从三角形一边中点引一条直线截三角形与原三角形相似的问题探究

在学习了相似三角形之后,学生碰到了这样一道问题. 在△ABC中,AB＞AC＞BC,D是BC的中点,过D作直线l,使截得的三角形与原三角形相似,这样的直线l有___________条. 在这道题目中,不论学生作得的△ABC是锐角、直角还是钝角三角形,答案都是4条.理由如下:如图1,△ABC是锐角三角形,AB＞AC＞BC,过BC中点D作DE1∥AC,DE2∥AB,则△E1BD、△E2DC与原三角形相似.此外,若要形成“错A形”相似,需使∠CDE3=∠A,由于AC＞ BC,所以∠B＞∠A,又由于∠B=∠CDE2,故∠CDE2 ＞∠CDE3,即E3在线段CE2上,故一定可在三角形内部作得△DE3C∽△ABC.另由于AB＞BC,所以∠C＞∠A,又由于∠A=∠DE1B,故若要使∠C=∠DE4B,则∠DE4 B＞∠DE1B,即E4在线段BE1上,故一定可在三角形内部作得△DBE4∽△ABC.所以,从任意非特殊锐角三角形最短边中点出发,可作4条直线截三角形与原三角形相似.     

锐角三角形的两个有趣性质

性质1如图1,在锐角△ABC中,AB>AC>BC,点O、H分别是三角形的外心和垂心,则∠OAH+∠OCH=∠OBH.证明延长AH、BH、CH分别交BC、AC、AB于点D、E、F,∵点H是△ABC的垂心,显然AD、BE、CF是△ABC的三条高,于是易证B、C、E、F四点共圆,     

一个平几定理的应用

定理两个三角形中,若有一对角相等,另一对角互补,则相等角对应边的比,等于互补角对应边的比。已知。△ABC和△A＇B＇C＇中,∠B=∠B＇,∠C+∠C＇=180°。求证:AB/A＇B＇=AC/A＇C＇. 证明不失一般性,设∠C为锐角,则∠C＇为钝角。作AD⊥BC交BC于D.A＇D＇⊥B＇C＇交B＇C＇的延长线于D＇.则△ABD∽△A＇B＇D＇,AB/A＇B＇=AD/A＇D＇又∠C=∠A＇C＇D＇.则△ADC∽△A＇D＇C＇.AC/A＇C＇=AD/A＇D＇∴AB/A＇B＇=AC/A＇C＇.     

构造全等 解联赛几何题

<正>2017年全国初中数学联赛四川初二初赛第11题难度不大,图形简洁,但解法众多.下面用多种构造全等的方法求解这道题,供大家参考.题目如图1,在△ABC中,D是BC边上的一点,E是AD上的一点,且AD=DC,∠DEC=∠ABC,求证:AB=CE.解法一如图1,在BC上取一点F,使AF=AD.则∠1=∠2,可得∠3=∠4,又∠ABC=∠DEC,AF=AD=CD,故△AFB≌△CDE,     

一道课本例题的引申及其应用

现行初三《几何》教科书 (人教版 )P79有一道例题 :例 1　如图 ( 1 ) .AD是△ABC的高 ,AE是△ABC的外接圆直径 .求证 :AB·AC =AE·AD .证明 :连结BE .∵∠ADC =∠ABE =90° ,　∠C =∠E ,∴△ABE∽△ADC .∴ AEAC=ABAD.∴AB·AC =AE·AD .此题揭示了三角形的一条重要性质 :三角形的两边的积等于第三边的高与其外接圆直径的积 .它为我们提供了一个很好的研究素材 .将其引申推广如下 :如果D点在线段BC上 ,点E在BC上运动 ,但仍保持∠BAE =∠DAC ,那么在这运动过程中△ABE与△ADC相似仍成立 .于是 ,仍有 :AB·AC…     

三角形等角共轭点的一个有趣性质

文 [1 ]给出如下有趣恒等式 :设 P、Q是△ ABC的等角共轭点(∠ PAB =∠ QAC,∠ PBC =∠ QBA,∠ PCB =∠ QCA) ,则有AP . AQAB . AC BP . BQAB . BC CP . CQAC . BC=1 ( 1 )今给出 ( 1 )式的如下不等式推广 :命题　设 P、Q是△ ABC内任意两点 ,则AP . AQAB . AC BP . BQAB . BC CP . CQAC . BC≥ 1 ( 2 )等号当且仅当∠ PAB =∠ QAC,∠ PBC =∠ QBA,∠ PCB =∠ QCA时成立 .证明　如图 1 ,顺次以 BC,CA,AB为对称轴 ,作△ PBC,△ PCA,△ PAB的对称三角形△ A′BC,△ B′CA,△ C′AB.连结A…     

莫利定理的简洁证明

莫利定理　任意三角形每两个内角相邻的三等分角线的交点构成正三角形 .证明　如图 1,在任意△ ABC内部构造△ BDC,使∠ DBC =∠ B3,∠ DCB =∠ C3,又作△ BDF,使∠ DBF =∠ B3,∠ BDF =6 0° ∠ C3,使 DF交 BF于 F,作正△ DFE,则∠ EDC =6 0° ∠ B3.又连结 EC,分别延长BD与 C     

三角形等角共轭点的一个有趣性质

本文将给出三角形等角共轭点的一个新性质,即命题　设P、Q是△ABC的等角共轭点(∠PAB=∠QAC,∠PBC=∠QBA,∠PCB=∠QCA),则有AP.AQAB.AC BP.BQBA.BC CP.CQCA.CB=1.证明　如图1,设D是射线AQ上的点,且使得满足∠ACD=∠APB.因为∠APB>∠ACB,则点D必在△ABC的外部.又因∠PAB=∠CAD,∴　△ABP∽△ADC.图1故　　　ABAD=APAC=BPCD.1又　∠QAB=∠PAC,ABAD=APAC,可知　△ABD∽△APC,于是　　　　ABAP=ADAC=BDCP.2又因为∠CDA=∠PBA=∠QBC,所以可知有B、Q、C、D四点共圆.由托勒密(Ptolemy)定理…     

圆内接三角形的一个性质

设I为△ABC的内心,射线A I、B I、C I与△ABC的外接圆分别交于点D、E、F,EF与AD交于点P,DF与BE交于点M、DE与CF交于点N,则I是△PMN的内心.图1证明连结AF(如图1),∵∠1=∠4,∠2=∠5,∴∠1 ∠2 ∠3=∠4 ∠5 ∠3.∵内心是三角形三条内角平分线的交点,∴∠4 ∠5 ∠3=90°即∠1 ∠2     

构造全等三角形解题举例

<正>本文介绍用构造全等三角形的"方法"解决与图形有关的计算、求值、判断推理等问题.一、构造全等三角形"证明等边等角".例1如图1,在△ABC中,∠B=2∠C,BC=2AB,AD为中线.求证:△ABD是等边三角形.分析与思考如图1,作∠ABC的平分线BE,连接DE.因为∠B=2∠C,于是∠EBD=∠C.由"等角对等边"得知BE=CE.但AD为中线,所以BD=CD.所以在△BDE与△CDE中,BE=CE,BD=CD,ED=ED,所以△BDE≌△CDE.这样∠BDE=∠CDE=90°.在△BAE与△BDE     

一道竞赛题的多种解法

<正>原题如图1,在△ABC中,∠C=90°,∠CAD=30°,AC=BC=AD,求证:CD=BD.分析本题中,易知∠CAB=∠CBA=45°,结合∠CAD=30°可以求出一系列角的度数.同时,要充分挖掘三条相等线段的特殊关系,寻找恰当的全等三角形,而辅助线则成为该题解决的一个关键.     

浅谈共边共角三角形解题模型

<正>本文介绍一种相似三角形中常见的解题模型——"共边共角"三角形.新人教版教材数学九下第35页例2:如图1,Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8,E是AC上一点,AE=5,ED⊥AB,垂足为D;求AD的长.分析由∠A=∠A,∠C=∠EDA容易证得△AED∽△ABC,再根据相似三角形对     

一道IMO备选题的推广

IMO - 1979备选题 (由荷兰提供 ) :在等边△ ABC内取点 K、L、M,使得 :∠ KAB =∠ L BA =15°,∠ MBC =∠ KCB =2 0°,∠ L CA =∠ MAC =2 5°,求△ KL M的三内角 .图 1笔者最近研究发现可将此题作如下推广 :定理　如图 1,在等边△ ABC内取点 K,L ,M,使得∠ KAB =∠ LBA=α,∠ MBC=∠ KCB =β,∠ L CA =∠ MAC=γ,且α +β +γ =60°,则∠ L MK =3α,∠ ML K =3β,∠ MKL =3γ.证明　如图 1,延长 AK、AM分别交 BC于点 P、Q,又连结 PM、QK,则∠ PBM =∠ PAM =β　 　点 P、M、A、B共圆　 ∠ MPA =∠ M…     

由射影定理产生的联想

射影定理,如图1,在△ABC中,∠ACB=Rt∠,CD⊥AB,则, (1)∠1=∠B=90°-∠A;(2)△ACD∽△ABC;(3)AC~2=AD·AD……联想:如图2,任意△ABC,如果∠1=∠B,是否有△ACD∽△ABC,AC~2=AD·AB? 很容易证明结论是成立的。     

构造全等证角相等的若干方法

在平几中,证明两个角相等的方法较多.本文介绍一例“构造全等三角形”的证明方法.例已知:如图1,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,M是AC的中点,CE⊥BM于E,延长CE交AB于D.求证:∠CMB=∠AMD.分析:此题有两个基本图形,一个是Rt△ABC,其中AC=BC,∠A=∠ABC=45°,∠ACB=90°;另一个是Rt△M     

三角法简证一道奥赛题

<正>(2021年欧洲女子数学奥林匹克第3题)对于钝角△ABC,∠A为钝角,E,F分别为∠A的外角平分线与顶点B,C关于△ABC的垂线的交点,M,N分别为线段EC,BF上的点,满足∠EMA=∠BCA,∠ANF=∠ABC．证明:E,N,M,F四点共圆．该题主要考查三角形垂心,圆的割线定理及四点共圆的判定等知识点．     

三角形的Brocard点的两个特征性质

设Ω为△ ABC内一点 ,若∠ BAΩ =∠ CBΩ =∠ ACΩ ω(如图 1 ) ,则称Ω为△ ABC的 Brocard点 ,ω为图 1△ ABC的 Brocard角 .名著 [1 ]记载了三角形的Brocard点与其 Brocard角的一系列性质 .本文旨在揭示三角形的 Brocard点的两个特征性质 .下面的讨论中 ,a、b、c、△分别表示△ ABC的三边长和面积 .定理 1　设 D、E、F分别为△ ABC的三边 BC、CA、AB上的点 ,则 AD、BE、CF三线共点于△ ABC的 Brocard点的充分必要条件是　 BDDC=c2a2 ,CEEA=a2b2 ,AFFB=b2c2 .证明　 (必要性 )设 AD、BE、CF三线共点于△ ABC…     

过三角形的顶点作对边的平行线

<正>在学习三角形的内角和定理时,如图1,过顶点A作BC的平行线MN,则有∠MAB=∠B,∠NAC=∠C,由于平角等于180°,从而∠MAB+∠BAC+∠CAN=180°.即∠B+∠A+∠C=180°.这条过△ABC的顶点A且平行于对边BC的辅助线,起到转移、集中的作用,非常简洁地证明课本中最重要的一个定理.从此以后,课本中再也没有添加如此的辅助线证明其它定理.我们采用此方法证明两个重要定理和解几个问题,展示它的力量.     

三角形全等(上)

<正>定义△ABC与△A_1B_1C_1中,若AB=A_1B_1,BC=B_1C_1,CA=C_1A_1,∠ABC=∠A_1B_1C_1,∠BCA=∠B_1C_1A_1,∠CAB=∠C_1A_1B_1.则称△ABC与△A_1B_1C_1合同(全等),△ABC与△A_1B_1C_1全等,记为△ABC≌△A_1B_1C_1.两个三角形全等的判定:三角形全等的判定定理1如果一个三角形的两边和夹角,与另一个三角形的两边和夹角对应相等,则这两个三角形全等.简记为     

一组边与中线关系等式

说到三角形的边与中线的相互关系,我们就会想到阿波罗尼斯(Apollonius)定理:设AD为△ABC中BC边上的中线,则 2(AB~2 AC~2)=BC~2 4AD~2 阿氏定理虽然揭示了三角形的一条中线与三边间的内在联系,并有很大的实用价值。但遇某些实际问题时仍有一些不便。如已知三条中线求三角形的某边;已知两边上的中线及第三边求其他两边等。在阿氏定理的基础上,我们有三角形的边与中线的几个新关系式。定理已知a、b、c分别为△ABC的∠A、∠B、∠C