Stable elastic waves in anisotropic materials

Zusammenfassung Diese Arbeit befasst sich mit der Fortpflanzung von stabilen Wellen in einem anisotropen Medium infolge einer sich bewegenden Ladung an der Grenze des Materials. Wir behandeln besonders mobile Ladungen, deren Geschwindigkeit höher ist als diejenige der Wellen im Material. Das Problem wird als ebenes Spannungsproblem behandelt.

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This work was supported by the United States Atomic Energy Commission.     

Two algorithms for a plant-storehouse location problem

Summary This paper considers the following assignment problem. There are some groups of plants, each group producing a different commodity. There are some consumption areas, each containing a number of storehouses and wanting a certain amount of all the commodities. The problem consists of finding the assignment of storehouses to plants which minimizes the overall cost, consisting of fixed charges associated to all storehouses and plants, and of transportation costs. For the solution of this problem, which can be called a plant-storehouse location problem, two algorithms are presented. The first algorithm makes use of a branch and bound technique; the second is based on a decomposition technique, which follows directly from the Dynamic Programming.The classic plant location problem is a particular case of the problem discussed in this paper.

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Zusammenfassung In dieser Arbeit wird folgendes Zuordnungsproblem untersucht. Gegeben sind einige Fabrikgruppen, die jeweils verschiedene Waren herstellen, und einige Verbrauchsgebiete mit jeweils einer Anzahl von Lägern und einem bestimmten Bedarf an diesen Waren. Gesucht ist eine gesamtkostenminimale Zuordnung der Läger zu den Fabriken. Die Gesamtkosten setzen sich aus den Transportkosten und fixed charges für jede Fabrik und jedes Lager zusammen. Für dieses spezielle Standortproblem werden zwei Algorithmen entwickelt. Während der erste Algorithmus auf der Branch and Bound-Technik aufbaut, basiert der zweite auf einer aus der dynamischen Optimierung entwickelten Dekompositionstechnik.Das klassische Standorproblem ist ein Sonderfall des in dieser Arbeit behandelten Problems.

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Deutsche Übersetzung:Zwei Algorithmen zur Lösung von Fabrik-Lagerhaus-Standortproblemen.

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This work has been supported by Consiglio Nazionale delle Ricerche (C. N. R.), Roma, Italy.

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The authors are with the Istituto di Elettrotecnica ed Elettronica, Laboratorio di Controlli Automatici, Politecnico di Milano, Milano, Italy.     

Minimax-Lösung eines einfachen Lagermodells,wenn nur Mittelwert und Streuung der Nachfrageverteilung bekannt sind

Zusammenfassung Es wird ein einperiodiges Lagerhaltungsmodell mit konstanten Fehlmengen-und proportionalen Lagerhaltungskosten bei stochastischer Nachfrage untersucht. Dabei wird angenommen, daß von der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Nachfrage nur Mittelwert und Streuung bekannt seien. Mit Hilfe einer Modifikation derTschebyscheffschen Ungleichung wird eine vollständige Lösung des Problems der optimalen Lagermenge gemäß dem Minimax-Risiko-Kriterium angegeben.

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Summary A one-period inventory model with constant understock costs and proportional inventory holding costs is investigated. It is assumed, that of the probability distribution of demand is known its mean and its variance only. With the help of a modified version ofTschebycheff's inequality the problem of finding the optimal order quantity is completely solved with respect to the minmax-risk-criterion.

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Vorgel. v.:F. Ferschl.     

Steady-state heat conduction in a circular cone

Zusammenfassung Diese Arbeit befasst sich mit der Bestimmung des stationären Temperaturfeldes, das in einem Kreiskegel durch eine unstetige Verteilung der vorgegebenen Oberflächentemperatur hervorgerufen wird. Die Temperatur der Mantelfläche wird oberhalb und unterhalb einer festen Entfernung von der Kegelspitze konstant angenommen. Dieses Problem wird mit Hilfe der Mellin-Transformation streng gelöst. Die so erhaltene Lösung wird in einer später erscheinenden Arbeit auf die Bestimmung der zugehörigen Temperaturspannungen angewendet.

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The results communicated in this paper were obtained in the course of an investigation conducted under Contracts Nonr 562(20) and Nonr 562(25) of Brown University with the Office of Naval Research in Washington, D.C.     

Numerische Lösung eines ebenen Anfangswertproblems aus dem Gebiet der Wasserwellen

Zusammenfassung Ein spezielles Wasserwellenproblem wird mit einem mathematischen Verfahren gelöst, das alle auf dem freien Rand vorgegebenen Bedingungen exakt erfüllt. Die Methode kann auch auf andere Probleme angewandt werden, wie eine Nachfolgearbeit über ein Kavitationsproblem zeigt.

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Summary A special water-wave problem is solved by a mathematical method which satisfies all free surface conditions exactly. The method can be applied to other problems as a following paper about a cavity problem shows.

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Diese Arbeit entstand in der Gesellschaft für wissenschaftliche Datenverarbeitung m.b.H. Göttingen.     

A comparison between John's refined interior shell equations and classical shell theory

Zusammenfassung Die linearisierte Form der verfeinten Feldgleichungen vonJohn für dünne elastische Schalen wird verglichen mit der klassischen Schalentheorie in der Form der Gleichungen vonSanders undKoiter. Im Falle der dehnungslosen axialsymmetrischen Biegung einer Schale in der Form einer Schraubenfläche stimmen beide Theorien überein in ihren Aussagen. Ein wesentlicher Unterschied zeigt sich jedoch für Schalen mit einem kovariant konstanten zweiten Haupttensor (Kugelschale oder Kreiszylinderschale). Der Vergleich mit einer exakten Lösung für zylindrische Biegung einer Kreiszylinderschale bestätigt die (annähernde) Gültigkeit der klassischen Gleichungen. Dieser Unterschied, und die Übereinstimmung im Falle der Schraubenfläche, lenken die Aufmerksamkeit auf vier numerische Koeffizienten in den äusserst komplizierten Gleichungen vonJohn, die einer Nachprüfung auf Schreibfehler bedürfen.

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Dedicated to ProfessorHenry Görtler on the occasion of his 60th anniversary     

The diffraction of a plane compressional wave by a spherical cavity in an elastic medium

Zusammenfassung Ein sphärischer Hohlraum in einem unendlichen homogenen und isotropen elastischen Medium wird von einer ebenen Druckstosswelle überstrichen, deren Front sich gleichförmig fortbewegt. Das durch Ablenkung am Hohlraum erzeugte Verschiebungs- und spannungsfeld wird mittels einer Integraltransformation bestimmt. Insbesondere wird die starre Teilbewegung der Begrenzung des Hohlraums ermittelt. Das Problem wird für eine einstufige Druckwelle gelöst. Die Ergebnisse lassen sich als Einflussgrössen betrachten, mit denen sich die Duhamel-Integrale für allgemeinere Druckwellen berechnen lassen.

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This work was performed under Contract No. AF 29(601)-5132 (Project No. 1080, Task No. 108007) for Air Force Special Weapons Center, Kirtland Air Force Base, New Mexico, USA.     

Extension of Koiter'sL 2-error estimate to approximate shell solutions with no strain energy functional

Zusammenfassung Es wird gezeigt, dass sich KoitersL ₂-Fehlerschätzung für die Lösung linearer elastischer Randwertprobleme, die ein modifiziertes angenähertes Funktional der Verzerrungsenergie enthalten, auf die Lösung von Problemen erweitern lässt, in denen die Spannungs-Dehnungs-Beziehungen nur approximativ von einer Verzerrungsenergiedichte abgeleitet werden können. Die Resultate werden für Untersuchungen bei Schalen mit einer Mittelfläche konstanter Durch-schnittskrümmung und bestehend aus einem Material mit modifizierten Spannungs-Dehnungs-Beziehungen verwendet, um die geltenden Gleichungen zu vereinfachen.

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This research was supported by the National Science Foundation under Grant GP-15333.     

The response of a thin elastic plate to a moving pressure point

Zusammenfassung Eine dünne unendliche elastische Platte sei plötzlich durch einen in einem Punkt konzentrierten Druck belastet, der sich danach auf einer Geraden mit konstanter Geschwindigkeitc bewegt. Unter Anwendung der elementaren Plattentheorie wird eine Integraldarstellung der Verbiegung hergeleitet. Dieses Integral kann in besonderen Fällen ausgewertet werden, insbesondere am Nullpunkt und unterhalb der sich bewegenden Last. Asymptotische Ergebnisse zeigen an, dass längs der Bahn des Druckpunktes grosse Plattenverbiegungen zu erwarten sind. Schliesslich wird die Lösung für die stationäre Punktbelastung als Grenzlösung des allgemeinen nicht-stationären Problems gefunden.

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Research sponsored by the Air Force Office of Scientific Research, Office of Aerospace Research, United States Air Force under AFOSR Grant No. 821-65.     

The laminar boundary layer on a blunted wedge

Zusammenfassung Es wird die Grenzschicht an einem abgestumpften Keil mit Hilfe der Görtlerschen Reihe berechnet. Man findet, von der Staupunkt-Grenzschicht ausgehend, eine asymptotische Annäherung an die Grenzschichten von Falkner und Skan; die asymptotische Lösung wird mit Hilfe der Reihe sehr befriedigend dargestellt, besonders nach Anwendung von verschiedenen Methoden zur Verbesserung der Konvergenz. Zudem wird die Annäherung an die Lösung im Unendlichen analytisch untersucht, wobei sogenannte asymptotische Eigenfunktionen auftreten.Die rechnerisch ausgewertete Lösung für einen Keil mit rechteckigem Öffnungswinkel kann als Vergleichsfall zur Beurteilung von numerischen Methoden benützt werden.

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To ProfessorHenry Görtler on his sixtieth birthday

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The research carried out at UCSD was supported by the Advanced Research Projects Agency (Project DEFENDER) under Contract No. DA-31-124-ARO-D-257, monitored by the U.S. Army Research Office-Durham.

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The research carried out at Stanford was supported by the Air Force Office of Scientific Research under Contract No. AF49(638)-1274.     

Viscoelastic waves generated by an unsteady shear crack

Summary A dynamic crack problem with finite crack length subject to antiplane shear is solved. The medium is viscoelastic in shear and the two tips are allowed to extend as arbitrary functions of time; hence it represents a more realistic physical condition. On the other hand, the solution is interesting in itself because of the lack of the elastic-viscoelastic correspondence principle. The solution is obtained from a system of recursive Abel's integral equations which are derived from an integral representation, slightly different from Poisson's formula for the wave equation.

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Zusammenfassung Das dynamische Fortpflanzungsproblem eines Risses mit endlicher Länge unter orthogonaler Schubbelastung wird hier gelöst. Das Medium soll sich unter Schub viskoelastisch verhalten, und die zwei Rissspitzen sollen sich als willkürliche Zeitfunktionen ausdehnen können. Aus diesen beiden Annahmen entsteht sodann ein realistischeres physikalisches Modell. Die Lösung ist auch vom mathematischen Standpunkt aus interessant, da hier das elastisch-viskoelastische Korrespondenzprinzip nicht anwendbar ist. Eine Integraldarstellung, die sich von der Poissonschen Formel für die Wellengleichung wenig unter-scheidet, führt zu einem rekursiven System von Abelschen Integralgleichungen und somit zur obengenannten Lösung.

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Operated by Union Carbide Corporation for the U.S. Atomic Energy Commission.     

Existence and approximation of solutions to nonlinear operator equations

Summary We consider the approximation of solutions to a nonlinear operator equation of the formLu+N(u)=f in a Hilbert space by the Rayleigh-Ritz-Galerkin method. Using a variant of Cesari's alternative method we determine when the existence of an approximation of orderk determines the existence of a solution to the equation and give a method to determine error bounds on the approximation.

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Zusammenfassung Wir benutzen das Rayleigh-Ritz-Galerkin'sche Verfahren um Lösungen der nichtlinearen Operatorgleichung vom TypLu+N (u)=f in einem Hilbertraum zu gewinnen. Eine Umformulierung der Cesari'schen alternativen Methode wird angewendet um die Frage zu lösen ob die Existenz einer Approximation der Ordnungk die Existenz einer exakten Lösung mit sich bringt. Eine Methode um Fehlerschranken für die Approximationen zu bestimmen wird angegeben.

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Supported in part by the DAAD/CONICYT, professor exchange program     

Duale Optimierungsaufgaben und Sattelpunktsätze

Zusammenfassung Es wird der formale Zusammenhang zwischen der Existenz eines Sattelpunktes und einem Paar dualer Optimierungsaufgaben angegeben. Dabei werden Voraussetzungen wie konvex oder konkav nicht benötigt. Die Theorie ist so aufgezogen, daß dieFenchelsche Theorie der konjugierten Funktionen gut in diesen Rahmen eingebaut werden kann. An vielen Beispielen wird der Zusammenhang mit bekannten Dualitätssätzen dargestellt.

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Summary We treat the formal relations between the existence of a saddle-point and a pair of dual programming problems without using assumptions like convex or concave. The theory is built in such a way, thatFenchels theory of conjugate functions fits very well in its frame. The relationship between the theory and other well known duality theorems are explained by many examples.

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Vorgel. v.:W. Krelle.     

On the temperature and humidity dependence of the ice forming activity of silver iodide

Zusammenfassung An AgI-Pulver mit der Korngrössen-Verteilung nach Figur 1 wurde die Eiskeimbildungsaktivität in Funktion der temperatur gemessen; Figur 2 zeigt das Resultat, das kurz diskutiert und mit Experiment und Theorie anderer Autoren verglichen wird.Die Abhängigkeit der Aktivität vom Dampfdruck zeigte sich in einem orientierenden Versuch, bei dem der unterkühlte Nebel aus Steinsalzlösungströpfchen bestand; mit den so reduzierten Dampfdrücken gemäss Figur 3 ergaben sich die in Figur 4 dargestellten Aktivitätskurven, woraus zu schliessen ist, dass AgI im ganzen Bereich seiner Eiskeimbildungsaktivität als Sublimationskern wirkt.

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Paper presented at the International Congress of Cloud Physics in Verona, August 9–13, 1960.     

Duality for non-linear programming in aBanach space

Summary A constrained maximization problem in a realBanach space is considered, where the objective function is a non-linear pseudo concave functional and constraints are given bym non linear quasi convex functionals. The optimality conditions and converse duality theorem, given byRitter, have been extended to this class of programming problems.

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Zusammenfassung Die Maximierungsaufgabe in einem reellenBanachraum mit nichtlinearerpseudo konkaver Zielfunktion und endlich vielen nichtlinearen quasi konvexen Nebenbedingungen wird untersucht. Die vonRitter aufgestellten Optimalitätskriterien sowie der Dualitätssatz werden für diese Klasse von Programmen als gültig erkannt.

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Vorgel. v.:J. Nitsche.     

Zur Theorie und Praxis der dynamischen Optimierung

Zusammenfassung Für eine große Klasse kontinuierlicher dynamischer Optimierungsprobleme, bei denen es sich um die Optimierung eines Integralausdrucks unter gewissen nichtholonomen Nebenbedingungen handelt, wird nach der Untersuchung der Existenz von Lösungen und der Ableitung einer Funktionalgeichung in Teil I dieser Arbeit in einem II. Teil (veröffentlicht im nächsten Heft dieser Zeitschrift) ein Verfahren zur Lösung mit Hilfe eines iterativen elektronischen Analogrechners einschließlich der zugehörigen Konvergenzbetrachtungen angegeben. Das Lösungsverfahren ist auch für Digitalrechner verwendbar, als besonders geeignet erscheinen die gerade jetzt in der Entwicklung begriffenen hybriden Rechenanlagen.

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Summary We treat a large class of problems of continuous dynamic programming. We have to optimize a certain integral expression restricted by some nonholonomic secondary conditions. We investigate the existence of solutions, and derive a functional equation. In a second part of this paper (being published in the next number of this journal) we give a method for the solution of this problem by means of an iterative analogue computer, and study the convergence of this method. For our procedure we can also use digital computers, especially hybrid computers.

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Diese Arbeit ist ein Auszug aus der von der Fakultät für Allgemeine Wissenschaften der Technischen Hochschule München genehmigten Dissertation des Dipl.-Math.Klaus Neumann, Institut für Angewandte Mathematik der Technischen Hochschule München, Dir. Prof. Dr.J. Heinhold, 8 München 2, Arcisstraße 21. Tag der Promotion: 18. 12. 1964.

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Vorgel. v.:J. Heinhold     

Lösung großer linearer Regionalplanungsprobleme mit der Methode vonDantzig undWolfe

Kurzfassung Ein großes, für den Agrarsektor der BRD konzipiertes räumliches Gleichgewichtsmodell ist als lineares Optimierungsproblem zu groß, um ohne Schwierigkeiten mit einem Standard-LP-Programm gerechnet werden zu können. Zur Lösung solcher Probleme wird ein Programmkonzept entworfen, das die Verwendung von Standard-LP-Programmen vorsieht und sich am Vorgehen der Dekompositionsmethode vonDantzig undWolfe orientiert. In Versuchsrechnungen mit einem ca. 1250 Spalten und 900 Zeilen umfassenden kleineren Problem wird dieses Konzept getestet und untersucht, inwieweit der Rechenaufwand durch die Wahl der Ausgangslösung sowie bestimmte Matrixzerlegungen beeinflußt werden kann.

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Summary The programming formulation of a large spatial equilibrium model of the agricultural sector of Germany, which is in preparation, results in a very large linear programming problem. For solving it, existing computer programs for linear programming (LP-programs) provide too little capacity. The author traces out the solution of such problems by a decomposition program, which allows the unchanged use of existing LP-programs. The underlying method is the decomposition principle ofDantzig andWolfe. This concept is tested by solving a problem with about 1250 colums and 900 rows. Furthermore, it is investigated to which extend an appropriate starting solution or specific matrix divisions influence optimization time.

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Überarbeitete Fassung eines Vortrags, der auf der Jahrestagung 1973 der Gesellschaft für Operations Research (DGOR) in Karlsruhe unter dem Titel Zur Anwendung linearer Dekomposition gehalten wurde.     

The thick free-convective boundary-layer along a semi-infinite isothermal vertical cylinder

Summary The free convection boundary-layer flow along a vertical isothermal semi-infinite cylinder is solved for the case that the boundary-layer is thick in comparison with the radius of the cylinder. Contrary to assertions in the literature that is has been solved, this problem is still awaiting solution. It is shown that a rather unorthodox boundary-layer transformation should be applied to obtain the solution. some numerical calculations are carried out and these are displayed in graphical form.

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Zusammenfassung Das Problem der freien konvektiven Grenzschichtströmung entlang einem vertikalen isothermen halbunendlichen Zylinder wird für den Fall gelöst, dass die Grenzschicht dick ist im Vergleich zum Radius des Zylinders. Obwohl in der Literatur Behauptungen zu finden sind, dass dieses Problem gelöst ist, so zeigt sich doch, dass dies nicht zutrifft. Es wird gezeigt, dass man mit Hilfe einer noch wenig bekannten Grenzschichttransformation die Lösung des Problems finden kann. Einige numerische Berechnungen sind durchgeführt worden, und die Ergebnisse werden in grafischer Form dargestellt.

     

Die Anwendung des elektronischen analogrechners auf das dynamische Optimieren

Zusammenfassung Das Prinzip des dynamischen Optimierens wird exakt dargestellt. Es handelt sich dabei um mehrstufige Entscheidungsprozesse, bei denen auf jeder Stufe eine Entscheidung so getroffen werden soll, daß eine gewisse den Prozeß charakterisierende Zielfunktion optimiert wird. Der deterministische wie der stochastische Fall werden untersucht. Im zweiten Teil wird eine Methode angegeben, mit deren Hilfe auf dem elektronischen Analogrechner dynamische Optimierungsprobleme gelöst werden können. Als Anwendungsbeispiel wird im dritten Abschnitt ein Problem der Produktionsplanung behandelt. Dabei wird ein Mehrproduktbetrieb mit beschränkter Maschinenkapazität vorausgesetzt, dessen Gesamtkostenkurven linear und dessen Preis-Absatz-Kurven nichtlinear verlaufen. Neben der Lösung dieser Aufgabe werden verschiedene Verfahren zur Berücksichtigung von Verfeinerungen der Problemstellung angegeben. Zum Schluß werden Genauigkeitsbetrachtungen sowie ein Vergleich der Methode des dynamischen Optimierens mit dem üblichen Gradientenverfahren der Optimierung auf dem Analogrechner angestellt.

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Summary The principle of dynamic programming will be described exactly. We deal with multi-stage decision processes, at which we have a decision for each stage, such as an objective function, that characterizes the process, is optimized. We handle the deterministic and the stochastic case. In the second part, we state a way of handling the method of dynamic programming on an electronic analogue computer. As an example, we are concerned with a problem of production planning in the third part. We presume a multi-product firm with a restricted number of machines. The curves of the total costs are linear, the price-sale-curves are non-linear. We give the results of the computation and some methods to refine the type of problems which can be solved. At the end, we consider the accuracy, and draw a comparison between the method of dynamic programming and the usual gradient method of programming on an analogue computer.

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Vorgel. v.:J. Heinhold     

On the use of a Pohlhausen method in three dimensional boundary layers

Summary The paper deals with the problem of a three dimensional boundary layer flow on the inner surface of a cone when the flow external to the boundary layer is due to a potential line vortex on the axis of the cone together with a radial flow parallel to the cone generators.The momentum integral equations are solved using a Pohlhausen method. An asymptotic solution of the boundary layer equations is used to overcome the arbitrariness which commonly arises in this type of approach and, together with a discussion of certain other boundary conditions, lays a foundation for the use of the method.

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Zusammenfassung Die Arbeit behandelt das dreidimensionale Grenzschichtproblem der Strömung entlang des Inneren an einem Kegel, wobei die Strömung ausserhalb der Grenzschicht durch einen Potentialwirbel entlang der Kegelachse und durch Radialbewegung entlang der Kegel-Generatoren gebildet wird.Die Momenten-Integral-Gleichung wird mit einer Pohlhausen-Methode gelöst. Eine asymptotische Lösung der Grenzschichtgleichung wird dazu benützt, eine gewisse Willkür zu beseitigen, die gewöhnlich bei solchen Methoden auftritt, und gibt zusammen mit der Diskussion von gewissen Grenzbedingungen die Grundlage der Methode.