正Fibonacci数的标准分解式中因子2的指数

Fibonacci数列 {Fn}定义如下 :F0 =0 ,F1 =1,Fn + 1 =Fn +Fn -1 (n =1,2 ,… ) ,我们把 {Fn}中每一项Fn 叫做一个Fibonacci数 ,当n≥ 1时 ,称Fn 为正Fibonacci数 .关于正Fibonacci数的奇偶性及其中偶Fibonacci数中因子 2的指数 ,笔者在文 [1]中已有部分结果 (见下文中引理 1) ,即正Fibonacci数Fn 的奇偶性 ,由其下标n是否含因子 3来确定 ,且当n是一个奇数的 3倍时 ,Fn 的标准分解式中 ,因子 2的指数确定为1.本文所做的工作 ,是利用同余的知识 ,对于n是一个正偶数的 3倍时 ,Fn 的标准分解式中因子 2的指数给出一个准确的结果 .定理 1…     

利用Fibonacci数列解题

Fibonacci数列本身就有很大的魅力 ,吸引着许多数学爱好者去学习和研究 .这里我们将视角定位在如何利用该数列去解决一些数学竞赛中的问题 .Fibonacci数列是指由下面的递推式定义的数列 {Fn}:F0 =F1 =1,Fn + 2 =Fn+ 1 +Fn ,n =0 ,1,2 ,…可以利用特征方程的方法求出其通项公式 ,也可以用数学归纳法证出其许许多多的性质 .但在这里我们更多的是用到其本身 ,而不是它的性质 .例 1(第 5 2届波兰数学竞赛试题 )　考虑数列 {xn}:x1 =a ,x2 =b ,xn + 2 =xn + 1 +xn,n =1,2 ,… ,这里a ,b∈R .对任意c∈R ,如果存在k ,l∈N ,k≠l ,使得xk =xl=…     

卢卡斯数列与斐波那契数列的递归关系研究

法国数学家Edward Lucas曾将数列0,1,1,2,3,4,8,13…命名为斐波那契数,随之而来的则是另外一个数列2,1,3,4,7,11,18…这就是人们所说的卢卡斯数列.卢卡斯数列(下左)与斐波那契数列(下右)有着相同的递归方程,但其首项不同. { Ln+2=Ln+Ln+1L0=2 L1=1 {Fn+2=Fn+Fn+1{F0 =0{F1 =1 事实上,在卢卡斯数列与斐波那契数列中呈现了许多相似的性质.在斐波那契数列中,如果p是q的因子,那么斐波那契数Fp同样是Fq的因子.例如,3是6的因子,那么F3=2也是F6=8的因子.     

一个问题的解决

本文将解决文[1]末提出的如下问题:问题1求函数y=∑ni=1Fi|x-Fi|的最小值,其中x∈R,{Fn}n≥0为Fibonacci数列,它由F0=0,F1=1,Fn 2=Fn 1 Fn(n∈N)确定.引理1当且仅当x∈[a,b]时,函数y=|x-a| |x-b|(a,b,x∈R,a相似文献   

斐波那契数列的通项

大家都知道斐波那契（Fibonacci Number）关于兔子繁殖的故事．兔子每月的数量依次为一个数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377…,设这个数列记为{Fn}：F1,F2,F3,F4,…,Fn,…,易知,F1=F2=1,从第3项起每一项都等于它的前两项的和,     

Fibonacci数列模p~r的周期性研究

对任意素数p、正整数r,Fibonacci数列{Fn}对pr取模构成一个数列{an}.若{Fn}的最小正周期为T,则{an}的最小正周期为pr-1T,首次提出该定理,并用数学归纳法进行了证明.此外对任意正整数m,不加证明地给出了{Fmod m}的周期性定理.     

Fibonacci数列的模数列的周期的一个性质

Fibonacci数列的模数列是周期数列,并且是纯周期数列.利用模数列的定义,讨论了Fibonacci数列的模数列的周期的一个性质,证明了下列结果:假设m1与m2为不同的正整数,Fibonacci数列{Fn}的模数列{an(m1)}与{an(m2)}的最小正周期分别为T1与T2,则模数列{an([m1,m2])}的最小正周期为[T1,T2].     

一个问题的解决

本文将解决文[1]末提出的如下问题： 问题1 求函数y-^n∑i=1Fi｜x-Fi｜的最小值，其中x∈R,{Fn}n≥0为Fibonacci数列，它由F0=0,F1=1,Fn＋2=Fn＋1＋Fn（n∈N）确定。     

一道竞赛题的朴素证法

由递推关系Fn+2=Fn+1+Fn(n∈N)和F0=1,F1=1所确定的数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,…叫做裴波那契数列.……     

用二进制解2003年(全国卷)理科压轴题

题　设 { an}是集合 { 2 t+2 s|0≤ s相似文献   

斐波那契数列与组合数勾股数的两个关系

斐波那契数列是满足递推关系式F1 =F2 =1Fn =Fn-1 Fn-2 ,n >2的数列 { Fn} .本文研究了它与组合数和勾股数的两个关系 .为了研究的方便 ,本文约定 ,当 k <0或s>n时 ,Ckn =Csn =0 .引理 1　 ∑nj=0(- 1) j Cjn Fr 2 (n-j) =Fr n.证明　 (用数学归纳法证明 )当 n=1时 ,Fr 2 - Fr=Fr 1 ,结论成立 .假设当 n =k时成立 ,即∑kj=0(- 1) j Cjk Fr 2 (k-j) =Fr k.那么 ,当 n =k 1时 ,　∑k 1j=0(- 1) j Cjk 1 Fr 2 (k 1 -j)=∑k 1j=0(- 1) j(Cjk Cj-1 k ) Fr 2 (k 1 -j)=∑k 1j=0(- 1) j Cjk Fr 2 (k 1 -j) ∑k 1…     

费波那契数的封闭特点

由 a1=1 ,a2 =1 ,an+2 =an+ an+1,可得著名的费波那契数列1 ,1 ,2 ,3,5,8,1 3,2 1 ,34,55,89,1 4 4,…人们曾探索了费波那契数列的许多有趣性质 ,比如文 [1 ]所给出的重要结论 :( 1 ) Fn+d .Fn- d - F2n =( - 1 ) n- d+1F2d( n≥ d) ;( 2 ) Fn Fn+4 - Fn+1Fn+3=2 .( - 1 ) n- 1;( 3) Fn Fn+4 + Fn+1Fn+3=2 F2n+2 .等等 .笔者发现费波那契数的有关运算有封闭特点 ,即运算结果仍是费波那契数 .笔者给出如下的定理　 Fn Fn+d - Fn+1Fn+d- 1=( - 1 ) n+1Fd- 1　 ( d≥ 2 ,n、d∈ N) .证明　 Fn =15[( 1 + 52 ) n -( 1 - 52 ) n].利用 1 …     

Fibonacci数列与三道不等式的指数推广

著名的斐波那契 (Fibonacci)数列具有以下一个重要性质 :设 F1 =F2 =1 ,Fn 2 =Fn 1 Fn,n≥ 1 ,则Fn 3 =2 Fn 1 Fn.文 [1 ] [2 ] [3] [4]曾先后涉及到三道不等式 ,笔者发现其字母指数恰按斐波那契数列呈现 .请看 :问题 1　 (第 2 6届 USAMO赛题 )证明对所有正实数 a、b、c     

关于斐波那契数封闭特点的又两个公式

斐波那契数列可以递归地定义为: F0=0, F1=1, Fn+1=Fn+Fn-1 (n=1,2,3,…), 它的前边的若干项是 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,… 文[1]给出了关于斐波那契数的一个公式,即 FnFn+d-Fn+1Fn+d-1=(-1)n+1Fd-1① 其中n是任意正整数,d≥2. 这一公式的特点是,左边参与运算的是斐波那契数列里的四项,右边的运算结果(就绝对值而言)也是斐波那契数列里的一项.     

Fibonacci数列的模数列的周期性

对于Fibonacci数列{Fn}以及给定的正整数m,由Fn关于模m的最小非负剩余an,构成一个新的数列{an},称为Fibonacci数列的模数列.本文利用初等数论的知识和数学归纳法,证明了Fibonacci数列的模数列是周期数列,并且是纯周期数列.     

有趣的数表与数阵问题(下)

<正>例7设{an}是集合{2~t+2~s|0≤s相似文献   

Fibonacci数列的又一重要应用

由初始条件f0=1，f1=1及递推关系fn=fn-1＋fn-2（n≥2）所确定的数列{fn}n≥0叫做Fibonacci数列，fn叫做Fibonacci数．fn的通项公式为。     

对一道高考题的进一步探究

20 0 3年全国高考数学试卷 (理工农医类 )的第2 2题 (Ⅰ )是这样一道题 :设 {an}是集合 { 2 t+ 2 s| 0≤s相似文献   

非线性递归数列的极限

探讨了形如Fn+p=pΣ1=1α1Fbin+i,≥1的非线性递归数列{Fn)的极限问题,给出了在满足一定条件时,数列{Fn}极限存在且与初始值无关.     

等差数列的又一个性质

结论　已知数列 {ａｎ}与 {ｂｎ}是两个公差均不为零的等差数列 ,如果ａｋ1=ｂｌ1=ｃ1,ａｋ2 =ｂｌ2 =ｃ2 ,其中ｋ1,ｋ2 ,ｌ1,ｌ2 ∈Ｎ ,且ｋ1<ｋ2 ,ｌ1<ｌ2 ,那么等差数列ｃ1,ｃ2 ,…中的各项一定是数列 {ａｎ}与 {ｂｎ}的公共项 .证　设数列 {ａｎ}与 {ｂｎ}的公差分别是ｄＡ 与ｄＢ,且ｄＡ≠ 0 ,ｄＢ≠ 0 .等差数列ｃ1,ｃ2 ,…中的第ｎ项可表示为ｃｎ=ｃ1+ (ｎ - 1 ) (ｃ2-ｃ1) ,ｎ∈Ｎ .下面证明ｃｎ 是数列 {ａｎ}中的某一项 .数列 {ａｎ}的通项公式是ａｎ=ａ1+ (ｎ -1 )ｄＡ,令ａ1+ (ｘ - 1 )ｄＡ=ｃｎ=ｃ1+ (ｎ - 1 ) (ｃ2 -ｃ1)=ａ…