对《有心圆锥曲线切线的一个性质》一文的补充

文[1]给出了椭圆和双曲线切线的一个性质,笔者经过思考还发现抛物线切线的一个性质,算是对文[1]的补充和完善. 性质1若P为抛物线y2=2px（p〉0）上不同于坐标原点O的任意一点,直线PO交直线l：x=t于点M,直线PN⊥直线l,垂足为N,以点P为切点的切线交直线l于点Q,则Q为MN的中点.证明如图1,设P（x0,y0）,则y20=2px0,N（t,y0）.     

抛物线一个性质的推广

命题（抛物线的一个性质）：设抛物线y2—2px（P〉0）的焦点为F,过F点的直线交抛物线于A、B两点,BC//x轴。交抛物线的准线l于点C,则直线AC经过原点O．     

一道联考试题的解法分析及探究

一、题目展示如图1,已知中心在原点O,焦点在x轴上的椭圆T过点M(2,1),离心率为槡32,抛物线C的顶点在原点,对称轴为x轴且过点M.(1)当直线l0经过椭圆T的左焦点且平行于OM时,求直线l0的方程;(2)若斜率为-1的直     

对教参一道习题证明的补遗

平面解析几何课本P99有这样一道题：过抛物线y2＝2px的焦点的一条直线和这抛物线相交，两个交点的纵坐标为y1、y2，求证：y1y2＝－P2．教学参考书（人民教育出版社）给出的解题过程是：证明设过焦点的直线为去分母后整理得ky2－2py-kp2＝0设这个方程的两根为y1，y2，则有我们知道，不是所有的直线都存在斜率的，并且只有当直线斜率存在时，才能写出其点斜式方程．不难看出，本题的过焦点的直线斜率有可能不存在，因为点斜式方程不包括这种情形，所以本题的"证明"不严密完整的证明还应补上直线科率不存在这种情形的证明：若过焦点的直线的斜…     

斜率性质的灵活应用

直线的斜率是反映直线方向的一个非常重要的是，它的有关性质，在解题实际中有广泛的应用．例1（1997年全国高考题）已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C、D两点．（Ⅰ）证明点C、D和原点O在同一条直线上；（Ⅱ）当BC平行于X输时，求点A的坐标．分析（Ⅰ）只要证kCO=kDO，通过A、B两点坐标作侨梁．（Ⅱ）略．对多点共线问题，运用斜率，建立关系式，这是解题的常规方法，应用广泛．对形如y二二业结构问题，则问造萧军来工l一工2解．例2（1997＄全国高警题）…     

一道模拟题的简解及推广

题目如图1,以原点为圆心,t（t〉0）为半径的圆O交y轴的正半轴于点B,圆O与抛物线y^2=2x（y〉0）交于A点,直线BA与x轴交于点C,又抛物线y^2=2x（y〉0）上一点D,点D的横坐标比点A的横坐标大2,则直线CD的倾斜角的集合为＿＿．     

一道高考题的解法分析

2001年全国高考试卷(理)第19题:设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在抛物线的准线上,且BC//x轴,证明直线AC经过原点O. 本题以抛物线为载体,着重考查了抛物线焦点弦、直线方程,斜率等一系列基础知识,考生可以从多种不同角度入手进行分析,得到不同的证法. 证法一(如图) 分析要证直线AC经过原点O,只需证得kOA=kOC. 证明设 A(x1,y1),B(x2,y2), ∵BC//x轴,C在抛物线y2=2px的准线上,     

直线一题 细品深究

题 已知直线l过点P（2,1）,且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,0为坐标原点,若l与直线y=x（x〉o）交于点Q,求当pq/1＋pa/1取最大值时l的方程为.     

例说解析几何中距离计算的转化策略

解析几何中，已知P1（x1，y1）、P2（x2，y2），其间的距离由公式来求，但在涉及到直线与曲线相交等问题时，两点问的距离若用这个公式来求解，会显得复杂，而通过恰当的转化，则简单易求．这里总结常见的距离计算的转化方式，供复习参考．1距离与斜率的转化求直线与曲线相交时两交点间的距离，通常利用韦达定理转化为用直线的斜率k或线的交点坐标．例1椭圆与直线x＋y=1相交于A、B两点，C为AB中点，若O为坐标原点，OC斜率为，求a、b．例2已知椭圆，过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其准线的交点从左到右的顺序为A、B、C、D，记．（1…     

用“拟二次曲线”解一类相交直线问题

一条直线与二条直线相交时，如果将此二直线方程相乘构成一个二元二次方程，我们当作它对应着一条二次曲线（不妨称为“拟二次曲线”），这时我们是把此二直线看作一条二次曲线．这样，我们就可以利用一条直线与一条二次曲线相交时处理问题的方法，来处理一直线与两直线相交的有关问题，这样做可以避免求交点从而使解题手续大大简化．通常可以利用这种策略来解如下几方面的问题．1与被截线段中点有关的问题例1一直线l被两直线4x十y＋6=0，3x-5y-6=0截得线段中点恰为坐标原点，求直线l的方程．解设拟二次曲线C：（4x十y十6）（3x=5y-6）=0，…     

两条直线重合条件的运用

在《平面解析几何》课本中、两条直线平行和垂直的条件运用得比较充分，而对两条直线重合的条件则运用得不够．这在教与学两个方面都应引起汪意．下面想从三个方面谈一谈两条直线重俣条件的运用．1求直线的方程例1设在同一个坐标平面上的两个动点p（x，y）、Q（X’，y’），它们的坐标满足：x’＝x＋2y＋1，y’=2x＋3y－1．当动点P在不垂直于坐标轴的直线ｌ上移动上，动点Q在与直线ｌ垂直且过点A（1，2）的直线ｌ’上移动，求直线ｌ的方程．用设亘线l的S程为：Ax十By＋C—0①则直线l’的方程为：B（x1）A（yZ）＝0＠把已知X’、／的表…     

一类直线与抛物线相交的有关问题

<正>已知抛物线y=x²-1与过原点的直线l交于A、B两点,抛物线的顶点为M,判断AM与BM的位置关系,并进行证明.解析由于直线l经过原点,因此可以设直线l的解析式为y=kx(k≠0,k为实数),设A、B两点的横坐标分别是m、n,则m,n是关于x的一元二次方程x2-1与过原点的直线l交于A、B两点,抛物线的顶点为M,判断AM与BM的位置关系,并进行证明.解析由于直线l经过原点,因此可以设直线l的解析式为y=kx(k≠0,k为实数),设A、B两点的横坐标分别是m、n,则m,n是关于x的一元二次方程x²-1=kx的两个实数根,方程x2-1=kx的两个实数根,方程x²-1=kx即是方程x2-1=kx即是方程x²-kx-1=0,因此m+n=k,mn=-1.     

对一道填空题的再思考

文[1]对以下问题进行了研究:问题过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作一条斜率大于0的直线l与抛物线交于A、B两点,若在准线上存在点P使△PAB是等边三角形,则直线l的斜率等于__.并得到以下结论:     

圆锥曲线的又一性质——由抛物线的一个性质想到的

命题 设抛物线y^2=2px（P〉0）的焦点为F,过F点的直线交抛物线于A、B两点,BC／／x轴,交抛物线的准线l于点C,则直线AC经过原点O．     

一道抛物线定直线问题的推广

题目已知点A、B为抛物线C：y2=4x上的两个动点,点A在第一象限,点B在第四象限,直线l1,l2分别过点A、B且与抛物线C相切,点P为直线l1,l2的交点.（1）若直线AB过抛物线C的焦点F,求证：动点P在一条定直线上,并求此直线的方程;（2）设C、D分别为直线l1,l2与直线x=4的交点,求△PCD面积的最小值.这道题是2014年《福建高考“集结号”最后冲刺模拟卷》·数学（文史类）第三卷中的第22题,     

关于抛物线的一个命题的推广

抛物线有一个有趣的命题：过定点M(2p,0)的动直线l与抛物线C：y2=2px(p＞0) 相交于P、Q两点,O为坐标原点,则∠POQ恒为直角.与其等价的命题是：过原点O作抛物线y2=2px(p＞0)的两条互相垂直的弦OP、OQ,则直线PQ恒过定点M(2p,0).文［１］给出此命题的一个推广,本文从另一角度给出此命题的推广.命题1 设M(x0,y0)为抛物线y2=2px上的一个定点,过M作抛物线的两条互相垂直的弦MP,MQ,则直线PQ恒过定点M′(x0 2p,-y0)证 设PQ的方程为：x=my n(n≥0),代入y2=2px 得 y2-2pmy-2pn=0.由韦达定理得：y1 y2=2pm,y1y2=-2pn(1)其中y1,y2…     

点到直线距离公式的几种不等变形及应用

在解析几何中，公式表示点（x0，y0）到直线ax＋by＋c=0的距离．在代数中，灵活运用这一公式的不等变形，解证一类不等式或求函数值域（最值）及变量取值范围等，常能收到形象直现、化繁为简的效果．下面给出三种不等变形，并分别举例说明其应用．它的几何意义是：直线l：ax＋by=0外的任意一点M（X0，y0）到该直线的距离不大于这点到原点的距离，如图1．将不等式①两边平方，即得柯西不等式（ax0十by0）~2（a~2＋b~2）（x十y）．这是一个应用广泛且重要的著名不等式．例1求函数的最值，并写出使y取得最值时工的集合．（1991年全国高考题）…     

理科第(24)题别解

题 已知直线l过坐标原点,抛物线C的顶点在原点,焦点在x轴正半轴上。若点A(-0,0)和点B(0,8)关于l的对称点都在C上,求直线l和抛物线C的方程。 解法1 设抛物线C的方程为     

一道高考题的两种基本解法

<正>题目已知椭圆C:9x²+y2+y²=m2=m²(m>0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A、B,线段AB的中点为M.(Ⅰ)证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值;(Ⅱ)若l过点(m/3,m),延长线段OM     

一道经典高考题的多角度思考

题目 已知O为坐标原点,F为椭圆C:x2+y2/2=1在y轴正半轴上的焦点,过F且斜率为-√2的直线l与C交于A,B两点,点P满足→OA+→OB+→OP=0.