一道高考题的反思——用平面向量来研究二次曲线的切线与割线

它短轴长为2√2,相应于焦点F(c,0)(c＞0)的准线L与x轴相交于A,|OF|=2|FA|,过点A的直线与椭圆相交于P,Q两点.     

圆锥曲线一组有趣的定值性质

性质1如图1,椭圆E：x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0）的左（右）焦点为F,在x轴上F的右（左）侧有一点A,以FA为直径作圆C与椭圆E在x轴上方部分交于M、N两点,则｜FM｜＋｜FN｜/｜FA｜=1/e（其中e为椭圆的离心率）．     

大胆类比 谨慎求证

<正>在一次习题课中,我们做了一道解析几何习题,同学们大胆类比探索,热情很高,得出了一些结论,现展示如下:2原题已知椭圆C:x2/4+y2=1的左右顶4点分别是A1、A2,直线l:x=2(2)^(1/2)与x轴交于点D,点P是椭圆上的异于A1、A2的动点,直线A1P、A2P分别交l于E、F两点,求证:|DE|·|DF|恒为定值.证明设E(2(2)(1/2)与x轴交于点D,点P是椭圆上的异于A1、A2的动点,直线A1P、A2P分别交l于E、F两点,求证:|DE|·|DF|恒为定值.证明设E(2(2)^(1/2),e),     

2004年全国高考数学试题分类集锦(Ⅳ)

9 解析几何 (1)[全国卷Ⅰ理(7)]椭圆(x2)/(4) y2=1的两个焦点为F1、F2,过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交,一个交点为P,则|PF2|=( ).     

双曲线定义的变式

本刊文 [1]介绍了椭圆定义的几个变式 ,它为同学们学习椭圆拓宽了知识空间 .那么 ,双曲线定义的变式又如何呢 ?本文来研究这个问题 .为了讨论方便 ,先将课本对双曲线方程的推导过程摘录如下 :以两定点F1,F2 所在直线为x轴 ,线段F1F2中点为坐标原点 ,建立直角坐标系 ,设M (x ,y)是双曲线上任一点 ,F1(-c ,0 ) ,F2 (c,0 ) (c>a) ,则由双曲线定义得|MF1| - |MF2 | =± 2a (1)而 |MF1| =(x +c) 2 + y2 (2 )|MF2 | =(x -c) 2 + y2 (3)故得(x +c) 2 + y2 - (x -c) 2 + y2 =± 2a (4)移项平方得cx -a2 =±a (x -c) 2 + y2 (5 )再平方整理得(c…     

一个面积最大值问题的海伦解法

题目已知椭圆 的焦点为F1,F2直线l过F1且与椭圆交于A、B两点,求△F2AB面积的最大值. 这是一道常见题,解法较多.湖北《中学数学》2001年第11期P10页提供了以下四条解题途径: (1)以弦AB为底,点F2到直线l的距离为高解之; (2)以|F1F2|为底,点A、B到x轴的距离|y1|,|y2|为高解之;     

圆的重要定理在椭圆上的推广

1　一道高考题启示2 0 0 3年高考北京试卷有如下题目 :如图 1 ,椭圆的长轴A1 A2 与x轴平行 ,短轴B1 B2 在 y轴上 ,中心为M( 0 ,r) (b>r >0 ) .图 1　椭圆1 )写出椭圆的方程 ,求椭圆的焦点坐标及离心率 ;2 )直线y =k1 x交椭圆于两点C(x1 ,y1 ) ,D(x2 ,y2 ) ( y2 >0 ) ;直线 y =k2 x交椭圆于两点G(x3,y3) ,H(x4,y4) ( y4>0 ) .求证 :k1 x1 x2x1 +x2=k2 x3x4x3+x4;3)对于 2 )中的C ,D ,G ,H ,设CH交x轴于点P ,GD交x轴于点Q .求证 :|OP| =|OQ| .(证明过程不考虑CH或GD垂直于x轴的情形 )解　 1 )椭圆方程为 x2a2 + ( y -r) 2b2 =1 ,焦…     

判别式失效了？

近期笔者编拟了这样一道题 :已知椭圆C :x216 y212 =1,其右焦点为F ,O为坐标原点 ,P为C上的动点 ,求 |PO| |PF|的取值范围 .解法思路是 :易知F(2 ,0 ) ,设 |PO| |PF| =2a ,则将问题转化为 :以O ,F为焦点 ,以 2a为长轴长的椭圆E :(x - 1) 2a2 y2a2 - 1=1(a >1)与椭圆C有     

射影几何背景下的2019年北京高考解析几何试题

<正>1试题呈现(2019年北京卷文科)已知椭圆C:x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1的右焦点为(1,0),且经过点A(0,1).(1)求椭圆C的方程;(2)设O为原点,直线l:y=kx+t(t≠±1)与椭圆C交于两个不同点P,Q.直线AP与x轴交于点M,直线AQ与x轴交于点N,若|OM|·|ON|=2.求证:直线l经过定点.     

减少解析几何运算量的几种常用策略

解析几何的解题思路容易分析出来,进行合理运算是解析几何解题的关键．同学们常常会由于方法不当,使运算过程变得很复杂,甚至无法进行到底,最终解题失败．本文举例说明减少解析几何运算量的常用方法,供参考．一、活用定义例1在椭圆x2/25 y2/9=1上求一点P,使得|PF1|=2|PF2|(F1、F2分别是左、右焦点)．分析若设P(x,y),列方程组求解,虽然思路清晰,但运算量大．解设P(x,y),由椭圆的第一定义知|PF1| |PF2|=10．又|PF1|=2|PF2|,故|PF2|=10/3．椭圆的离心率e=4/5,右准线x=25/4．由椭圆的第二定义知25/4-x=10/3·5/4,解得x=25/12．所以P(25/12)．     

判断直线与椭圆位置关系的两种新方法

命题对任意的椭圆c:x2/a2 y2/b2=1,直线L:Ax By C=0,设椭圆c的两焦点为F1,F2,F1关于L的对称点为F1’. 当|F1'F2|<2a时,直线L与椭圆c相交; 当|F1'F2|=2a时,直线L与椭圆c相切; 当|F1'F2|>2n时,直线L与椭圆c相离.     

一道课本习题的探究

<正>问题提出(人教A版选修4-4p_(34)习题第2题)已知椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1(a>b>0)上任意一点M(除短轴端点外)与短轴两端点B_1,B_2的连线分别与x轴交于P,Q两点,O为椭圆的中心,求证:|OP|·|OQ|为定值.1解法探究解法1设M (a cosθ,bsinθ),P(x_P,0),     

新题征展(33)

A　题组新编1 .( 1 )已知平面上的点 P( - 2 ,- 2 )、Q( 0 ,- 1 ) ,若点 R( 2 ,m)使 | PR| | QR|最小 ,则 m =,| PR| | QR|的最小值是.( 2 )已知直线 l:x y =8,点 F1( - 4,0 )、F2 ( 4 ,0 ) ,在直线上取一点 M,过 M作以F1、F2 为焦点的椭圆 ,求长轴最短时该椭圆的方程 .( 3)抛物线 y2 =4 x上一个动点 P,抛物线的焦点为 F,又知定点 A( 3,1 ) ,则 | AP| | PF|的最小值是 ,此时 P点的坐标是.( 4 )已知点 A( 3,2 ) ,F是双曲线 x2 - y23= 1的右焦点 ,P为双曲线上任意一点 ,则| PA| 12 | PF|的最小值是 ,此时 P点的坐标是 …     

对高考数学浙江卷理17题(文19题)的探析

由传统题改编而成的数学高考试题,在历年的高考试题中屡见不鲜.今年高考浙江卷中的理17题(文19题)的第2小题就是这一类型的试题,下面我们对此题作一些探讨,以期对大家有所帮助.浙江卷中的理17题(文19题)的第2小题如下:图1题1图题1如图1,已知椭圆的中心在坐标原点,焦点F1F2在x轴上,长轴A1A2的长为4,左准线l与x轴的交点为M,|MA1|∶|A1F1|=2∶1.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)若直线l1∶x=m(|m|>1),P为l1上的动点,使∠F1PF2最大的点P记为Q,求点Q的坐标(用m表示).1题源探析1986年全国高等学校统一招生考试理工类数学第五题如下:图2题2图题2在y轴…     

对一道2012年高考模拟试题的探究

安徽省安庆市2012年高三模拟考试(二模)文科第20题:已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2,e=13,过F1的直线l交椭圆C于A、B两点,|AF2|、|AB|、|BF2|成等差数列,且|AB|=4.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)M、N是椭圆C上的两点,若线段MN被     

抓住蛛丝马迹探寻本质

在某刊物上有一个填空题:设F1、F2为椭 圆x2/100+y2/64=1的两个焦点,P在椭圆上,I为 △PF1F2的内心,直线PI交长轴于Q,则I分 PQ所成的比为_____． 填空题可以用取特殊值的方法来求解,只 要将点P放置在椭圆短轴的一个端点(0,8) 处,此时Q与坐标原点O重合,于是|PF1|= |PF1|=10,|F1F2|=12,设△PF1F2的内切 圆半径为r,则1/2(10+10+12)r=1/2×12×8, 解得r=3,故I分PQ所成的比为5/3．     

一个定理的引申及应用

《数学通讯》2010年第11、12期(学生刊)的文[1]中给出了这样一个定理:设F是椭圆x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的一个焦点,过F的弦AB与x轴的夹角为θ(θ∈(0,π/2],│→AF│/│→FB│=λ (λ＞1),e是离心率,椭圆焦点到相应准线的距离为p,则 (1)ecosθ=λ-1/λ+1; (2) |AB|=2ep/1-(λ-1/λ+1)2.     

新题征展(31)

A　题组新编1 .( 1 ) f( x) =x2x - 1 ( x >1 )的最小值为.( 2 ) f ( x) =x3x - 1 ( x >1 )的最小值为.( 3) f ( x) =x3x2 - 1 ( x >1 )的最小值为.2 .( 1 )三棱锥的三个侧面中最多可能有个直角三角形 .( 2 )四棱锥的四个侧面中最多可能有个直角三角形 .( 3) n( n≥ 5)棱锥中 ,n个侧面最多可能有个直角三角形 .(第 1、2题由严根林供题并作答 )B　藏题新编　　 3.已知复数 z满足条件 | z| =1 ,求| z - i| .| z - 12 32 i|的最大值 .4 .椭圆 b2 x2 a2 y2 =a2 b2 ( a >b>0 )的右焦点为 F,右准线 l与 x轴交于点 C,过点 F作弦 AB,作 AD⊥…     

由点与椭圆的位置关系探索一道高考题的新解法

平时在解题过程中往往运用一些结论性的知识,而缺乏对这些结论的深刻认识,从而会错失一些有效的解题方法.如果在解题之后能养成反思总结的习惯,也许会获得更多的解题思路. (2010湖北高考文-15)已知椭圆C:x2/2+y2=1的两个焦点F1,F2,点P(x0,y0)满足0＜x20/2+y20＜1,则|PF1|+| PF2 |的取值范围为,直线x0x/2+y0y=1与椭圆C的公共点个数为_____.     

对一道高考题的反思——"椭圆与抛物线相切""Δ=0"

1 楔子 　　(2008高考广东卷理科18、文科20)设b>0,椭圆方程为 　　x2/2b2+y2/b2=1,抛物线方程为x2=8(y-b):如图所示,过点F(0,b+2)作x轴的平行线,与抛物线在第一象限的交点为G.己知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点F1.……