用球坐标系推求角动量算符的本征方程

一、量子力学的基本原理说明,任意力学量F的可测值F′,满足以该力学量为算符的本征值方程: Fψ=F′ψ(1)其中F为算将,ψ为波函数.确定力学量之一的角动量算符L,尤其是其在采一取定的z方向的投影算符 Lz及角动量平方算符L2的本征方程及本征值,是量子力学教程基本的简单问题之一. 一般教科书[1～2]是通过写出直角坐标至球坐标的变换式,求出相应的偏微商变换式,再得出Lz和L2在球坐标下的表示式,从而确定Lz和L2的本征值方程.实际计算是较繁的.另一些教科书[3～7]则写出坐标变换式(甚至略写)后,直接写出人和产在球坐标下的表示式,实质上仍是…     

轨道角动量算符的本征值和本征函数与阶梯算符

量子力学的一个重要课题是求解力学量算符的本征值方程,以求得其本征值和本征函数.但是,大部分的本征值方程是二阶交系数微分方程.用通常使用的级数解法求解这类方程比较费时,也不好学.如果采用阶梯算符,可以变立阶变系数微分方程为两个一阶微分方程。这样一来,求解就比较简便,物理意义也很的确,通用性也较强,因此,阶梯算符法是值得推广的. 这篇文章中,我们阐述如何利用阶梯算符法求出轨道角动量平方算符的本征值和本征函数一球谐函数;讨论球谐函数与勒让特多项式及缔合勒让特函数间的关系并求出它们的正规性关系.由于有心力场问题哈密顿角…     

角动量算符与轨道波函数

稀土元素、锕系元素的价电子都处于f态,研究价电子轨道角动量问题是量子力学中重要的课题.在量子力学教科书中只给出了氢原子L_2、L_z算符共同本征矢的递推公式,没有计算出L_x、L_y的本征矢;只给出了氢原子的s、p和d电子L_2、L_z算符共同本征矢,没有给出f电子L_2、L_z算符共同本征矢.本文运用表象理论和氢原子L_2、L_z本征矢的递推公式不仅求出了氢原子f电子L_2、L_z算符的共同本征矢,而且还计算出氢原子f电子L_x、L_y的本征矢,并讨论了它们的有关性质.这对于全面了解氢原子电子轨道运动的细节是有好处的,完善了教科书中的不足.     

通用的角动量阶梯算符

利用最新发展的非线性代数理论,给出了一般角动量阶梯算符所应满足的代数方程,并具体构造出了这些算符,所构造的北算符能对所有角动量本征态的解量子数和磁量子数起升降作用,具有很好的通用性。     

介绍导出角动量平方算符~2本征值 l(l+1)~2的一种简单方法

量子力学中角动量用算符表示,用 l表示角动量大小(角量子数),那么为何角动量平方算符~2的本征值是 l(l+1)~2,而不是l~2~2(即 L=(l(l+1))~(1/2)而不是     

用阶梯算符研究谐振子能量及相干态问题

谐振子是量子力学中最基本也是十分典型和重要的问题,而在坐标表象中利用薛定谔方程的求解过程比较复杂.本文从两个无量纲的阶梯算符出发巧妙的推导出谐振子能量的本征值和本征矢,进而借用平移算符求解出谐振子的相干态.计算表明相干态表象的基矢是过完备的,同时在相干态中,坐标及其动量具有最小的不确定性.     

对突破工科近代物理教学一个瓶颈问题的探讨

在工科近代物理教学中,量子力学部分所占比例非常少,而量子力学基础教学中的一个瓶颈在于算符和算符本征值与力学量概率分布的关系.介绍了为突破这一瓶颈,在教材建设和教学实践中所做的改进.     

构造阶梯算符的定理及其应用

给出一个基本定理，提供了构造二阶线性常微分算符相应的阶梯算符的普遍适用的方法.利用这个定理得到量子力学中常见的本征问题的解.     

从泡利矩阵解析量子力学中的几类典型计算问题

通过泡利矩阵分别解析量子力学中的几类典型计算问题, 即算符的本征值和本征函数、 么正变换矩阵、 力学量的期望值及可能取值的概率     

用算符因式分解法解氢原子的径向函数

在初等量子力学的教学中,首先遇到的是求解一维线性谐振子和氢原子等基本问题,通常总是利用级数方法来解此二阶微分算符的本征方程,但往往由于数学上的原因,而使教与学二方面都遇到一定的困难.为此,若将二次量子化中运用的占有数表象及其基本算符(产生算符和湮灭算符)的概念引入后,则上述诸问题均能很简洁地求得所需的本征值和本征函数. 在占有数表象中,任何一个力学量的算符,均可用其二个基本算符来表示,将此原理应用到解具体的薛定谔方程中去时,则原来是一个二阶微分算符的本征方程,可以分解成二个相互伴随的一阶微分算符乘积的本征方程,…     

构造阶梯算符的定量及其应用

给出一个基本定理，提供了构造二阶线性常微分算符相应的阶梯算符的普遍适用的方法，利用这个定理得到量子力学中常见的本征问题的解。     

从空间转动的几何性质推导角动量对易式

经典力学中把L=r×P叫做角动量.量子力学将r和P看作算符后得到算符(1)(V是微分算符),称L为角动量算符.由定义式(1)出发,经过微分运算可得到角动量算符不同分量间的对易关系(2a) (2b) (2c)这种关于角动量的定义和对易关系的推导方法,不具有普遍意义,它只适用于轨道角动量.而角动量这个量跟系统在转动下的变换性质有本质联系.角动量的对易关系,与体系在转动下的特性密切相关.笔者认为,在量子力学的教学中,如果在利用经典概念建立了量子力学的轨道角动量算符后,能再进一步从体系的转动变换性质推导角动量算符,并给出角动量的一般定义式,对提…     

简并态问题与数论

数论研究的是整数的学问,而量子力学里的量子数大多为整数,于是量子力学和数论就会有一定的关系,某些数论的结论可能直接用到量子力学中来.我们看一道例子.一、一道量子力学问题 设有两个质量均为μ的自旋为零的非全同粒子在一维无限深势阱中运动。两粒子间的相互作用 可作为微扰处理(其中g很小,是正常数).试求准确到一级修正的体系能量表达式. 这是量子力学微扰论问题,为此先要求出未扰体系的本征态.体系原哈密顿算符为它的本征态很容易通过分离变量求得 首先碰到的一个问题是如何标志能级。给足一对数n1,n2,当然就确定了一个N,N=n12+n22,…     

角动量量子数l的升降算符和球谐函数的生成

1999年喀兴林先生在<高等量子力学>一书中首次提出角动量量子数l的升降算符,这个算符其实是一秩不可约张量算符的一个简单实现.当给定一个磁量子数m,降算符能给出最小量子数l的状态,进而得到全部球谐函数的最低态|0,0>.而通过升降算符的恰当组合,作用在这个最低态上就可以生成任意球谐函数|lm>.     

两个力学量算符具有共同本征态系的条件

量子力学是人们了解微观世界的一门重要的课程.在量子力学中,由于任何实物体都具有波粒二象性,必须用算符来表示力学量,因此算符理论显得尤为重要.在研究多个算符时,有一个非常重要的定理:两个力学量算符能够具有共同本征函数系的充分必要条件是这两个个力学量算符能够互相对易.本文分析了在使用该定理时可能存在的一些问题,并对这些问题进行了澄清.     

量子力学教学中不应忽视的一个基本问题──力学量算符的厄米性是有条件的

本文从量子力学中应用力学量算符的厄米性处理具体问题时出现的几个样谬出发，讨论了力学量算符厄米性成立的条件．分析了在某些情况下力学量算符厄米性受到破坏的原因，并进一步指出了在运用一些量子力学的基本公式处理问题时必须注意力学量算符厄米性的条件．     

对量子力学中角动量的一点认识

指出了角动量算符Ｊ不存在本征值和本征矢量完全集,角动量算符Ｊ不描写一个可观察量以及角动量Ｊ不宜作为整体来讨论。     

粒子数表象中的谐振子

用二次量子化方法讨论一维线性谐振子能量本征值,并将结果用于解决磁场中带电粒子的能量本征值和角动量平方算符的本征值问题。     

类氢原子的相干态

用赝角动量算符方法直接求解球坐标下束缚态类氢原子的径向方程.给出本征态的解析表达式,其中归一化问题比较特殊,需要格外细致;最后给出相应的相干态. 关键词： 类氢原子径向方程 赝角动量算符方法 本征值谱 相干态     

柱矢量光束的角动量性质

介绍了非近轴光束的表示理论,利用该表示理论很好地解决了非近轴光束的角动量问题,发现非近轴光束的总角动量可以严格地分解成自旋和轨道两部分,但是两者都依赖于由偏振椭圆度表征的光束的偏振状态。主要研究了柱矢量光束的角动量问题。给出了动量空间和位形空间中的柱矢量光束表达式和角动量算符表达式。通过分析两个空间中的角动量算符及柱矢量光束表达式,发现在这两种空间中,具有螺旋型相位的柱矢量光束是角动量算符沿着传播方向的分量的本征态,其本征值与偏振椭圆度无关,这为计算这类特殊光束的角动量提供了一种新方法。