一个数学问题的简便证明

《数学通报》2004年第12期刊登了李明老师对1525号数学问题“△ABC中,求证:sin(A-30°) sin(B-30°) sin(C-30°)≤23.”的证明,但证明方法技巧性较高,其实该题有较便的证法.记录如下:证因为sin(A-30°) sin(B-30°) sin(C-30°)=2sinA B2-60°·cosA2-B sin(A B 30°)=2sinA B2-60°·cosA2-B sin(A B-60°)=-2sin2A B2-60° 2cosA2-B·sinA B2-60° 1=-2sinA B2-60°-cosA2-2B2 cos2A2-B2 1≤32(1)当且仅当cos2A-2B=1cosA-2B=2sinA B2-60°时“=”号成立.因为-90°相似文献   

赏析sin18°的八种求法

<正>一题多解能够很好地体现数学学习过程中的自主探究,有利于培养数学思维的广阔性、灵活性和敏捷性.下面给出sin18°值的八种求法,与读者共赏.方法1(利用倍角公式)因为sin36°=cos54°,即sin(2×18°)=cos(3×18°),所以2sin18°cos18°=4cos318°-3cos18°,因为cos18°≠0,所以2sin18°=4cos218°-3,故4sin218°+2sin18°-1=0,     

2007年海南省中考数学科模拟试题(一)

时间:100分钟满分:110分一、选择题(本大题满分20分,每小题2分)1·下列各式运算正确的是()·A·x3 x2=x5B·x3-x2=xC·x3·x2=x6D·x3÷x2=x2·如图所示,图形中(每个小正方形的边长都是1)可以是一个正方体表面展开图的是().3·下列各式中正确的是().A·tan55°·tan35°=1B·cos35° cos35°=cos70°C·sin40°=2sin20°D·tan75°相似文献   

一类三角函数式求值问题的解法与判别

先看一例例一,求sin78°sin66°sind2°sin6°的值, 解设A=sin78°sin66°sin42°sin6°, B=cos78°cos66°cos42°cos6°则A·B=(1/16)sin156°sin132°sin84°six12° =(1/16)cos66°cos42°cos6°cos78°即A·B=1/16B,     

寻找规律解三角题

三角函数是函数内容的一个重要组成部分,公式多,关系复杂,灵活性强.多掌握一些规律,做起题来就会得心应手,迅速解答.下面以实例说明: 例1 求sin21° sin22° … sin289°. 导析此题若按sin21°,sin22°,……,sin289°各个击破,然后相加,显然,这是不可能的,若发现sin289°=cos21°,sin288°=cos22°,然后进行配对,则答案很容易得到,为等89/2.像这类题目我给它取名为“两头拼凑”.     

数学问题解答

2005年8月号问题解答(解答由问题提供人给出)6在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,D,E在上,且∠DAE=60°,过A,D,E的圆交AB于P,AC于Q.(1)当BP CQ=EP DQ时,求∠BAD的度;(2)当AP=21CQ时,求∠BAD的度数.(福建厦门九中陈四川361004)解:(1)连结DP,EQ.∠B=∠C=30°,设∠BADα,∠CAE=β,α β=60°;⊙ADE的半径为R.因为∠ADC=∠1,∠C为公共角.所以△CDA△CQE,ACDD=ECQQ,CQ=EQ·ACDD.同理:BP=PD·ABEE.BP CQ=2R·sinα·sin(sαin B60°) 2R·sinβn(β 60°)sinC=4R[sinα·sin(α 60°) sinβ·β 60°)]=2R[cos60…     

三角题的解析证法

有些三角题若用三角法求解则解法冗长 ,教材中的两角差的余弦公式是利用单位圆上的点的坐标给予证明的 .这给予我们启示 ,若有 f( cosα,sinα) =0 ,注意到 sin2α +cos2 α=1 ,我们可以把点 P( cosα,sinα)看成单位圆 x2 + y2 =1与曲线 f ( x,y) =0的交点 .因此某些三角题可以用解析法求解或证明 ,这样做还可以帮助学生融化贯通各科知识 .例 1　△ ABC中cos A sin A 1cos B sin B 1cos C sin C 1=0 .求证 :△ ABC为等腰三角形 .图 1证明　由条件知 :单位圆上三点P1( cos A,sin A) ,P2 ( cos B,sin B) ,P3 ( cos C,sin C)三点共线…     

两次“尴尬”的经历

在人教A版必修4第一章《三角函数》的一次测试中有以下一道试题：题目1已知f（sin x）=cos 3x,则f（cos 10°）的值为（）（A）1/2.（B）-1/2.（C）-3（1/2）/2.（D）3（1/2）/2.在备课的时候,笔者的解答为：f（cos 10°）=f（sin80°）=cos 240°=-cos 60°=-1/2,故选（B）.由于是一道选择题而太过轻视,     

边长为等差数列的三角形的一个常用结论

关于边长为等差数列的三角形 ,文 [1 ]给出了一系列性质 (共 1 8个 ) ,这些性质形式多样 ,结构优美 ,精彩纷呈 ,但增加了记忆负担 ,且都可以由其中的一个性质 cos A - C2 =2 cos A +C2 导出 ,各性质的逆命题也都成立 .为此 ,本文仅给出一个核心、完善、常用的结论 ,并介绍它在求值、化简和证明中的广泛应用 .结论　在△ ABC中 ,若 a、b、c分别是角 A、B、C的对边 ,则 a、b、c成等差数列的充要条件是cos A - C2 =2 cos A +C2 (或 cos A - C2 =2 sin B2 ) .证明　由 B =π - (A +C) ,得B2 =π2 - A +C2 ,∴　 sin B2 =cos A +C2 ,cos B2 =sin A +C2 ,∴　 a +c=2 b　 　 sin A +sin C=2 sin B 　 2 sin A +C2 cos A - C2 =2 . 2 sin B2 cos B2 　　　　 cos A - C2 =2 sin B2 　　　 cos A - C2 =2 cos A +C2 .故原命题成立 .下面就其在化简、求值及证明...     

解答三角题常用的几种方法

解答三角题,除了要掌握三角公式外,还要掌握一些常用的解题方法,下面分别介绍。一、变换角度许多三角题出现不同角或非特殊用,应从用的数量关系着眼,进行角度变换,常用的变换方法是或化为同角,或化为特殊角,或减少不同角。例1 求 cos°/cos35°(1-sin20°)~(1/2)的值. COO6O\/——SlllLU 解原式=cos~2 10°-sin~2 10°/cos35°(cos10°-sin10°)~2~(1/2) =cos10° sin10°/cos35° =sin80° sin10°/cos35°     

巧解三角求值四例

例1求(sin7° cos15°sin8°)/(cos7°-sin15°sin8°)=______。分析题中有3个角7°、8°和15°,其中7°、8°是非特殊角,为达到求值的目的可写成7°= 15°-8°,起到一个减元的效果,从而实现角的转换求解．     

一个三角不等式的推广及应用

宋庆先生近年发现了一个新颖、奇特的三角不等式 :[1]在△ ABC中 ,有cos2 A cos B cos C >34( 1 )经探讨发现 ,( 1 )式可推广为如下两个定理 ,并由此轻而易举地解决几个与之相关的Apl问题 .定理 1　在△ ABC中 ,对λ≥ 1 ,n∈ N,有　 cosn A λ( cos B cos C)　 >λ - ( n - 1 )λn2 .n- 1nn- 2 λ. ( 2 )证明　 cosn A λ( cos B cos C)　　 =cosn A 2λsin A2 cos B - C2　　 >cosn A 2λsin2 A2　　 =λ cosn A λcos A.当 A为钝角或直角时 ,- 1 相似文献   

新题征展(34)

A.题组新编1 .( 1 )函数 f ( x) =2 x - 3x 1 的图像的对称中心为　　 ;( 2 )函数 f ( x) =ax cx b 的图像的对称中心为 ( 1 ,2 ) ,则 a =　　 ,b =　　 ;( 3)函数 f( x) =ax - 1x 1 在 ( -∞ ,- 1 )上是减函数 ,则 a的取值范围是　　 .2 .　 ( 1 )在锐角△ ABC中 ,sin A、cos B的大小关系是　　 .( 2 )在锐角△ ABC中 ,设 x =sin A sin B sin C,y =cos A cos B cos C,则 x、y的大小关系是　　 .( 3)在长方体中 ,一条对角线与一个顶点的三条棱所成角分别为α、β、γ.1　设 p =tanα tanβ tanr、q=cotα cotβ …     

高一年级期末复习自测题

选择题:1.sin570°的值为()(A)21.(B)-21.(C)23.(D)-23.2.sin1,cos1,tan1的大小关系是()(A)tan1>sin1>cos1.(B)tan1>cos1>sin1.(C)cos1>sin1>tan1.(D)sin1>cos1>tan1.3.已知非零向量m和n的夹角为钝角,则以下关于x的方程x2 |m|x m·n=0的根的说法,正确的为()(A)可能没有实根.(B)     

从高考到竞赛的三道三角试题谈起

1.求sin~2(20)° cos~2(80)° 3~(1/2)sin(20)°cos(80)°的值.(1992年高考文科题) 2.求cos~2(10)° cos~2(50)°-sin40°sin80°=_____.(1991年全国高中数学竞赛题) 3.求cos~2(73)° cos~2(47)° cos47°cos73°的值.(1987年江苏省少年数学夏令营选拔赛题) 这三道都是求值试题,侧重基础,考察学     

构造点巧解三角问题

<正>有些三角问题,若用常规方法来解比较繁琐,运算量大,但若通过构造点(a cosα,bsinα),利用数形结合就可巧妙解决.一、求值例1已知sinα+sinβ+sinγ=cosα+cosβ+cosγ=0.求cos~2α+cos~2β+cos~2γ的值.分析由条件可知,同一个角的正弦余弦同时出现,故可设A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),C(cosγ,sinγ),则A、B、C是单位圆x~2+y~2=1上的三个点,它们到坐标原点的距离都等于1,所以坐标原点是△ABC的外心,再根据sinα+sinβ+sinγ=cosα+cosβ+cosγ=0     

三边成等差数列的三角形的一个性质及应用

三边成等差数列的三角形有下列性质定理设△ABC中a、b、c是角A、B、C的对边,则a、b、c成等差数列的充要条件是tg(A/2)tg(C/2)=1/3。证明△ABC的三边a、b、c成等差数列(?)2b=a+c(?)2sinB=sinA+sinC(?)4sin(B/2)cos(B/2)=2sin[(A+C)/2]cos[(A-C)/2](?)2sin(B/2)cos(B/2)=cos(B/2)cos[(A-C)/2](?)2sin(B/2)=Cos[(A-C)/2](?)2Cos[(A+C)/2]=cos[(A-C)/2](?)2cos(A/2)cos(C/2)-2sin(A/2)sin(C/2)=cos(A/2)cos(C/2)+sin(A/2)sin(C/2)(?)cos(A/2)cos(C/2)=3sin(A/2)sin(C/2)(?)tg(A/2)tg(C/2)=1/3 由于上述箭头都是可逆的,因此定理得证。应用这个性质来解决三边成等差数列的三角形的有关问题,往往是奏效的。     

考点12 三角函数的化简与求值

1.(全国卷,1)已知α为第三象限的角,则α2所在的象限是().(A)第一或第二象限(B)第二或第三象限(C)第一或第三象限(D)第二或第四象限2.(北京卷,5)对任意的锐角α,β,下列不等关系中正确的是().(A)sin(α+β)>sinα+sinβ(B)sin(α+β)>cosα+cosβ(C)cos(α+β)相似文献   

关于三角形的双圆半径的两个命题

本文先给出关于双圆半径的一个命题 :图 1设△ ABC的外接圆半径为 R,内切圆半径为r,顶点 A、B、C到内心的距离分别为 a0 、b0 、c0 ,则　 4 Rr2 =a0 b0 c0 .证明　∵　 r=a0 sinA2 =b0 sin B2=c0 sin C2 ,∴　 r3 =a0 b0 c0 sin A2 sin B2 sin C2 . 1∵　△ =12 r( a b c)=Rr( sin A sin B sin C)=2 R2 sin Asin Bsin C,∴　 r2 R=sin A .sin B .sin Csin A sin B sin C,易证　 sin A sin B sin C=4 cos A2 cos B2 cos C2 ,∴　 r2 R=2 sin A2 sin B2 sin C2 ,∴　 r4 R=sin A2 sin B2 sin C2 ,2把 2代入…     

一道三角函数题的简证

《数学通报》2 0 0 4年 1 1月号问题 1 52 5为 :△ ABC中 ,求证 :sin( A - 30°) + sin( B - 30°) + sin( C- 30°)≤ 32 .该刊 2 0 0 4年第 1 2期 P4 3上登载的证明中用到了四个三角恒等式 ,较繁琐 .这里 ,我们给出一个简单的证法 .证明　不妨设三内角 A、B、C中 C最小 ,则 0°0 ,于是sin( A - 30°) + sin( B- 30°) + sin( C- 30°)= 2 sin A + B - 6 0°2 cos A - B2 +　 sin( C - 30°) + sin30°- 12=2 sin1 2 0°- C2 cos A - B2 +2 sin C2 cos C - 6 0°2 - 12≤ 2 ( sin1 2 0°- C2 + s…