单位圆内接正三角形顶点坐标的一个性质

设A,B,C为单位圆x2＋y2=1上的三个点,且△ABC为正三角形,则可设A,B,C的坐标分别为A（cosα,sinα）,B（cosβ,sinβ）,C（cosγ,sinγ）．若k为整数则有如下结论：     

正三角形的几个性质

如图1,P为正三角形ABC内任意一点,过P作三角形三边的垂线,垂足为D,E,F,则大家所熟悉的一个结论是:PD+PE+PF=定值.本文给出并证明它的另外几条性质.     

正三角形内点的一些性质

正三角形称得上是最完美的图形,这不仅是因其外表的对称和谐给人以美感,更重要的是它内在的一些性质常给人以启迪,对正三角形潜在性质的挖掘十分富有意义。以下就将自己的一些探讨结果呈献给大家,供     

正三角形与其同心圆的若干性质

笔者近日发现数学通报《数学问题》栏目中的两个问题1283(2000．11期)、1287(2000．12期)有惊人的相似之处，这引起了笔者的兴趣．相似的问题预示着应有相似的解法．实际上两个问题的提供者给出的解答方法就是相同的，都是引进辅助角借助三角变换完成解答或证明，而过程繁琐，令读者望而生畏，失去阅读下去的勇气和兴趣。     

正三角形中的一个不等式及其推广

本文将给出正三角形中的一个不等式，并对它进行一些推广．定理设D、E、F分别是正△ABC的边BC、CA、AB上的内点，△DEF、△AEF、△BDF、△CED的周长分别记为m0、m1、m2、m3，kR ．则当且仅当D、E、F分别是正△ABC的边BC、CA、AB上的中点时，等号成立．证明如图1，在△AEF中，A=60°．由二元平均值不等式，得由幂函数tk（kR ）在R 上单调增加，得将以上三式相加，并利用平均值不等式，可得当且仅当D、E、F分别是正面ABC的边BC、CA、AB上的中点时，等号成立．将上述定理进行推广，可得以下两个命题．命题1设D、E、F分…     

矩形内接正三角形的一个结论

<正>《中学生数学》2017年3月下刊登了文章《对一道题的另证与补充》,文中"给出一种初中水平的证法,并给出结论成立的条件",较完美地解决了问题.然而构造正方形的内接正三角形的辅助线不易想到,且结论成立的条件不够完整,为此笔者进行了深入探究.原题如图1,矩形ABCD的边AB上有一点E,边AD上有一点F,△CEF是正三角形.猜想S△AEF,S△BCE和S△CDF的关系,并加以证明.     

构造正三角形证题的一个契机

当我们看到一条弦长等于圆的半径,我们就知道它所对的圆周角有一个等于30°;当我们看到正三角形和它一边上的中线,我们就知道这条中线分顶角为两个30°.反过来,当题目给出30°的角的时候,我们能否在头脑中“无中生有”地想到它所对的弦或它所在的正三角形呢?这可能就是我们构造     

圆内接正三角形的另两个性质

《中学生数学》1999年第3期“数学开放题”栏目提出这样一个问题: 如图1,P是正△ABC的外接圆⊙O的BC上任一点.连结PA、PB、PC,PA     

圆内接正三角形的一个结论的推广

问题　如图 1,等边△ ABC内接于⊙ O,劣弧 BC上取一点 P,连结 PA、BP、PC,求证 :PB +PC =PA.1　问题的证明(1)如图 2 ,将△ BCP绕点 B逆时针旋转6 0°,使点 C和点 A重合 ,点 P落在 AP上点 D处 ,则 AD =PC,又易证△ BDP是等边三角形 ,故 BP =PD,从而 PB +PC =PA.图 1　　　图 2　　　图 3　　　图 4(2 )如图 3,将△ ABP绕点 B顺时针旋转6 0°,使点 A和点 C重合 ,点 P落在 CP的延长线上点 D处 ,则 PA =DC,又易证△ BDP是等边三角形 ,故 BP =PD,从而 PB +PC =PA.(3)如图 4 ,过点 A作 AE⊥ PC于点 E,再将 Rt△ …     

正三角形在一个格点问题中的应用

本文是一篇好文章,推荐给数学爱好者一读.从中可以看到思维的魅力,感悟到数学的美妙. 田永海老师在长期教学实践中对平面几何倍加独钟,有很深的造诣.他提出了“三角形中格点”的概念,并对相关问题作过较为系统地研究.著有《三角形中的格点问题》(2000年12月版,东北师范大学出版社)一书,田老师也是初等数学研究的热心参加者.其研究成果表明,平面几何领域尚有许多丰富的资源有待开发,平面几何的内容也随着研究的深入在与时俱进.平面几何对培养青少年理性思维的作用更加日益突出.“学习几何能锻炼一个人的思维”的作用更为凸显出来了.那种在基础教育中削弱砍杀几何的作法,是极为有害的.本文中“一题8解”,思路灵活,表述简捷,行文流畅,推理严谨,读后必会多有收益如果有兴趣,不妨读一读《三角形中的格点问题》一书.周春荔     

有趣的正三角形

<正>如图,C为以AB为一边的正三角形∠A对边上一点,D为以CD为一边的正三角形∠B对边上一点,E为以CD为一边的正三角形∠D对边上一点,图中的全部线段的长度都是整数,分别以△ABC、△BCD、△BDE的各边为一边作正方形,九个正方形面积之和为2018,求图中所有线段的长度.     

关于正三角形和正方形吻接数的一个简单证明

设 pn是任意一个正 n边形 ,最大整数 k(pn)称为 pn的吻接数 ,其中 ,在同一平面内有 k(pn)个与 pn全等的正 n边形均与 pn有非空的交集 ,但没有重叠 ,而且 k(pn)个正 n边形两两没有重叠 . Youngs (Amer.Monthly46(1 93 9) 2 0 ) ,Klamkin(Math.Mag. 68(1 995 ) 1 2 8)先后证明了 k(p3) =1 2 ,k(p4 ) =8,作者(Discrete Math.68(1 998) 2 93 )证明了当 n >6时 k(pn) =6.然而 ,Youngs、Klamkin等人关于 k(p3) =1 2 ,k(p4 ) =8的证明非常复杂 .本文将就 k(p3) =1 2 ,k(p4 ) =8给出非常简单的证明 .     

一个改进的Frank—Wolfe算法及其收敛性质

对于线性约束非线性规划其中,而A是-m×n矩阵, Frank-Wolfe曾对f(x)是二次函数的情形给出了(P)的一个算法,该算法结构简单,易于实现,是求解非线性网络问题的一个行之有效的方法。其后,许多学者对该方法做了大量的改进工作。但这些改进的方法本质上与Frank-Wolfe方法没有太大差别,其收敛定理与Frank-Wolfe方法一样,在算法产生的点列{x~n}有极限点的条件下,说明该极限点是(P)的-Kuhn-Tuoker点,而对的情形却没有任何结果。     

对圆锥曲线一个统一性质的修正

文[1]在对椭圆的一个性质进行详细研讨后,给出了一个圆锥曲线的统一性质——推广2,现摘抄如下： 推广2若点C是圆锥曲线焦点弦一端点与x轴上一定点P的连线与相应准线的交点,则焦点弦的另一个端点与点C的连线必过x轴上的定点Q,该定点满足点P,焦点F,点Q到准线的距离的倒数成等差数列。     

对一个积分定理的改进

对一个积分定理的改进朱宗俭（西安石油学院）高等学校工科数学课程教学指导委员会本科组编写的《高等数学释疑解难》的内容丰富，说理清楚，是一本能引导学生深入学习本课程的好参考书。本人在使用时也有受益。但是发现第１２４页有一个定理２的叙述与证明似乎应该修正和...     

对一个矩阵的迹不等式的改进

在这篇文章中,对一个矩阵的迹不等式给出了新的而且较为初等的证明.同时,还改进了此不等式.     

对三角形的一个性质的再探究

文[1]提出了三角形的一个“性质”并给出了证明,文[2]又给出了“性质1”并且也给出了证明.受它们的启发,本文也将有关性质进一步探究推广.设P是△ABC所在平面内任意一点(不在△ABC三条边所在直线上),S△ABC表示△ABC的面积,λ1=S△PBCS△ABC,λ2=S△PCAS△ABC,λ3=S△PABS△ABC