构造“K型图”速解题

<正>翻开2013年全国各地中考数学试卷,以"K型图"为载体的中考试题频频出现,精彩纷呈.此类问题综合性强,且带有一定的难度.实际解题时,若能把握图形本质,排除图形干扰,在复杂的图形中构造出"K型图",写出图中的一对相似三角形,然后根据相似三角形的有关性质列出所需的比例式,则能化难为易,快速解题.现举几例,供同学们学习时参考.     

“望海岛”一题解题方法推广

<正>"望海岛"是《海岛算经》一书中的第1题,《海岛算经》的作者刘徽是我国著名数学家."望海岛"是一道有关于直角三角形相似的测量问题,但是当时我国并没有相似三角形的相关知识,因此我国数学家另辟蹊径,通过构造图形,应用余形定理得到"相似勾股形对应勾股成比例"这一结论,这种方法在《初等数学史话》一书中称为"等面积法",但是"等面积法"只能应用于直角三角形吗?在一般的三角形中可以通过构造平行四边形得到"相似三角形对应边成比例"这一结论吗?下面将针对这些问题进行讨论.     

“三点定形”寻找相似三角形

证明线段成比例或等积式常用的方法是利用相似三角形.其基本思想是:先找出与所证的比例式中的线段有关的两个三角形,然后设法证明这两个三角形相似.因此正确寻找并证明相关的两个三角形相似是解决这类问题的关键.如何由比例式找出相关的三角形,这是同学们感到比较困难的问题.为了帮助同学们解决这一难点,本文介绍一种常用的方法——“三点定形法”.     

例说相似三角形的综合运用

<正>对于两个图形若其中一个图形可以通过放大或缩小(放缩变换)得到另一个图形,则称这两个图形为相似形.相似三角形有许多性质,如:我们把相似三角形对应边的比称为这两个相似三角形的相似比,那么相似三角形的周长比等于相似比,相似三角形的面积比等于相似比的平方等.与相似三角形有关的中考试题往往综合性、技巧性较强,需要考生综合分析并熟     

应用补形法解几何题

在有些几何问题中,常通过在原图形上添加辅助线,把其补成一个新的特殊的几何图形,如等边三角形、正方形、矩形、圆等.利用这些特殊的新图形的性质来求出原图形的有关结果的方法称为补形法,往往会使解法简捷明快,下面举例说明. 例一如图1,已知在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,∠A=135°,AD=2 3,BC     

2013年中考专题复习(10)——“图形相似”

相似图形是常见的一种几何图形.图形相似是在学习图形的全等及全等三角形的知识的基础上,进一步研究学习的另一种几何图形知识,是全等知识的延伸和发展.其包含图形的相似、相似三角形、位似等知识.纵观近几年来各省市中考数学试题,主要是考查相似三角形的相关知识.题目设计新颖,灵活多样,既注重考查相似三角形用,又有判定和性质的直接应推     

利用“K”型图解题

<正>同学们,"K"型图是我们在学习全等和相似中经常遇到的图形.什么是"K"型图呢?如图1像不像一个大写的英文字母"k".我们把这种图形和它衍生出的图形统称为"K"型图.在平时的考试题和中考题型中频繁对这种题型进行测试,今天老师带大家对这种图形进行分析和研究.     

例谈连体双胞胎图形在解题中的应用

<正>相似三角形判定定理:平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似.如图1,△ABC∽△ADE,上图我们俗称A型图.如果我们规定:(1)公共顶点A称为连体点,(2)△ABC和△ADE称为连体三角形,(3)∠BAC=∠DAE称为连体角,(4)具有连体点的边AB、AC、AD、AE称为连体边,AB与AD、AC与AE称为连体对应边.(5)以连体点为旋转中心,将连体图形旋转分     

对黄金三角形教学潜能的挖掘——一堂数学思维活动课教学实录

顶角为 3 6°的等腰三角形称黄金三角形 ,它以其优美的图形和奇特的性质出现于初中几何教材 :黄金三角形的底与腰之比等于黄金数ω(ω=5 -12 ) .以黄金三角形的底为腰所作的黄金三角形与原三形的相似比等于ω;以黄金三角形的腰为底所作的黄金三角形与原三角形的相似比等于 1ω( 1ω=5 12 ) .笔者在数列、数学归纳法单元教学中 ,借助于黄金三角形的上述性质 ,引导学生运用观察、归纳、猜想、论证的思维操作方法 ,构建两个著名数列—— Fibonacci数列和 Lucas数列 ,完成了一次对数学知识的探索、发现过程 .设黄金三角形 ABC的腰 AB=1,则底…     

一个基本图形的应用

<正>等腰三角形的两底角相等这一特征容易构造相似三角形.笔者试图将等腰三角形的一类典型相似情形及其应用进行说明,使读者通过相似图形之间的灵活转换,体会其中的"转化"思路.基本情形如图1-1,在等腰     

“变与不变”、“多变归一”地探究“旋转”三角形

一、引言 旋转变换在初中数学图形与几何内容中占有非常重要的地位,它贯穿在相交线、三角形、四边形、圆等几乎所有重要的几何内容之中.新课标中也提到:"让学生经历探索物体与图形的旋转变换过程并掌握图形旋转变换的基本性质".近年来,有关旋转变换的几何问题不断地在中考题中呈现,尤其是在特殊三角形的几何问题中更为突出.而在特殊三角形的几何问题中加入了"旋转"这一因素之后,能让题目变得格外有魅力和活力.笔者整理了2012年各地中考试卷中的部分有关特殊三角形旋转型中考题,进行赏析.赏析之后总结归纳出了一些教学启示,意在抛砖引玉.     

“爪形”三角形的常用解法

<正>三角形中的一个顶点与对边上一点连线得到的图形通常叫做“爪形”三角形．近两年,2021年新高考卷Ⅰ,2022年全国甲卷考查了“爪形”三角形,2023年在新高考卷Ⅰ、新高考卷Ⅱ、全国甲卷理科和全国乙卷理科都考查了“爪形”三角形,这种题型已成为全国高考数学卷中的热点．从单一的三角形到“爪形”三角形,解三角形的题目也随之从单一到复合,突出对正弦定理、余弦定理、三角形面积公式以及三角恒等变换等基础内容的考查;与平面几何内容的综合,增强了考查的综合性．虽然考查难度虽仍属中等,但综合性变强,求解方法更加灵活多样．下面介绍求解此类问题的常见思路与方法．     

“8字型”的简单应用

学生在做全等三角形的有关问题时,往往被纷繁复杂的图形弄得无所适从,不知从何下手.俗话说"再高的楼房也是由一砖一瓦砌起来的",其实,在证明时,我们要充分发掘全等三角形中的基本图形,只要能从复杂的图形中找出基本图形,运用基本方法,我们就能化繁为简,化难为易.在图1中,线段AB、CD相较于点O,连接AC、BD,可得结论:∠A+∠C=∠B+∠D,我们把如图1的图形称之为"8字形".这种基本图形,常见于     

补形法应用三则

<正>本文列举的习题均有别的解法,当中不乏个别解法更简洁,笔者只是从对补形法的理解做个尝试.补形法是通过适当添加辅助线,将不规则或不熟悉的图形补成相对规则的、熟悉的图形,凸显结论与条件之间的关联,延展思考的空间,进而形成解题思路.一、补出三角形题1如图1,已知3个边长相等的正方形相邻并排,求∠ABC+∠DBC的度数.     

一道习题的延伸

旋转既可以表示物体(图形)运动的过程,也可以表示物体(图形)运动后最终的位置与原先位置的关系,在数学中被称为图形的一种变换.在学习旋转的过程中,同学们要主动参与实践操作去体验感受旋转的意义与旋转的特征,会从旋转的角度去思考有关图形的数学问题.下面让我们从一道习题的延伸过程去体验一下旋转中图形的形成过程.例1画一个三角形,使通过这个三角形的旋转得到一个正三角形,并指出这是一个什么三角形,旋转中心和每次旋转的角度,需要旋转多少次才能完成这个图形?①分析:这个题目给了我们一个由三角形制作正三角形的方法.②解:如图(1),给出…     

一个相似模型及其应用

在学习三角形相似时,大家都很熟悉A型相似图形(图1)和X型相似图形(图2).直接应用或者从复杂的图形中分离出它们,可以有效提高解题的效率快速抓住问题的解决思路.     

2012年中考专题复习(9)——“图形相似”

一、中考内容要求1.了解比例及基本性质,线段的比、成比例线段,黄金分割;2.认识图形的相似,探索相似图形的性质,两个三角形相似的条件,能够利用相似解决实际问题;3.了解图形的位似,能够利用位似放大、缩小图形.二、考法分析这部分内容的考法以基础题为主,特点有:(1)直     

“奔驰定理”及其应用

<正>"奔驰定理"揭示的是平面向量与三角形面积之间所蕴含的一个优美规律,并因其图形与奔驰的logo相似而得名.下面谈一下该定理及其应用,供大家参考.1"奔驰"定理     

例谈三角形“相似分割”问题

<正>一、问题背景苏科版八年级数学(下册)第123页有这样一道探索研究问题:"如图1,有两个分别涂有黄色和蓝色的△ABC和△A′B′C′,其中∠C=∠C′=90°,且两个三角形不相似.问:能否分别用一条直线分割这两个三角形,使△ABC所分割成的两个黄色三角形与△A′B′C′所分割成的两个蓝色三角形分别对应相似?如果能,请设计出分割方案;如果不能,请说明理由."图1学生初次接触这种相似分割问题时无从下手,笔者立足此题设计有层次的四个问题,帮助学生初步掌握三角形相似分割的一些基本方法,学会有目的、有条理地分析问题.     

学好相似三角形性质的四条建议

相似三角形具有下列性质:相似三角形的对应线段(对应边、对应中线、对应高、对应角平分线)的比等于相似比,相似三角形周长的比等于相似比,相似三角形面积的比等于相似比的平方.怎样才能学好用好相似三角形的性质呢?在这里笔者给同学们提"四条建议",希望会对你的学习有所帮助.一、能从已知图形中找出两个三角形相似,从而再利用性质有些问题的解决需要利用相似三角形的性质,这时要能从图形中找出相似三角形,才