用极坐标考虑与离心率有关的圆锥曲线问题

圆锥曲线许多问题都与离心率有关，在讨论这些性质时，一般都习惯在直角坐标系下分别对椭圆、双曲线和抛物线进行讨论，显得比较繁琐．我认为对这类问题比较适合从极坐标角度来考虑．原因是圆锥曲线有统一的极坐标方程ρ=ep/1-ecosα，既包含有离心率e，又可以避免对椭圆、双曲线和抛物线分别进行讨论的麻烦。     

圆锥曲线的一个有趣性质

最近笔者对椭圆和双曲线作了些研究 ,得到了一个十分有趣性质 .定理 1　设P是椭圆b2 x2 +a2 y2 =a2 b2 (a>b>0 )上的一点 ,E、F是左 ,右焦点 ,A ,B是左 ,右顶点 ,∠EPF =2α ,∠APB =β,e是离心率 ,则e=- 2cotαcotβ α∈ 0 ,π2 ,β∈ π2 ,π ,(其中yP ≠ 0 ) .图 1证明　对于△PEF ,由题设及椭圆焦点三角形的面积公式知S△PEF =b2 ·tanα .另一方面 ,S△PEF =12 ｜EF｜·｜yP｜ ,从而b2 tanα=c｜yP｜ ,故 ｜yP｜=b2ctanα①对于△APB ,不妨设点P(x ,y)在x轴上方 ,如图 1 ,由两条直线所成的角的公式得tanβ=kPB -kPA1 +…     

一个换算关系的完善

本刊文 [1 ]给出了如下一个不完善的“定理” :设ＡＢ是圆锥曲线过焦点Ｆ的弦 ,其长度记作ｄ ,ＡＢ相对于焦点所在对称轴的倾角为θ(θ≠90°) ,ｔａｎθ =ｋ,ｅ为离心率 ,ｐ为焦点到相应准线的距离 ,则有ｄ与ｋ的关系式 :ｄ=2ｅｐ(1 +ｋ2 )(1 +ｋ2 ) -ｅ2 或ｋ2 =ｅ2 ｄｄ-2ｅｐ-1 .现用此“定理”解下面一例 .求过双曲线ｘ2 -ｙ23 =1的焦点且斜率为 35的直线被此双曲线截得的长度 (文 [1 ]例 3改编 ) .解　因为ａ=1 ,ｂ =3 ,ｃ=2 ,故ｅ =2 ,ｅｐ=ｂ2ａ =3 ,ｋ =35 .由文 [1 ]“定理”得ｄ=2 ·3 (1 +35 )(1 +35 ) -2 2 =-4.线段ＡＢ的长度…     

一个圆锥曲线统一性质的变式探究

文[1]给出如下结论:结论过椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的一个焦点F作不垂直于坐标轴的直线l,交椭圆于M、N两点,MN的中垂线交x轴于点D,则|DF|/|MN|=e/2.(e为椭圆的离心率.)接着,文[1]将结论推广到双曲线和抛物线中,从而得出一个圆锥曲线的统一性质.     

圆锥曲线的一个重要性质及应用

众所周知,圆锥曲线的离心率ｅ是用来刻画圆锥曲线形状的一个重要特征量,不同的圆锥曲线有着不同的离心率;椭圆型圆锥曲线　０＜ｅ＜１抛物线型圆锥曲线　ｅ＝１双曲线型圆锥曲线　ｅ＞１笔者通过研究发现,圆锥曲线还存在着一个与离心率ｅ相类似的重要性质;为了叙述方便,首先给出一个定义;定义１：过圆锥曲线内接三角形的三个顶点的三条切线所围成的三角形称为圆锥曲线的切线三角形;定理：圆锥曲线的内接三角形面积与对应的切线三角形面积之比记为△,则（Ⅰ）椭圆型圆锥曲线　０＜△＜２（Ⅱ）抛物线型圆锥曲线　△＝２（Ⅲ）双曲线…     

球的点射影与圆锥曲线

文 [1]给出了我们生活中一个现象的有趣结论与巧妙证明 :放在水平地面上的篮球在太阳光 (平行光源 )的斜照射下 ,其影子是一椭圆 ,而且篮球与地面的切点始终是该椭圆一焦点 ,与光线垂直的篮球大圆所在面与水平地面的交线 ,也正好是该焦点所对应的该椭圆一准线 ,同时 ,该椭圆离心率为光线与地面成角α的余弦值 .文 [1]作者用椭圆定义 ,一步证得上述四个连带有趣结论 .　　读后令人感到兴奋 ,对证明的简捷拍案叫绝 .本人通过研究 ,联想到平面截圆柱面可得到圆或椭圆 ,平面截圆锥曲面可得到四种圆锥曲线 .于是得出 :篮球在附近点光源的照射下 ,…     

介绍一组优美的圆锥曲线焦半径公式

我们通常把圆锥曲线上的点P与圆锥曲线的焦点F的连线段PF称为圆锥曲线过点P的焦半径.在解答有关圆锥曲线涉及焦点的问题时,经常需要计算焦半径的长,且"工程量"往往较大;如何简化其计算过程,缩短解题长度是大家共同的心愿.本文介绍一组优美的求圆锥曲线焦半径的计算公式,供大家参考.     

圆锥曲线的一个有趣性质及若干推论

圆锥曲线是一类美丽、实用的曲线 ,它有许多内涵丰富、引人入胜的性质 ,本文将笔者在研究圆锥曲线中所得的一点成果 (圆锥曲线的一个有趣性质 )奉献出来与读者共赏 .1　几个结论以下分椭圆、双曲线、抛物线三种情形 ,介绍几个结论 .定理 1　给定椭圆x2a2 + y2b2 =1 (a >b>0 ) ,M(m ,0 ) (m≠ 0 ,m≠±a)是x轴上的一定点 ,直线l:x=a2m,过M任意引一条直线与椭圆交于A ,B两点 ,A ,B在l上的射影分别为A′,B′,在x轴上的射影分别为A″,B″,则｜AA′｜｜AA″｜ =｜BB′｜｜BB″｜.图 1定理 2　给定双曲线 x2a2 - y2b2 =1 (a >0 ,b>0 ) ,其…     

有关圆锥曲线的四组结论及其应用

圆锥曲线是高中数学的主干知识,是高考的重点和热点,但解题时一般由于运算量大、过程复杂,使学生望而生畏,是学生学习的难点.笔者在教学实践中发现,以下有关圆锥曲线的四组结论不仅结构优美,便于记忆,而且在应用中,计算量小,优化了计算过程,降低了思维难度,有利于培养学生的解题能力.结论一经过横向型圆锥曲线的焦点F作倾斜角为目的     

圆锥曲线离心率的本源探究

离心率是圆锥曲线最主要的参数之一,用它不仅可以判定圆锥曲线是椭圆、双曲线还是抛物线,还可以大致判定椭圆的扁平程度和双曲线的开口大小,在现行的教材中,我们只知道离心率e是指圆锥曲线上任意一点到焦点的距离与到相应准线的距离之比。对椭圆和双曲线     

圆锥曲线的一个性质

笔者在圆锥曲线性质的探索过程中发现一个性质,现呈现如下结论1 如图1,过双曲线C:x2/a2-y2/b2=1(a＞0,b＞0)的右准线x=a2/c与x轴的交点P作双曲线C的割线交于A,B两点,如双曲线离心率为e,焦准距为p,右焦点为F,∠AFB =θ,直线AB的斜率为k(k＞0),则k=ecosθ/2.     

圆锥曲线三宝 彰显齐聚之妙

椭圆、双曲线和抛物线是圆锥曲线的吉祥三宝,在历年的高考试卷中,基本是你方唱罢我登场,轮番上阵,精彩迭出,但每年高考之后,解析几何试题给人的感觉往往是厚重有余,创新不足.如何推陈出新是高考命题者所要面对的一道难     

多思维切入，妙方法解决——一道椭圆与双曲线共焦点问题的探究

共焦点的圆锥曲线问题,以焦点为公共信息,合理串联起不同圆锥曲线之间的关系,是综合应用问题的一大创设场景.本文结合一道高考模拟题,以共焦点的椭圆与双曲线为场景,不同思维视角切入,不同技巧方法应用,不同变式视角拓展,以期引领并指导数学教学与复习备考.     

圆锥曲线的一个新性质

笔者最近通过探究,发现圆锥曲线的一个新性质.即性质已知直线l是圆锥曲线Γ的焦点F对应的准线,过l上一点P作曲线Γ两条切线PA,PB,A,B为切点,过PF的中点D且平行于直线l     

圆锥曲线准圆的一个性质及推广

准圆是圆锥曲线的两条互相垂直的切线交点的轨迹,由于是法国数学家Gaspard Monge首先发现的,所以又叫"蒙日圆".笔者研究发现,圆锥曲线的准圆有一个非常美妙的性质.     

关注圆锥曲线中的三类弦问题

圆锥曲线的弦是考查直线与圆锥曲线的位置关系的重要知识背景,因此抓住圆锥曲线的有关特征弦,是解决这类问题的关键,圆锥曲线中主要以焦点弦、原点弦、中点弦等进行考查,下面采撷六例予以分类解析,旨在探索题型规律,揭示解题方法.