一个分式型不等式的证明及其应用

一个分式型不等式的证明及其应用贵州平塘民族中学谭登林当且仅当时等号成立．不等式（＊）不仅结构对称、和谐、易记，富有数学美，而且用它来解决一些较高难度的分式型不等式的证明问题尤为简便．现举例说明如下：例１［１］设ｘ、ｙ、ｚ、λ、μ、３λ－μ均大于零，且...     

|A B|~(1/n)≥|A|~(1/n) |B|~(1/n)的一个证明

《数学通报》1985年第3期的《正实阵n个不等式》一文中用数学归纳法证明: A、B为n阶正定阵,λ,μ>0,则λ|A|~(1/n) u|B|~(1/n)≤|λA μ|~(1/n)等号当且仅当A=kB(k>0)时成立。 本文给出一个用数学分析,高等代数知识     

一个无理不等式及其猜想的初等证明

文[1]给出了不等式:设a,b＞0,0＜λ≤2,则(√a/a+λb)+(√b/b+λa)≤2/(√1+λ)…………………(1) 文[2]类比给出了不等式:a,b＞0,0＜λ≤3,则3(√a/a+λb)+3(√b+b+λb)≤2/3(√1+λ)……………(2) 文[2]猜想:a,b＞0,n≥2,n∈N,0＜λ≤n,则n(√a/a+λb)+n(√b+b+λa)≤2/n(√1+λ)……………(3) 文[2]只给出不等式(2)的微分法证明,未能给出初等证明,并指出如何给出初等证明是一个值得继续研究的问题.本文将给出不等式(2)、(3)的一个初等证明;因为要用到不等式(1)证明过程中的一个结论,所以,先证不等式(1).     

一个简易不等式及其应用

此不等式是：若Ｍ 当且仅当Ｍ＝１时等号成立．其证明极易,这里从略．由不等式所显示的信息知,它的结构简单,特征分明,其左端是一个分子为１的分式模型,右端则是与之相关的整式．这就意味着该不等式有把一个分式转化为一个整式的功能．正因为如此,运用不等式（＊）可以使许多老问题获得新的解法．下面主要以一些竞赛题为例,说明不等式（＊）的应用． 例１ 设０＜ａ＜β＜,求证： 证明 设原不等式左端为Ｑ,先把Ｑ化作依不等式（＊）得 例 ２ 已知 Ｐ为△ＡＢＣ内一点,ＢＣ－ａ,ＣＡ＝ｂ,ＡＢ＝Ｃ．点Ｐ到ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ的距离…     

混和幂的丢番图不等式(Ⅱ)

本文证明了下面的 定理设λ１，…，λ７为非零实数，其中至少有两个之比为无理数，则对任意实数κ及０＜σ＜１／３６不等式有无穷乡组整数解（ｘ１，…，ｘ７）．这是陆鸣皋教授的一个结果对丢番图不等式的类似．     

杨乐不等式的两个初等证明

这里给出杨乐不等式则与目前已见到的证明不同的两个初等证明．证明1（三角变换法）汪意到余弦函数在[0，π]上是减函数，有又由A＞0，B＞0，A＋B≤π知|A－B|＜π，从而有COSμ（A-B）=COSμ|A-B|＞COSμπ由①②③即知（*）成立．证明2（构造模型法）当μ=1时易知（*）成立；当0＜μ≤时，构造△A1B1C1，真外接圆直径2R＝1．因在一个三角形中至少有两个内角为锐角，不妨设A1与B1都是锐角，并且令在△A1B1C1中用正弦定理，有A1B1＝sinμ（A＋B）再用宗弦定理，有比较（*）与（**）可以看出：欲证（*）成立，只需证就可以了．…     

杨乐不等式探微

杨乐不等式探微沈宁淮，熊永了（江苏淮安市教育局教研室２２３２００）我国著名数学家杨乐曾建立下列不等式．设Ａ＞０，Ｂ＞０，Ａ＋Ｂ＜π，０＜λ＜１，则有笔者对此进行探讨，得出下列有趣结论．证明利用三角恒等变形，不难得到：不等式（１）左边－右边＝［ｓｉｎλ...     

具有可选服务的M/M/1排队模型的另一个特征值

当λ(μ1+μ2)＜μ1μ2时,证明-λ是具有可选服务的M/M/1排队模型的主算子的几何重数为1的特征值.     

分式不等式的一种证法

分式不等式的一种证法李康海（浙江永康一中３２１３００）本文介绍一种证法．它不仅适用本刊文［１］、［２］类型的分式不等式，也适用于其它一些类型的分式不等式．由ａ２＋（λｂ）２≥２λａｂ得（ｂ＞０）（＊）当且仅当ａ＝λｂ时．等号成立．特别地，当λ＝１时，...     

关于根式和下确界的三个不等式

文 [1 ]、[2 ]都对根式和下界不等式的证法进行过探讨 ,文 [3 ]利用高阶导数等高等数学知识进行了研究 .本文运用中学数学方法 ,给出证明根式和下界不等式的更为一般的公式 ,使曾在众多书刊中出现的若干不等式均为其特例 ,简捷解决有关根式和下确界问题 .引理　设 0≤ x≤λ≤ a,r≥ 1 ,n≥ 2 ,n∈ N,则 n ar - xr≥ n ar - xt;其中等号成立当且仅当 x =0或λ.其中t=1λ(n ar - n ar -λr) .证明　当 x =0时 ,式中等号成立 ,下设x >0 ,　 f (x) =n ar - n ar - xrx ,∵　 0 相似文献   

应用均值不等式证明不等式的λ方法

应用均值不等式证明不等式的λ方法杨涤尘（湖南娄底师范４１７０００）应用均值不等式证明不等式，有时需要较强的配凑技巧．如果恰当地引入参数λ，结合平均值不等式，通过直接对参数λ赋值，或者结合题设条件，通过解方程或方程组确定λ的值，从而导出要证明的不等式．...     

正定实对称矩阵的几个不等式

本文证明了正定矩阵的几个不等式,同时得到了Minkowski不等式的一种推广形式。为方便起见,我们限定矩阵是实对称的。定理1 设A,B是n×n阶正定实对称矩阵,则对任意正数λ,μ,有等号当且仅当A=κB(κ>0)时才成立。在此,以|M|表矩阵M的行列式。在证明之前,我们先引进一个关于两组正     

λ（m）≤ξm（G）的一般充分条件

已经证明，当m≤3时，λ（m）-连通图G满足λ（m）（G）≤ξm（G）。当m≥4时，Bonsma等人指出不等式λ（m）（G）≤ξm（G）一般不再成立。最近，欧见平证明阶大于等于11的λ4-连通图G满足λ4（G）≤ξ4（G）.本文通过研究满足λ（m）（G）〉ξm（G）的λm-连通图所具有的结构性质，不仅易得以上结论，还得到如下一般结论：当m≥5时，阶大于m（m-1）的λm-连通图G均满足λm（G）≤ξm（G）.最后，通过构造例子说明本文给出的条件是最好的.     

一个常见三角不等式的推广

在△ABC,有不等式cosAcosBcosC≤81(1)等号成立当且仅当△ABC为正三角形.将其推广,笔者获得如下结论.定理在△ABC中,对λ≥0有不等式cosAcosB(cosC λ)≤(1 8λ)2(2)等号成立当且仅当A=B=21arccosλ2-1.证当cosAcosB≤0时,cosC>0,从而cosAcosB(cosC λ)≤0<(1 8λ)2;当cosAcosB     

关于Hardy－Littlewood－Polya不等式及其应用

此文主要结果是（１）设Ｐ＞１，０＜λ≤１及ｆ（ｘ）（≥０）∈Ｌｐ（０，∞），又设Ｋ（ｘ，ｙ）≥０和［Ｋ（ｘ，ｙ）］１／λ齐负一次式。若有Ｑ＞１，使λ＝２－１／Ｐ－１／Ｑ及　当λ＝１时为Ｈａｒｄｙ－Ｌｉｔｔｌｅｗｏｏｄ－Ｐｏｌｙａ不等式　当λ＝１时为Ｈａｒｄｙ－Ｌｉｔｔｌｅｗｏｏｄ－Ｐｏｌｙａ不等式之一改进。     

一个著名不等式的又一证明

一个著名不等式的又一证明３３０３０４江西永修一中宋庆１９５６年．Ｊ．Ａｃｚｅｌ在《ＵｓｐｅｈｌＭａｔｊ上厂次提出并证明了以下不等式：等号当且仅当申一７—…一７一；时成立．翻阅近年国内数学期刊，Ａｃｚｅｌ不等式时有出现，不过证明手法一律是构造二次函数、...     

用不等式|a|-|b|≤|a b|≤|a| |b|解题

（事实上，也成立，证明略）在高中《代数》下册不等式一章给出，教材主要研究了它在绝对值不等式证明中的运用．而在其它方面的运用几乎没有涉及．有关资料一般也未作探讨，为了强化《考试说明》中提及的这一重要基础，下面就其运用举例说明．1证明不等式例1用数学归纳法证明：（1985年全国高考上海试题）证明（1）n=1时，不等式显然成立．（2）假设成立，那么n＝k十1时，＜Silk。OSSI＋ICOSk。i。l＜ksinxl＋Dsinx【＝（k＋1）Isinx【．不等式成立．综合（1）、（2）有lsinn6I。nlsin8I．NZ已知a、b、c是实数，函数（1996年全国（3…     

关于一类解析函数的性质

引进用Hλ算子定义的一类解析函数Pλ(μ,α,β).我们导出该类中函数的积分表达式,证明偏差定理,并推广了文[3]中的主要结果.同时改进了[4]中的一个不等式.     

一个不等式的解集

文[1]用反例否定了不等式l）x]，文[2]给出了此不等式成立的一个条件，但该条件过繁且不够透彻．本文求出此不等式的解集结论已知nN，则不等式的解集是＿1＿，十］＿．＋］1＿D＆M】·＜》＋——巨工为十——乏＼7Mb十——．一l·－－—一D、－17＋］——一rt其中kEZ，i—1，2，…，n一川．证明设x一卜卜ZxI，则0qxI＜1，故原不等式即为（n＋1）hlx〕＋，；Ixl」＜n【（n＋1）卜I－（。；＋1）x所以（n＋l）卜卜」卜（n＋1）卜lxl」＜nl（n＋1）［x］」＋n［（n＋1）x］，即（n＋1）【n《xl」＜nl（n＋1）lxl」．（。）当0＜Ix【＜上…     

算术─几何平均不等式的简单证明

算术─几何平均不等式的简单证明王申怀（北京师范大学数学系１００８７５）众所周知，给出ｎ个实数ａｉ≥０（ｉ＝１，２；…，ｎ）成立下述算术─几何不等式：等号成立，当且仅当ａ１＝ａ２…＝ａｎ．一般上述不等式均采用数学归纳法来证，但不太容易．下面提供一个较为...