从几何直观的视角理解行列式

行列式理论是线性代数课程的一个重要内容.从平行四边形的有向面积、平行六面体的有向体积以及它们的几何直观性质引进低阶行列式的定义,可以帮助学习者从几何直观的角度更好地理解行列式的定义以及行列式的性质.克莱姆法则、矩阵乘积的行列式以及代数余子式等代数概念都可以进行几何直观的解释.     

Cramer法则的行列式证明

直接利用行列式的性质及其计算方法来证明Cramer法则,一可使学生更好地掌握行列式的性质;二可扩大学生的视野,知道行列式的一些运算技巧和实际应用;三可更好地体会执果索因的证题思路.     

一道行列式证明题的多种证明方法

针对线性代数教材中一道行列式证明题，利用行列式的性质，给出多种证明方法，旨在启发学生对相关行列式计算或证明题的解题方法进行探索．     

从线性运算到行列式的定义

行列式是线性代数中的最重要的概念之一,也是解决线性代数问题基本工具之一,线性代数课程教与学的困难,至少部分源自行列式.本文主要从行列式定义应该满足的线性性质出发给出行列式的代数定义,降低行列式概念教学难度,使之变得自然而易于接受.     

一道高等代数习题的证明

结合行列式的计算性质,通过建立一个绝对值不等式,利用数学归纳法,给出某教材中一道有关主对角占优矩阵和严格主对角占优矩阵的习题的证明方法.     

八元数矩阵的行列式及其性质

赋范的可除代数只有四种:实数R,复数C,四元数日和八元数O.由于八元数关于乘法非交换且非结合,如何对八元数矩阵定义行列式并使其具有较好的运算性质变得非常困难.最近,李兴民和黎丽根据"八元数自共轭矩阵的行列式应为实数"这一数学与物理上的需求,通过选择几个八元数乘积的次序和结合方式,首次给出了八元数行列式的定义.但是,与实数、复数以及四元数的相应的情形比较,如此定义的行列式,其所具备的运算性质较少.本文给出了一种新的八元数行列式的定义,它们具备了尽可能多的运算性质,同时使得"八元数自共轭矩阵的行列式为实数"不证自明.     

简约而不简单的数学本真课堂教学——观数学公开课“异面直线所成的角”后的思考

数学课程标准对“异面直线所成的角”提出了明确要求:会用反证法证明两条直线是异面直线,会求简单情形下的异面直线所成的角,通过演绎法对空间有关问题进行证明和推算,发展演绎推理能力.这节公开课的教学目标:(1)正确理解两条异面直线所成角的定义,初步掌握两条异面直线所成角的计算方法;(2)通过对异面直线所成角的学习,体会空间图形与平面图形的联系与区别,感悟化归思想的合理应用,提升空间想象能力;(3)形成自主学习、自主建构新知识的能力,并在学习过程中体验数学语言的严谨性和数学语言的美.教学重点是异面直线所成角的定义及其计算方法,难点是异面直线所成角的计算.     

反对称线性函数与行列式

通过对反对称线性函数及其性质的探讨,给出了有关行列式传统结论的一种新的表述,将几何直观与行列式的运算有机结合起来,以揭示行列式的一些更直观、具体的内涵.     

基于对“平行四边行性质与判定复习”的课堂设计与思考

一、教学内容与内容解析 平行四边形知识是初中数学几何部分的重要内容,它是在学生学习了命题与证明、全等三角形知识的基础上进行学习的.平行四边形的性质定理、判定定理所阐述的边、角、对角线的关系以及平行四边形性质、判定的探究模式从内容和方法上为研究特殊的平行四边形奠定了基础.所以平行四边形在教学内容上起着承上启下的作用.本案例是在学生学习完了平行四边形性质和判定基础上的延续,通过系列的动态问题,有机地将平行四边形的性质和判定融合在一起.同时,本案例内容还是学生运用化归思想、感受动态数学问题的良好素材,培养了学生的创新思维和探索精神.笔者在实施教学过程中,以问题串的形式展开,取得了良好的教学效果.     

三类数列型行列式求值

对于有关教材中的3个行列式,根据其元素的特点,将它们从4阶推广到任意n阶,并给出计算方法;给出并证明一种借助多项式进行行列式计算的方法.     

Gram-Schmidt 正交基的行列式表示法

Gram-Schmidt正交化方法是求正交基的一种算法.基于行列式的性质和归纳法可以证明,其正交向量组的一般项可通过行列式表示出来.     

积和式及行列式的一个推广

基于对积和式性质的讨论,给出了积和式的"化长为方"计算方法;基于对积和式概念的研究,作为行列式的推广,给出了一般m×n矩阵的行式定义,讨论了行式的性质和计算方法,推广了克莱姆法则.     

行列式的几何意义及多面体体积的计算

通过引入体积坐标证明了行列式和多面体体积的关系,使得每一个行列式都有了它的几何解释,有助于形象地理解行列式的概念,并利用行列式的几何意义计算空间多面体的体积.     

多点共线的判定

直角坐标系下多点共线判定问题可运用解析几何学的思想方法,借助代数工具来解决.通过定义一个2×n行列式,同时分析这种行列式的性质及与通常二阶行列式的关系,利用这种特殊行列式来研究多点共线判定问题,得到直角坐标系下多点共线判定的几个定理.     

n元椭球面的判定及所围椭球体的体积

给出n元二次曲面是椭球面的充要条件和所对应的n维椭球体的体积计算公式,并且条件和体积的计算中只用到曲面中的系数行列式,使判定和体积计算较为方便.     

高维正弦定理的再改进及其应用

本文借助于Cayley-Mensger行列式定义了n维欧氏空间E~n中单形A顶角A_k(1≤k≤n+1)的正弦值,由此得到了新的正弦定理。这一定理大大地改进了文[1]和[2]中所给出的正弦定理,并且弥补了文[1]与[2]中的好多不足之处,在第3节中,还给出了新上弦定理的应用(即性质定理2)。     

Smale空间上的广群C~*-代数的迹

本文证明由拓扑混合的Smale空间上的渐进等价关系定义的广群C*-代数及其相应的Ruelle代数有唯一的迹态;在拓扑可迁的情形下,证明此C*-代数的迹态构成了一个单形,此单形顶点的个数等于“Smale谱分解”中基本空间的个数,单形的重心是该C*-代数的唯一的αa-不变迹态;此回答了I.Putnam的一个猜测.     

例谈数学教学中的题组设计

数学教学的重要组成部分:一个是教,一个是学.教就是如何引导学生,激发学生学习的兴趣,将学生的热情和求知欲融入到课堂的学习氛围中;学就是有目的,有方法,有条件的参与探索知识的生成过程,质疑、拓展、应用、归纳、总结提升;无论哪一方面都取决于教师的教学设计如何,更直观地说就是体现在教师的题组设计上.     

Smale空间上的广群C*-代数的迹

本文证明由拓扑混合的Smale空间上的渐进等价关系定义的广群C*-代数及其相应的Ruelle代数有唯一的迹态;在拓扑可迁的情形下,证明此C*-代数的迹态构成了一个单形,此单形顶点的个数等于"Smale谱分解"中基本空间的个数,单形的重心是该C*-代数的唯一的αa-不变迹态;此回答了Ⅰ.Putnam的一个猜测.     

美国Putnam数学竞赛中两道行列式证明题的泰勒公式解法

介绍了美国Putnam数学竞赛中两道行列式证明题的分析证明方法.选取行列式中的某个参数(常数)为变量,使得行列式可设为该变量的多项式,然后分别计算函数值和各阶导数值,进而利用泰勒展式即可计算出行列式的值.