一个不等式定理的别证

不等式a3 b3 c3≥3abc(a、b、c∈R )是高中数学中的一个重要定理,在教材中该不等式是用比较法证明的,下面再给出其它四种证法,证明如下:     

一个三角不等式的别证及推广

常见一些中学数学杂志讨论下列不等式的证明:设A,B,C为三角形三内角,则 sinA+sinB+sinC≤3/2 3~(1/2)。但均限于运用三角函数之变形推出结论。本文拟用几何定理证明上述结论,并加以推广。我们先给出一个引理。引导在圆的内接n边形中,以内接正n边形之周长为最长。问题设A,B,C为三角形的三个内角,则 sinA+sinB+sinC≤(3/2)3~(1/2)。证明设α=ZA,β=2B,γ=2C 则α+β+γ=2(A+B+C)=2π     

一个不等式的简证

《数学通报》2010年1月号问题1833如下题目已知a,b>0,且a+b=1.求证:(1/a2-a3)(1/b2-b3)≥(31/8)2.原答案技巧性很强,笔者在此提供简单自然的一种证法,仅供参考.证明∵a+b=1,     

一个不等式的简证

一个不等式的简证５４３２００广西岑溪县第二中学苏进文此题是苏州大学《中学数学）１９９２年第５朗Ｐ．１０上的一道习题，原证法是通过构造三角形证明的，但很繁杂．本刊在１９９３年第６期Ｐ．５又介绍了此题一仲较简便的复数证法．这里将再给出一种极为简捷的直接证...     

一个不等式的另证

《中学生数学》2011年4月(上)封三"读者来信"专栏登载的"指正一个不等式证明的错误"一文,指出了美国数学奥林匹克一个不等式问题的两度证法上的错误,但没有给出其正确的证明,令人遗憾.之后查阅了该不等式的原证法[1],也较为冗繁,不够简约.笔者经进一步思考、探索,得到了一个浅显、简单的证法,现介绍如下,供读者参考.     

一个不等式的简证

贵刊 1 998年第 8期发表的《构造二次方程证明不等式》一文 ,读后颇受启发 .但对其“例 1　已知ａ>13 ,ｂ>13 ,ａｂ=29.求证 :ａ ｂ <1 .”我们有更为简捷的证法 .分析　若能想到条件ａ >13,ｂ >13 预示着结论ａ- 13 ｂ- 13 >0 ,三言两语便可说明问题 ,堪称最优证法 .证明　∵ａ >13 ,ｂ >13 ,∴ａ- 13 ｂ- 13 >0 ,即αｂ - 13(ａ ｂ) 19>0 ,又ａｂ=29,故ａ ｂ <1 .一个不等式的简证@王文清$山东滨州地区教研室!256618…     

一个不等式的简证

《数学通报》2010年1月号问题1833如下题目已知a,b〉0,且a＋b=1.求证：（1/a2-a3）（1/b2-b3）≥（31/8）2.原答案技巧性很强,笔者在此提供简单自然的一种证法,仅供参考.证明∵a＋b=1,     

一个不等式的简证

文[1]用高等数学的方法证明了如下不等式： 设a，b，c〉0，a＋b＋c=1，则 （1/a-a）（1/b-b）（1/c-c）≥（8/3）^3 ① 很多文献给出了①的初等证法，但都比较难．下面给出一个简单证明．     

一个不等式的简证

文［１］给出了关联四面体和空间任意一点的不等式,但证明用了六个引理,太复杂．今用向量给予简捷证明．定理　四面体Ａ１Ａ２Ａ３Ａ４中,Ａｉ对面的面积为Δｉ（ｉ＝１,２,３,４）,Ｐ为空间任意一点,则４ｉ＝１ＰＡ２ｉ≥３２（Δ１＋Δ２＋Δ３＋Δ４）．等号当且仅当Ａ１Ａ２Ａ３Ａ４为正四面体且Ｐ是它的重心时成立．证　设Ｏ为四面体Ａ１Ａ２Ａ３Ａ４的重心,则４ｉ＝１ＯＡｉ＝Ｏ．∴　４ｉ＝１ＰＡ２ｉ＝４ｉ＝１（ＯＡｉ－ＯＰ）２＝４ｉ＝１ＯＡ２ｉ＋４ＯＰ２－２ＯＰ　·４ｉ＝１ＯＡｉ＝４ｉ＝１ＯＡ２…     

一个不等式的另证

《中学生数学》2011年4月（上）封三“读者来信”专栏登载的“指正一个不等式证明的错误”一文,指出了美国数学奥林匹克一个不等式问题的两度证法上的错误,但没有给出其正确的证明,令人遗憾．之后查阅了该不等式的原证法,也较为冗繁,不够简约．     

一个不等式的简证

题目若a,b,f是满足a＋b＋c=1的正数。     

一个不等式的巧证

设a，b，c∈R，且a＋b＋c＞0，ab十bc ca＞0，abc＞0，柬：a＞0，b＞0，c＞0．此题在分种参考书中曾出现过，原证法都是用反证法证明的．这里结出一种简捷的巧证．设f(x）=（x＋a）（x＋b）（x＋c）＝x‘＋（a＋b＋c）x3＋（ab bc ca）x＋abc从尾舟式来看，显然当X＞ow人X）＞o．意味着y一八X）的图象更X轴的正半细无交点，而y一人x）弓xs青三个交点（－a，0），（－b，0），（－C，0），所以必有一a＜0，一b＜0，－c＜0即a＞0，b＞0，c＞0．一个不等式的巧证@周满庭$安徽省宣城中学!242000…     

一个不等式的简证

对于一类正项等差数列．利用数列的单调性和不等式证明的放缩法。可以得到不等式 a1a2…an〉an＋1^n（an/an＋1）^n^2 并进而推出不等式 1/e〈n√a1a2…an/an≤1的一个简证,和这个不等式在级数上的一个应用．     

一个猜想的别证

第42届IMO第2题：对所有正实数a,b,c,证明：     

一个几何不等式的简证

一个几何不等式的简证江苏江都县大桥中学王根章陈计老师在［１］文中提出并证明了如下不等式：△ＡＢＣ中，等号当且仅当△ＡＢＣ为正三角形时成立．王方汉［３］试图对此给出一个简证，但并不完满，只证了锐角三角形的情形．这里，笔者给出一个较简单的证明，为此先证一...     

一个几何不等式的简证

文 [1 ]证明了 ∑ a2t2b t2c≤ Rr(当且仅当△ ABC为正三角形时等号成立 ) .下面我们给出上述不等式的简单证明 .证明　∑ a2t2b t2c≤ ∑ a2h2b h2c≤ ∑ a22 hbhc　 =∑ a2 bc8Δ2 =abc4Δ∑ a2Δ=R .1r =Rr.由上述证明过程可知 ,我们得到了比∑ a2t2b t2c≤ Rr更强的不等式 ∑ a2h2b h2c≤Rr(当且仅当△ ABC为正三角形时等号成立 )故有不等式链 :2≤ ∑ a2t2b t2c≤ ∑ a2h2b h2c≤ Rr一个几何不等式的简证!528219$广东省南海市南庄高中@郝迎利1　张才元,陶兴模.一个猜想的否定.中学数学,1999,8…     

柯西不等式的一个简证

柯西不等式 :设ａｉ,ｂｉ ∈Ｒ ,ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ .则∑ｎｉ=1ａ2 ｉ ∑ｎｉ=1ｂ2 ｉ ≥ ∑ｎｉ=1ａｉｂｉ2 (1 )证明　记Ａ =∑ｎｉ=1ａ2 ｉ,Ｂ =∑ｎｉ=1ｂ2 ｉ,Ｃ =∑ｎｉ=1ａｉｂｉ.ＡＢＣ2 1 =∑ｎｉ=1ａ2 ｉＢＣ2 ∑ｎｉ=1ｂ2 ｉＢ=∑ｎｉ =1ａ2 ｉＢＣ2 ｂ2 ｉＢ≥ ∑ｎｉ =12 ·ａｉｂｉＣ =2 .所以 ＡＢＣ2 1 ≥ 2 ,即ＡＢ≥Ｃ2 .因此不等式 (1 )成立 .柯西不等式的一个简证@张延卫$江苏宿迁市教委!223800…     

一个三角不等式的新证

在锐角△ABC中,求证cos(B-C)/cosA cos(C-A)/cosB cos(A-B)/cosC≥6.证左边≥3(?) =3{[2SinCcos(A-B)·2sinBcos(A-C)·2sinAcos (B-C)]/(2sinAcosA·2sinBcosB·2sinCcosC)}~(1/3)     

一个加强不等式的简证

《数学通报》2 0 0 3年第5期《一个不等式的加强》一文将法国MohammedAassila教授提出的不等式1a( 1 +b) + 1b( 1 +c) + 1c( 1 +a) ≥31 +abc ( 1 )(其中a ,b ,c为正数)加强为1a( 1 +b) + 1b( 1 +c) + 1c( 1 +a) ≥33 abc( 1 + 3 abc) ,( 2 )并将加强不等式( 2 )转化为以下形式:a1 a2 +ka3+ a2a3+ka1 + a3a1 +ka2 ≥31 +k( 3)其中a1 ,a2 ,a3,k为正数.然后对( 3)给出了一个“高级”的证明方法.之所以说其证明方法“高级”,是因为其中用到了线性代数的一些知识.本文给出( 3)中一种简单证法.证　由柯西不等式知( x21 y1 + x22y2 + x23y3) (y1 …     

一个几何不等式的简证

一个几何不等式的简证６１１２３６四川崇州市元通中学宿晓阳题设面ＡＢＣ的三边和面积分别为ａ、ｂ、ｃ和西，则ａ＇ｂ＇＋ｂ＇ｃ＇＋ｃ＇ａ＇＞１６凸＇（１）文［ｆｉ在证明（１）式利用了三个引理，实在太繁，文［Ｚｊ提供两种证法，但亦利用了两个几何不等式．这里提...