对一道数学题的分析与反思

题目已知二次函数f（x）对任意x∈R都有f（1-x）=f（1＋z）成立．设向量a=（sin x,2）,b=（2sinx,2^-1）,c=（cos2x,1）,d=（1,2）．当x∈[0,π]时,求不等式f（a·b）〉f（a·d）的解集．     

南京理工大学《高等数学》（Ⅱ）期末试题B（2008年7月）

一、填空题（本题共10小题．每小题3分．满分30分） 1．已知a=（1,-1,2）．b=（0,-1,2）．则a×b= .     

我为高考设计题目

题19 对于正整数k。用g（k）表示k的最大奇因数,例如：g（1）=1,g（2）=1,g（3）=3,…．记an=g（1）＋g（2）＋g（3）＋…＋g（2^n）,其中n为正整数．     

三个极限公式的注记

设limx-x0f（x）=0,ak〉0,k=1,2,…,n.则三个极限公式limx→0∑k=1^nak^f（x）-n/f（x）=1n（∏k=1^nak）,limx→x-x0[∑k=1^nak^f（x）-（n-x）]^1/f（x）=∏k=1^nak和limx→x0（1/n∑k=1^nak^f（x））^1/f（x）-^n√∏ k=1^nak中的无穷小量f（x）均可用其等价无穷小fk（x）（k=1，2,…，n）代替，以扩大公式的使用范围．实例说明推广后极限公式的一些应用．     

奇异k紧整数的无限族

设n，s1，s2是3个正整数，使得s1〈s2〈n，gcd（n．s1，s2）=1，G（n；s1，s2）是n个结点的步长为s1和s2的双环网，d（n；s1，s2）是其直径．设d（n）=min{d（n；s1，s2）│s1〈s2〈n}，d1（n）=min{d（n；1，s）│1〈s〈n}．已知d1（n）≥d（n）≥[√3n]-2=lb（n）．若d（n；s1，s2）=d（n）=lb（n）＋k，k≥0，则称双环网G（n；s1，s2）是k紧优双环网．若d1（n）〉d（n）=lb（n）＋k，则n称为奇异k紧整数．本文给出构造奇异k紧整数无限族的方法，并对于k=1，2．…，20．构造出这样的无限族．     

一道高考题的推广及应用

原题 设f（x）=19↑∑↓k=1｜x=k｜，则f（x）的最小值为（ ） （A）190．（B）171．（C）90．（D）145．     

共振条件下一类三阶m-点边值问题解的存在性

考虑共振情形下三阶微分方程m-点边值问题x＇＇＇（t）=f（t,x（t）,x＇（t）,x＂（t））＋p（t）,t∈（0,1）, x（0）=0,x＂（0）=0,x＇（0）=0,x＇（1）=∑i=1^m-2 aix＇（ξi）,其中ai≥0，0〈ξ1〈ξ2〈…〈ξm-2〈1且∑i=1^m-2 ai=1．利用Mawhin重合度拓展定理，得到该问题解存在性的新的结果．     

数学问题解答

1999年2月号问题解答（解答由问题提供人给出）1176已知x1,x2,…,xn是n个正数,t=x1x2…Xn,且满足求X1,X2,…,Xn的值．解由题设得所以,若X1≠1,则由（1）得（t＋n－1）（t＋n－2）…（t＋1）t＝（n＋1）显然,方程（2）有解t=2,而函数y=（t＋n-1）（t＋n－2）…（t＋1）t在（O,＋）上是增函数,所以t=2也是（2）的唯一正解．将t=2代入题没条件得x1=x2=…=Xn右X1=1,因X2,X3,…,Xn都是正数,故由题设条件易得X2=X3=…=Xu=1.综上所述得X1=X2=…=Xn=1或X1=X2=…=Xn1177设a1,a2,…,anER－,且s＞t＞O．试证：（al’…     

与分担值相关的正规族

设F是一族平面区域D内的亚纯函数,a和b是两个满足a／b岳N＼{1}的有穷非零复数．如果每个函数f∈F都满足f（z）=a→f′（z）=a和f′（z）=b→f″（z）=b,那么函数族F在D内正规．构造了一个在单位圆内不正规的亚纯函数族,族中每个函数f在单位圆内满足f（z）=m＋1→←f′（z）=m＋1和f′（z）=1→←f″（z）=1,这里m是一个给定的正整数．     

2008年福建卷理科压轴题简析

题1 已知函数f（x）=ln（x＋1）-x． （Ⅰ）求厂（x）的单调区间; （Ⅱ）记f（x）在区间[0,n]（n∈N^＊）上的最小值为bn,令an=ln（1＋n）-bn．     

一类二阶隐式微分方程的可解性

本文关注如下的二阶隐式微分方程f（t，u（t），u″（t））=0，a．e．t∈（O，1），边值条件为u（0）=u（1）=0．利用上下解方法和迭代技巧研究了该问题的可解性并得到了一些解的存在性结果．     

与ω函数的动力学相关的逆问题

用P记素数的集合,P（n）表示整数n（〉1）的最大素因子．记C3={p1p2p3：Pi∈P（i=1,2,3）,pi≠pj（i≠j）}, B3={p1p2p3：pi∈P（i=1,2,3）,p1=p2或p1=p3或p2=p3,但非p1=p2=p3}． 对于礼=p1p2p3∈C3UB3,定义训函数为 w（n）=P（p1＋p2）P（p1＋p3）P（p2＋p3）．如果有m∈S∪→C3∪B3,使得w（m）=n,则称m为n的S-亲源． 本文证明：在C3中有无穷多个元,它们有足够多的C3-亲源;在B3中有无穷多个元,它们也有足够多的C3-亲源．本文还证明,在B3中有无穷多个元,它们有足够多的B3-亲源．     

关于Hardy-Hilbert型积分不等式

设1/p=1/q≈1：1且P〉1．通过引入一个适当的积分核函数和参数λ（λ〉-1）,创建了一种新型Hardy～Hilbert型积分不等式．证明了其常数因子（p^λ=1＋q^λ＋1）Г（λ＋1）是最佳的,其中Г（x）Г-函数．特别,当p=2时,得到了一种新的Hilbert型积分不等式．作为应用,给出了它的一种等价形式．     

探究两道同源试题

题1（2002年上海交大保送生试题）设数列{an}满足关系an＋1=2an^2-1（n=1，2，…），若N满足aN=1（N=2，3，…）， 证明：（1）｜a1｜≤1； （2）a1=coskπ/2^N-2（k为整数）．     

一道高考题的多角度审视

2007年广东高考数学卷理科第21题：题目已知函数f（x）=x^2＋x-1，α,β是方程f（x）=0的两个根（α＞β），f′（x）是f（x）的导数,设α1=1，αn＋1=αn-f（αn）/f′（αn）（n=1,2，…）．     

一类高阶微分方程解的增长性

本文研究了微分方程f^（k）＋Ak（z）e^ακ-^12f^（κ-1）,…,＋A0（z）e^a0z=0的增长性,其中Aj（z）（j=0,1…κ-1）是整函数,其级小于1．在αj（j=0,1,…,κ-1）满足某条件下,得到该方程的任一超越解的超级等于1的结论．     

一道选择题的多角度思考与引伸

有这样一道习题： 设F1,F2是椭圆x2＋3y2=3的两个焦点,点P是椭圆上的点,若∠F1PF2=90°,则这样的点P有（ ） （A）0个．（B）2个．（C）3个．（D）4个．     

随机一致超图的关于H-因子的门槛函数

假设H和H（分别是具有h个顶点和n个顶点的r一致超图．我们称一个具有n/h个分支，且每个分支都同构于H的H的生成子图为H的一个H-因子．记α（H） = max{｜E′｜/｜V′｜-1 ｜}，其中的最大值取遍H的所有满足｜V’｜〉1的子超图（V’，E′）．δ（H）表示超图H的最小度．在本文中，我们证明了如果δ（H）〈α（H），那么P=p（n）=n-1／α（H）就是随机超图Hr（n，P）包含．H-因子的一个紧的门槛函数．也就是说，存在两个常数c和C使得对任意P=p（n）=cn-1／α（H），几乎所有的随机超图Hr（n，P）都不包含一个H-因子，对任意P=p（n）=cn-1／α（H），几乎所有的随机超图Hr（n，P）都包含一个H-因子．     

上海卷（文、理科数学）

一、填空题 1．（理）函数f（χ）=χ-2/1与的反函数为f^-1（χ）=____________     

u~(4)(t)-λh(t)f(u(t))=0的边值问题的正解存在性

本文考察了边值问题u（4）-λh（t）f（u（t））＝0,0＜t＜1,u（0）=u（1）="（0）=u"（1）=0的正解存在性和多解性,其中λ＞0本文推广了［3］的结论．