学问题的两个基本方法．例１　分解因式　（ａ＋ｂ－２ａｂ）（ａ＋ｂ－２）＋（１－ａｂ）２ｆａｃｔｏｒ→（ａ－１）２（ｂ－１）２．上面的结果可…     

一元二次方程单元目标检测题

一、填空题（每小题４分,共３２分）１方程３ｙ２＝２４的根为;方程ｘ－ｘ２８＝０的根为．２方程１３ｘ＝１－５ｘ２的两根之和是,两根之积是３当ｔ时,分式ｔ２＋２ｔ－３｜ｔ｜－３的值为零４当ｐ时,分式方程ｘｘ－３＝ｐ２ｘ－３＋２会产生增根５应用求根公式计算方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）的二根ｘ１与ｘ２的差的绝对值可得｜ｘ１－ｘ２｜＝．６代数式１９９９ｘ－１９９８与１９９８－１９９９ｘ的值相等,则ｘ＝．７方程（２ｘ－１）２＋２（１－２ｘ）－３＝０的解为;方程组ｘ＋ｙ＝１１ｘｙ＝－…     

第一周 一元二次方程

一、一元选择题（每小题３分,共３０分）１．（ｍ２－ｍ－２）ｘ２＋ｍｘ＋２＝０是关于ｘ的一元二次方程,则ｍ的取值范围是（　）（Ａ）ｍ≠－１　（Ｂ）ｍ≠２（Ｃ）ｍ≠－１且ｍ≠２　（Ｄ）ｍ≠０２．关于ｘ的方程（ｍ－２）ｘ２＋（１－２ｍ）ｘ＋ｍ２－４＝０有一个根是零,则ｍ的值应是（　）（Ａ）１２　（Ｂ）－２　（Ｃ）２　（Ｄ）±２３．方程ｘ（ｘ＋２）＝２（ｘ＋２）的解是（　）（Ａ）ｘ＝２　（Ｂ）ｘ＝２或ｘ＝－２（Ｃ）ｘ＝－２　（Ｄ）无解４．方程２（ｍ－１）ｘ＋１＝（｜ｍ｜－１）ｘ２,只有一个实根ｘ,则ｍ＝…     

重视常规方法解题——从今年一道高考题引发的思考

重视常规方法解题——从今年一道高考题引发的思考桂元今年高考理科（２４）题是这样的：“设二次函数ｆ（ｘ）＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ＞０），方程ｆ（ｘ）－ｘ＝０的两个根ｘ１，ｘ２满足０＜ｘ１＜ｘ２＜１ａ．（Ⅰ）当ｘ∈（０，ｘ１）时，证明ｘ＜ｆ（ｘ）＜ｘ１；（...     

三谈牛顿恒等式及其应用

三谈牛顿恒等式及其应用刘初生（湖南娄底师专数学系４１７０００）文［１］、［２］介绍了牛顿恒等式及其在解题中的应用，作为续篇，本文再谈谈它的推广及在习题编拟方面的应用．定理１设ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ是方程ｘｎ＋ａ１ｘｎ－１＋…＋ａｎ－１ｘ＋ａｎ＝０的ｎ个...     

关于Hardy-Hilbert积分不等式的推广

本文通过引入适当的参数，及如下形式的权系数（ｘ＋β）１－ｔｋｔ（ｒ）－ｌｎ２α＋βｘ＋β１－１／ｒ，ｘ∈［α，∞）（α－β，ｒ＞１，１－１／ｒ＜ｔ１）．而使Ｈａｒｄｙ－Ｈｉｌｂｅｒｔ积分不等式得到有意义的推广．这里ｋｔ（ｒ）＝∫∞０１（１＋ｕ）ｔ１ｕ１／ｒｄｕ，常数ｌｎ２＝０．６９３１４７１８＋．     

一元一次方程目标检测题(一)

一、填空１．方程１３ｘａ＋２＝３是一元一次方程,则ａ＝．２．３ｘ－２与２ｘ－３互为相反数,则ｘ＝．３．（２ｘ－１）２＋｜３ｙ＋２｜＝０,则ｘ＝,ｙ＝．４．当ｍ＝时,关于ｘ的方程ｍｘ－８＝１７＋ｍ的解是－５．５．若５ｘｍｙ与１２ｙｎ＋２ｘ３是同类项,则ｍ＝,ｎ＝．６．把浓度为９５％的酒精１５００克稀释为７５％的酒精,需加水克．二、单项选择题１．已知ｙ＝１是方程２－１３（ｍ－ｙ）＝２ｙ的解,那么关于ｘ的方程ｍ（ｘ－３）－２＝ｍ（２ｘ－５）的解是（　）（Ａ）ｘ＝－２　　（Ｂ）ｘ＝－１（Ｃ）ｘ＝０　　（…     

一类解几问题的“叠加造圆”解法

《平面解析几何》课本Ｐ７０第３题是这样一道习题：已知一个圆的直径端点是Ａ（ｘ１,ｙ１）,Ｂ（ｘ２,ｙ２）．证明圆的方程是（ｘ－ｘ１）（ｘ－ｘ２）＋（ｙ－ｙ１）（ｙ－ｙ２）＝０．这里证明从略．现将圆的方程变形为,ｘ２－（ｘ１＋ｘ２）ｘ＋ｘ１ｘ２＋ｙ２－（ｙ１＋ｙ２）ｙ＋ｙ１ｙ２＝０．式中的一次项及常数项明确显露出韦达定理特征,据此着眼,对于某些直线与曲线相交问题,可将直线方程代入曲线方程分别得出关于ｘ及ｙ的一元二次方程．直接叠加即得以直线被曲线所截弦长为直径的圆的方程．以抛物线为例,有如下命题：设…     

二次根式检测题(B卷)(45分钟完成)

二次根式检测题（Ｂ卷）（４５分钟完成）一、填空：（共３５分，每小题５分）１．如果ｘ＜－４，那么｜２－（２＋ｘ）２｜的值等于．２．把二次根式ｘ－ｘ根号外的因式移入根号内，则原式等于．３．当ａ＜１时，化简－（ａ－１）２＝．４．在实数范围内分解因式４ｘ４－...     

十二省市(辽宁、云南、湖南、乌鲁木齐、昆明、哈尔滨、山西、广西、西宁、河南、嘉兴等、甘肃)填空题集萃

数与式１．计算９３ｘ－７１２ｘ＋２６·３８ｘ＝．２．－１３的倒数是．３．（－６）２＝．４．２０００用科学记数法表示为．５．ａ的３倍与ｂ的一半的和用代数式表示为．６．分解因式ａ２－２ａｂ＋ｂ２－ｃ２＝．７．配上适当的数,使等式ｘ２－ｘ＋１＝（ｘ－）２＋成立．８．３５的相反数是,｜－６｜＝．９．用科学记数法表示：５７００００＝．１０．分解因式：ａ－ａｂ２＝．１１．已知线段ａ＝４ｃｍ,ｂ＝９ｃｍ,则线段ａ、ｂ的比例中项ｃ＝ｃｍ．１２．化简：ａ（ａ－１）２－（ａ＋１）（ａ２－ａ＋１）＝．１３．计算：（ａ…     

巧解一次方程组

解一次方程组的思想是消元，消元后转化为一元一次方程．但还要注意仔细观察，认真分析题目的特征、巧妙、灵活地运用消元法来解题．例１　解方程组（１）２ｘ＋ｙ－ｚ＝２，ｘ＋２ｙ＋３ｚ＝１３，－３ｘ＋ｙ－２ｚ＝－１１；　①②③（２）ｘ＋２ｙ－３ｚ＝－４，４ｘ＋８ｙ＋９ｚ＝５，２ｘ＋６ｙ－９ｚ＝－１５．　①②③分析　上面两题若逐步消元，都比较麻烦．仔细观察，发现方程组（１）三式相加可得ｙ；而方程组（２）呢，可先整体消元求出ｘ和ｚ，于是得妙解．（１）解　由①＋②＋③得４ｙ＝４，即ｙ＝１．把ｙ＝１代入①、②，得…     

一元二次方程的根系关系

一、启发提问一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）的求根公式的推导过程中知道实数根的个数是由方程的系数ａ、ｂ、ｃ（△＝ｂ２－４ａｃ）决定时,当△≥０,方程有两个实数根：ｘ１＝－ｂ＋ｂ２－４ａｃ２ａ,ｘ２＝－ｂ－ｂ２－４ａｃ２ａ,比较ｘ１和ｘ２式中的结构,你发现了什么？１．分母相同,为２ａ２．分子－ｂ－ｂ２＋４ａｃ与－ｂ＋ｂ２－４ａｃ是互为共轭根式,３．计算：ｘ１＋ｘ２＝－ｂ＋ｂ２－４ａｃ２ａ＋－ｂ－ｂ２－４ａｃ２ａ＝,ｘ１·ｘ２＝－ｂ＋ｂ２－４ａｃ２ａ·－ｂ－ｂ２－４ａｃ２ａ＝．二、读书自学…     

高阶非线性差分方程的振动性

本文研究了差分方程△ｄｘ（ｎ）＋ｐ（ｎ）△（ｄ－１）ｘ（ｎ）＋Ｈ（ｎ，ｘ（ｎ））＝０，（１．１）△ｄｘ（ｎ）＋ｐ（ｎ）△（ｄ－１）ｘ（ｎ，ｘ（ｎ））＝Ｑ（ｎ）．（１．２）在一定的条件下，证明了方程（１．１）与（１．２）在振动性方面的等价问题．对于方程（１．１）或（１．２），在ｎ是偶数时的每一个有界解是振动的，在ｎ是奇数时，每一个有界解是振动的或当→∞时单调趋于零的充要性定理也建立了．