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一、利用等价无穷小代换来求极限的一些容易证明的定理定理1设无穷小量f(x)~(x),且limf(x)·g(x)存在,则这里,(1)无穷小量f(x)~(x),表示f(x)与(x)是当x→x0或x→∞时的等价无穷小;(2)limf(x)表示limf(x)或limf(x).下同。定理2设无穷小量f(x)~(x),且存在,则由这二个定理可知,一般在乘或除的情况下是可用等价无穷小代换来求极限的。此外在幂指函数求极限中,也常利用等价无穷小代换,这有下面二个定理,这里只证后一个定理。定理3设八x)>0,无穷小量g(x)~~(x),且tim八x)”“’存在,则定… 相似文献
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普遍认为利用等价无穷小代换求代数和及复合函数的极限时常常隐藏着两个误区,通过对其进行探讨可以发现.只要加以适当的条件,代数和各部分为无穷小量以及复合函数的中间变量为无穷小量时.对这些部分是可以进行等价无穷小代换的. 相似文献
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在求函数极限的过程中,利用等价无穷小代换常常会使计算简单,但对形如的极限,若无穷小量有时权限并不相等.这里的关键是与的选取不当.本文着重讨论这种情况下利用Taylor公式选取适当的等价无穷小量作代换保持权限不变.为叙述方便,我们只讨论的情况.同时假定下文中所涉及的都是当时的连续且具有任意阶导数的函数无穷小量,以后不再交代.引理1若引理2若则,这里不全为0引理3若a在处的Taylor展开式(带皮亚诺余项)为(按前面假设,常数项为0):证明显然,从而实际上,通常我们所用的等价无穷小都是取Tayfor展式的第一个非零项.如… 相似文献
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等价无穷小代换在计算极限中是一种非常有用的方法.特别对幂指函数极限的计算,如能巧妙运用,可使问题变得简明、易解,为此我们介绍以下命题.命题设在自变量的某一变化过程中,均为无穷小量,若且证明由例1求极限解当在以上计算中,我们采用了等价无穷小代换,使问题变得简明、易解,如利用罗必塔法则或其他方法将是很繁锁的,读者不妨一试.有些幂指函数极限,还可用等价无穷小代换并结合重要权限及导数定义等综合求解.例4设存在,试求当时故原式幕指函数极限的一种简捷求法@符世斌$陕西财经学院!西安,710061 相似文献
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一般的微积分教材 ,是这样定义高阶与低阶无穷小的 :设在同一变化过程中 ,α,β是无穷小量 ,若1° lim βα=0 ,就说 β是比 α高阶的无穷小 ;2° lim βα=∞ ,就说 β是比 α低阶的无穷小 .对此 ,不少人认为 2°是多余的 ,以为β是比α高阶的无穷小 ,就意味着α是比β低阶的无穷小 ,将 1°、 2°合并为一条 .果真 ,近年来有些高等数学教材 ,就是用 1°一条来定义 β是比 α高阶的无穷小 (或说 α是比 β低阶的无穷小 ) .笔者认为这是值得商榷的 ,因为无穷小的比较 ,首先是指无穷小的比 ,这样 ,β是比α高阶的无穷小未必有α是比β的低阶… 相似文献
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一组未定型的定值命题 总被引:1,自引:0,他引:1
<正> 未定型(不定式)的定值问题,是极限计算中的一个重要问题。学生在未掌握罗必塔法则之前,对如何解决未定型定值问题,往往感到较困难,教师如能在教学中引导学生综合运用两个重要极限、等价无穷小代换及复合函数极限定理等来解决未定型定值问题,不仅可以 相似文献
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陈汝栋等在[1],[2]中讨论了等价无穷小的代换问题,本对无穷小代换问题再给出若干充分条件,从而解决了一批加减乘除混合运算的等价无穷小代换问题。 相似文献
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陈汝栋等在 [1 ],[2 ]中讨论了等价无穷小的代换问题 .本文对无穷小代换问题再给出若干充分条件 ,从而解决了一批加减乘除混合运算的等价无穷小代换问题 . 相似文献
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利用洛必达法则与等价无穷小代换对抽象函数的00型极限可得结论:设当x→x0时f(x)与g(x)为无穷小,g(x)~(x-x0)β,取k为正实数,使得fk(x)=A(x-x0)α+o[(x-x0)α],其中A0,α≥2,β0为实数,则有limx→x0f(x)g(x)=1.该方法对求常见的00型极限都适用.当使用洛必达法则求li mx→x0f(x)g(x)很复杂时,使用该方法可简化计算. 相似文献
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1 如所知,在一个 Riemann 流形中,若由′σ~α=σ~α+v~α(σ)dt (1)确定的无穷小变换满足(?)(v)a_(λμ)=2(?)a_(λμ) (2)式中 a_λ是度量张量,(?)是某纯量函数,(?)(v)是关于无穷小变换 v 的李导数,则(1)称为无穷小共形变换,而向量场 v 称为共形 Killing 向量场。如果(?)=const,则称 v 为无穷小位似变换.特别,当(?)=0时,(1)成为无穷小等距变换.在这个情形下,(2)化为 Kil- 相似文献
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学生用等价无穷小代换求极限的过程中出现许多我们认为是错误的方法,但有些错误的方法又能够得到正确的结论,如求极限时对复合函数的中间变量作等价无穷小代换;两非等价无穷小和差分别做等价无穷小代换等,这应该算对还是错?本文在理论上作了分析. 相似文献
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对无穷大量进行比较,给出无穷大量等价的性质、相应的结论,并将其用于求极限,可解决形如∞∞、0?∞、1∞、00、∞0等极限未定型中的无穷小或无穷大的等价替换问题。 相似文献
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六年制重点中学高中课本《代数与几何》第一册复习参考题一的第15题为求tim (1+1/2+1/4+…+1/2~n)/(1+1/3+1/9+…+1/3_n) 此题是将式中的分子、分母分别求和变形后,求得极限值为(1-1/3)/(1-1/2)=4/3观察式子结构特点:分子、分母分别是以1/2、1/3为公比的等比数列的前n项和,回味求解过程,不难作出以下推广。命题1 设{a_n}、{a'_n}分别是以q、q'(|q|、|q'|<1)为公比的等比数列,则 rim (a_1+a_2+…+a_n)/(a'_1+a'_2+…+a'_n)=a_1(1-q')/a'_1(1-q) 证明∵|q|、|q'|<1,∴lim q~n=0,lim q'~n=0,于是据等比数列前n项和公式得 相似文献
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等价无穷小代换在求极限过程中的应用 总被引:9,自引:2,他引:7
等价无穷小代换是一种很灵活的求极限方法。如果用来替换的无穷小选择恰当的话 ,可以使计算简化。但替换中要严格遵守无穷小替换法则 ,即定理 1 在自变量同一变化过程中 ,设 α~ α′,β~ β′,且 limβ′α′存在 ,则 lim βα=limβ′α′证明见 [1 ]。定理 1说明 ,无穷小替换只能在积商运算中使用。其实不然 ,等价无穷小代换也能在多项式无穷小之比时使用。例 1 求 limx→ 0x-sin2 xx+sin2 x解 原式 =limx→ 0x-2 xx+2 x=-13例 2 求 limx→ 0tanx-sinxx3解 原式 =limx→ 0x-xx3=0例 1正确 ,但例 2错误。事实上 ,limx→ 0tanx -sin… 相似文献