对称理论在解若干非线性问题中的应用

将摄动理论和对称约化理论结合起来对研究扰动非线性方程具有重要的意义. 本文利用近似对称约化理论研究了扰动mKdV方程, 得到了该方程的各阶近似约化方程和级数约化解. 本文还讨论了同伦近似对称方法在求解不可积系统中的应用以及利用对称和守恒律的关系求解非线性系统的无穷多守恒律等问题.     

近似对称约化简述

(同伦)近似对称方法由摄动法与对称约化方法相结合产生, 用于微分方程级数解的构造. 对称约化方法应用于微分方程或者其同伦模型经扰动展开分解而成的无穷多近似子方程, 可以得出通式形式的无穷多约化解和相应的约化方程, 再通过求解约化方程进一步得出原方程的截断级数解. 截断级数解的存在性体现原方程的可解性, 通常取决于扰动项的阶数与最高阶导数项奇偶性是否一致.     

对称变换和守恒律

物理系统的非拓朴性守恒量与此系统的对称性有密切关系,根据对称性导出相应的守恒律这个基本问题,现今所采用的观点和方法极不统一,这样就带来了不必要的混淆。本文试企从统一的观点来讨论这个问题,即从对称变换保持系统的动力学方程(以及对易关系):不变出发,分别来推导相对论力学、量子力学、经典场论、量子场论中的连续对称变换所产生的守恒律,而不借助于拉格朗日体制的Nther定理。把结果用于非Abel规范理论中,同步对称不变性导致场的守恒角动量表明,自旋和同步旋对场的角动量均有贡献。     

基于扩展主对称方法的Kadomtsev-Petviashvilli方程的对称与无穷维李代数

提出了扩展的主对称方法, 将它应用于2+1维可积模型—–Kadomtsev-Petviashvilli (KP)方程, 获得了该方程中含有时间 的任意函数的广义对称, 无需使用复杂的递归算子, 即可直接从对称定义方程中得出关于KP方程对称的显式简单构造公式. 本文中所有提到的对称都是此方程对称的特例, 同时, 还给出了由这些对称构成的一般无穷维李代数.     

非交换无色散Gelfand-Dickey方程族的附加对称

本文主要研究非交换无色散Gelfand-Dickey (GD)方程族的附加对称, 给出它的Lax函数及方程, 定义Orlov-Schulman函数和附加流. 在GD方程族约束情况下, 找出非交换无色散GD方程族附加流中的存活流, 同时研究特殊流得到弦方程并证明其形成一个无穷维李代数.     

广义对称正则长波方程的一个新的守恒差分逼近

对一类广义对称正则长波(generalized symmetrical regularized long wave,GSRLW)方程的初边值问题进行了数值研究,提出了一个三层有限差分格式,并利用离散泛函分析方法分析了该格式的二阶收敛性与无条件稳定性,格式合理地模拟了初边值问题的守恒性质.数值结果表明,本文的三层格式具有二阶收敛性;与两层的守恒格式相比计算精度有了进一步的提高.     

渐近线性的Kirchhoff类方程变号解的存在性

研究了全空间上一类径向对称的在无穷远点是渐近线性非线性项的自治的Kirchhoff方程,在适当条件下证明了Kirchhoff方程等价一个椭圆系统.再用各种分析技巧,得到了方程径向变号解的存在性结果。     

相空间中非Chetaev型非完整系统的Lie对称性与守恒量

研究相空间中非Ｃｈｅｔａｅｖ型非完整系统的Ｌｉｅ对称性与守恒量。首先利用微分方程在无限小变换下的不变性建立Ｌｉｅ对称所满足的确定方程的限制方程，给出了结构方程和守恒量；其次研究系统的Ｌｉｅ对称逆问题；最后举例说明结构的应用。     

Kac-Moody-Virasoro可积系统

通过研究Kadomtsev-Petviashvilli(KP)方程对称, 得到相应的无穷维李代数—–Kac-Moody- Virasoro(KMV)代数, 并运用KMV代数的生成元和其中一个子代数—–Virasoro代数的延拓结构, 推导出熟知的Kadomtsev-Petviashvilli(KP)方程, 并以此为基础得到更多高阶(2+1)维和(3+1)维的可积模型, 并且这些模型都具有KMV代数性质.     

自由电磁场的一个不变性

守恒量的存在,意味着所研究的系统具有一定的对称性。守恒量的导出,一般有两条途径,一是直接研究运动方程的对称性(变換下的不变性);二是惯用的方法,要求系统的拉氏函数或作用量在变換下不变(如Noether定理)。有的还对拉氏函数添加一散度项的不变性。文献[2]指出,从对称变換保持物理系统运动方程不变出发,导出这些变換所产生的     

Nizhnik-Novikov-Veselov方程的非李点对称及其精确解(英文)

对于非线性物理系统的有限对称群,一个新的方法被提出.将该方法作用于Nizhnik-Novikov-Veselov(NNV)方程,李点和非李点对称能同时得到,而使用经典李群法只能得到李点对称.最后,通过对称变化群能得到许多新的孤子解.     

玻色化方法在超对称可积系统的应用

利用玻色化方法可以避免超对称可积系统中反对易费米场带来的计算困难. 本文以N=1超对称mKdVB系统为例, 利用玻色化方法, 将其转化为只有玻色场的耦合系统. 应用标准的WTC方法, 证明了该耦合系统具有Painlevé性质. 运用Painlevé截断方法, 可以得到玻色化后超对称mKdVB系统的非局域对称. 为了求解与非局域对称相关的Lie第一性原理, 引入新的场将玻色化后系统拓展为更大的系统. 通过引入新的场, 该非局域对称局域化为Lie点对称. 因此, 可以利用Lie点对称约化方法研究拓展后的系统, 得到超对称mKdVB系统的孤子与其他孤波相互作用解.     

非线性系统的非局域对称及其应用

非局域对称作为对称理论重要组成部分, 近年来逐渐引起人们关注. 本文以势Korteweg-de Vries (KdV)方程、修正Korteweg-de Vries (mKdV)方程和Kadomtsev-Petviashvili (KP)方程为例, 分别介绍了对应非线性系统与B?cklund变换相关的非局域对称、非局域留数对称与Darboux变换相关的非局域对称. 通过引入3个辅助变量, 将KP方程与Darboux变换相关的非局域对称局域化为Lie点对称. 运用对称约化方法简单概述了KP方程的相似约化解, 其中包括孤立子和Boussinesq波相互作用解、孤立子和KdV型波相互作用解以及非均匀背景下的单孤立波解.     

一个(3+1)维非线性偏微分方程的有限对称变换群和精确解

基于符号计算与对称群直接法研究了一个(3+1)维非线性偏微分方程 的对称群与精确解, 获得该方程的李点对称群和非李对称群. 最后通过广义射影 展开法研究方程的精确解, 并由获得的有限对称变换群构造了相应新的一般解.     

一个3＋1维非线性发展方程和Maccari系统的对称群及精确解

利用广义对称群方法和符号计算,首先得到了一个3＋1维非线性发展方程和Maccari系统的李群以及非李对称变换群,然后利用它们求出的对称群以及一些简单的种子解构造出新解．     

相空间中的Noether定理及其应用

从修改的哈密顿变分原理出发导出相空间的 Noether 定理,对正则拉氏量系统,分析该系统在相空间中的对称性质,可导出其相应的守恒量,而这种相空间中的对称性质在位形空间中常常又是不呈现出来的.对奇异拉氏量系统,该系统具有 Dirac约束,我们分析了约束系统的对称性质,讨论了 Dirac 猜想是否有效.