Rappresentazione integrale delle soluzioni in un angolo delle equazioni a derivate parziali in due variabili a coefficienti costanti

Summary A homogeneous polinomial in two independent variables and with constant complex coefficients is given, and the equation Q(D ₁ , D ₂ )u=f is studied for C^∞ functions defined from the angular region Λ=R ₊ ² \{(0, 0)} into a Banach space B. Solutions u(x) of the equation are considered, which satisfy with all their derivates asintotical conditions fixed for |x| →0 and |x| →+∞. By using Mellin's trasform, in classical sense, an integral rapresentation of such solutions is found. The following ipothesys is only required ? Every characteristic straight line of the operator Q(D ₁ , D ₂ ) has empty intersection with Λ ?.

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Entrata in Redazione il 9 ottobre 1971.

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Lavoro eseguito con finanziamento del C.N.R. nell'ambito della attività del Gruppo di Analisi Funzionale.     

Teoremi merceriani relativi a trasformazioni regolari non negative e anche più generali

Sunto Ad una successione (complessa) |s_n| associamo la successione trasformata |t_n| mediante una matrice di sommazione regolare C; sono noti teoremi merceriani (per es.G. H. Hardy, E. R. Love) che dalla relazione s_n — qt_n → (1 — q)l deducono s_n → l, sotto la condizione che il moltiplicatore q sia interno a determinati campi In questa NOta si considera C regolare non negativa e, mediante l'introduzione di un' opportuna ? funzione di aderenza di un insieme in un altro ? e l'applicazione del classico teorema del ? nocciolo ? diK. Knopp, si determinano campi più ampi di quello circolare stabilito daE. R. Love; si estende il risultato anche a matrici C regolari più generali mediante teoremi più recenti diR. P. Agnew eA. Robinson; inoltre si perfeziona il classico teorema diJ. Mercer-G. H. Hardy.

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Summary Let |t_n| be trasformed, by a regular summation matrix C, of a (complex) sequence |s_n|. Mercerian theorems (e. g. G. H. Hardy, E. R. Love theorems) deduce s_n → l from s_n — qt_n → (1 — q)l if q lies in a suitable domain. This paper is concerned with regular non-negative C. A suitable ? adherence-function of a set into another ? is introduced and theKnopp's ? Core theorem ? leads to wider domains thanE. R. Love circle. The result is extended to more general regular matrices C by means ofR. P. Agnew andA. Robinson theorems. The classicalJ. Mercer-G. H. Hardy theorem is also improved.

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A Giovanni Sansone nel suo 70^mo compleanno.

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Il presente lavoro è stato oggetto di una comunicazione al VI Congresso Nazionale della Unione Matematica Italiana (Napoli, 11–16 settembre 1959).     

Sistemi parabolici del secondo ordine,non variazionali,a coefficienti discontinui

Riassunto Nel cilindroQ=Ω×(0,T) si considerano sistemi parabolici (E+ϖ/ϖt) di forma non variazionale e con coefficienti discontinui, e si dimostra un teorema di isomorfismoW ₀ ^p (Q)→L ^p (Q;R ^N ) e un teorema di regolarità locale negli spazi di Morrey.

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Summary In the cylinderQ=Ω×(0, T) we consider parabolic systems (E+ϖ/ϖt), in non variational form and with discontinuous coefficients, and we prove an theorem of isomorphismW ₀ ^p (Q)→L ^p (Q;R ^N ) and an theorem of local regularity in the Morrey’s spaces.

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Lavoro eseguito nell’ambito del gruppo G.N.A.F.A. del C.N.R.     

Equazioni ellittiche non variazionali a coefficienti continui

Riassunto Si considera un'equazione ellittica non variazionale a_aD^au=f a coefficienti continui in un apertogW di ℝⁿ e si dimostrano certe proprietà locali delle soluzioni forti dell'equazione medesima nell'ipotesi che f appartenga allo spazio di Morrey L ^2,λ(Ω) o allo spazio di John-Nirenberg ℰ(Ω). Analoga indagine è svolta supponendoΩ=ℝ ₊ ⁿ e supponendo che u verifichi sull'iperpiano x_n=0 condizioni di Dirichlet omogenee. Ricerca svolta nell'ambito dei Contratti di Ricerca del Comitato per la Matematica del C.N.R. Entrata in Redazione il 17 febbraio 1970.     

Alcune osservazioni sul prodotto din forme lineari reali non omogenee

Sunto Se d(Λ)μ(ρ) è il minimo non omogeneo, rispetto al punto ρ, del prodotto di n forme reali omogenee, si studia la successione {μ(hρ)} al variare di h intero.

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Summary Let d(Λ)μ(ρ) the inhomogeneous minimum, in the point ρ, of the product of n homogeneous linear real forms. Some results on μ(hρ), for h an integer, are given.

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Lavoro eseguito nell'ambito dell'attività del gruppo di ricerca n^o 40 del Comitato per la Matematica del C. N. R. (1961–62).     

Su alcuni problemi fortemente ben posti di controllo ottimo

Summary Let P_n be a sequence of optimal control problems with fixed end times (described by ordinary differential equations, with pointwise and norm (of controls) constraints, and with general functional). Let P₀ be an ? unperturbed ? problem (of the same type). In this paper theorems are obtained about the strong convergence (in some L^p) of optimal controls of P_n to some optimal control of P₀, about the uniform convergence x_n → x₀ of states, and the property thatmin P_n min P₀. As corollaries, convergence theorems for some calculus of variations problems can be derived. Weak convergence theorems of optimal controls of P_n to an optimal one of P₀ were considered in[7]. A general abstract theorem about strong convergence of minimum points, generalizing a result in[5], is proved.

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Indirizzo dell'autore: Istituto di Matematica, via L. B. Alberti 4 - 16132 Genova. Lavoro eseguito nell'ambito del Centro di Matematica e di Fisica Teorica del C.N.R. presso l'Università di Genova.

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Entrata in Redazione il 4 maggio 1972.     

Moltiplicatori diH 1,2(Ω)

Riassunto In questo lavoro viene studiato l'insieme dei moltiplicatori diH ^1,2(Ω) con Ω aperto diR ⁿ. Nella prima parte vengono analizzate alcune proprietà di struttura dello spazio dei moltiplicatori, nella seconda viene data una caratterizzazione degli elementi di tale spazio.

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Summary In this paper we study the space of multipliers ofH ^1,2(Ω). We give first some general properties of such space, then we give a characterization of its elements.

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Lavoro eseguito nell'ambito dell'attività dei Gruppi di Ricerca del C.N.R. nell'anno 1970.

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L'autore è borsista del C.N.R., contratto No. 115.3059.05177.     

An inverse problem for a quasilinear parabolic equation

Sunto Si considera un problema parabolico sovraderminato in una sola variabile spaziale per l'operatore quasilineare definito da · a₃ o u. Tale operatore contiene un termine incognito a(k {0, 1, 2, 3})del quale si studia la dipendenza dalle condizioni iniziali e alla frontiera. Si determinano due classi, rispettivamente di dati e di soluzioni ammissibili, ed una coppia di metriche rispetto alle quali l'applicazione dati(u, a_k)è lipschitziana. Si mostra infine che tale applicazione si mantiene hölderiana quando le metriche ammesse per i dati sono soltanto del tipo L.

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Lavoro eseguito con contributo del Ministero della Pubblica Istruzione e nell'ambito del Gruppo G.N.A.F.A. del C.N.R.     

Proprietà dello spettro di una classe di operatori lineari ellittici in domini non limitati ed applicazioni a problemi semilineari

Riassunto Nella prima parte del lavoro si prova che in un dominio non limitato, un operatore uniformemente ellitticoL ha, in un’opportuna classeV di spazi funzionali, primo autovalore semplice ed ogni autofunzione ad esso relativa di segno costante. Inoltre si prova un risultato di convergenza deglin-esimi autovalori di una successione di problemi del tipo di Sturm-Liouville. Nella seconda parte tali risultati si applicano allo studio di alcune classi di problemi semilineari del tipoLu=g(x, u)+h(x), u∈V, in cuig(x, s) interagisee in vario modo con lo spettro diL.

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Summary In the first part of our paper we show that the first eigenvalue of an uniformly elliptic operatorL in an unbounded domain is simple and the corresponding eigenfunction does not change sign, in a suitable functional spaceV. In addition a convergence result is proved for then-th eigenvalues of a sequence of problems of the Sturm-Liouville type. In the second part the above results are used to study some classes of semilinear problems of the formLu=g(x, u)+h(x), u∈V, with different choices of the functiong(x, s).

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Lavoro eseguito nell’ambito del Gruppo Nazionale per l’Analisi Funzionale e le sue Applicazioni del C.N.R.

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Lavoro parzialmente eseguito mentre la prima delle autrici si trovava, con contributo C.N.R., presso il Laboratorio di Analisi Numerica dell’Università di Parigi VI.     

Sulla propagazione ondosa in un sistema viscoelastico lineare in presenza di forze di massa

Riassunto Si studia la propagazione ondosa che si determina in un sistema viscoelastico lineare sotto l'azione di assegnate forze di massa e per effetto di prefissate condizioni al contorno. Mediante l'analisi asintotica di una particolare serie di Neumann che interviene nella soluzione, si dimostrapoi l'esistenza di una regione di ?strato limite? pert→∞, in corrispondenza di tempi di rilassamento molto ?piccoli?.

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Summary We study the wave propagation which takes place in a linear-viscoelastic model under the action of prefixed mass forces and of boundary data. The solution of this problem is expressed by means of a particular Neumaun's series. The asymptotic analysis of it shows the existence of a boundary-layer region fort→∞ when very ?small? characteristic relaxation times occur.

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Lavoro eseguito nell'ambito del G.N.F.M. del C.N.R.     

Sulle equazioni ellittiche del secondo ordine a coefficienti continui

Summary It is considered a linear second order uniformly elliptic partial differential equation, where coefficients of second derivatives are supposed uniformly continuous and the other ones belong to suitable L_p classes. I prove some result about existence and uniqueness of the solution of the Dirichlet problem in the space H²(Ω) ∩ H ₀ ¹ (Ω).

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Lavoro eseguito nell’ambito del centro di ricerca di matematica e fisica teorica del Consiglio Nazionale delle Ricerche presso l’Università di Genova.

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Entrata in Redazione il 13 settembre 1970.     

On the index of elliptic partial differential operators inR n

Summary Let A= be an elliptic differential operator inR _u, If, for |α|=l, the coefficients a_α are ? nearly constant ? and, for |α|<l, they tend to zero at infinity with a certain swiftness, it is proved that A is a Fredholm operator with index_x(A)=0 between a suitable weighted Sobolev space M contained in W^l,p (R n) and L^p(R ⁿ, (1+|x|)^lp)== . It is shown, by counterexamples, that the above result, holds only if n>l, p>n/(n−l) and that isomorphism results can be obtained, in general only if the coefficients a_α(|α|<l) are assumed to be ? sufficiently small ? also on compact sets. Then a Sturm-Liouville type problem is studied and a class of negative and falling off at infinity potentials V(x) is constructed in such a way that the Schr?dinger operator H=−Δ+V(x), in L²(R ⁿ), has a zero eigenvalue.

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Sunto Sia un operatore differenziale ellittico inR ⁿ. Se, per |α|=l, i coefficienti a_α sono ? quasi costanti ? e, per |α|<l, tendono a zero all'infinito con una certa rapidità, si dimostra che A è un operatore di Fredholm con indice_X(A)=0 tra un opportuno spazio di Sobolev con peso M contenuto in W^l,p(R ⁿ) ed L^p(R ⁿ, (1+|x|)^lp)== . Si prova, mediante controesempi, che tale risultato è valido solo se n>l, p>n/(n−l) e che teoremi di isomorfismo si possono ottenere, in generale, solo se si assume che i coefficienti a_α (|α|<l) sono ? sufficientemente piccoli ? anche su insiemi compatti. Si studia quindi un problema del tipo Sturm-Liouville e si costruisce una classe di potenziali V(x) negativi e convergenti a zero all'infinito, tali che l'operatore di Schr?dinger H=−δ+V(x) in L²(R ⁿ) abbia un autovalore nullo.

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Entrata in Redazione il 10 agosto 1977.

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Work supported by C.N.R. (G.N.A.F.A.).     

Su una condizione di fattorialità debole e l’annullamento del gruppo di Picard

Summary We give some characterizations of noetherian domains A such that ? every irreducible element generates a primary ideal ?. This condition, called (α)-property, is equivalent to the unique factorization if A is normal or a polynomial ring A=B[T]. If A is a1-dimensional k-algebra, the property (α) is equivalent to the vanishing of some Picard groups asPicA,Pic (A[T, T⁻¹]),Pic (A|T|_s), where S={Tⁿ, n εZ}. We give not trivial examples of (α)-rings which aren’t factorial.

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Entrata in Redazione il 6 febbraio 1976.

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Lavoro eseguito nell’ambito della sezione n. 3 del G.N.S.A.G.A. del C.N.R.     

Equazioni quasi ellittiche e spaziL p, θ (ω, δ) (I)

Summary Regularity theorems inL ^{2, θ} (ω, δ) spaces are proved for weak solutions of quasielliptic differential equations. In particular, regularization results are obtained in the class of holder continuous functions (with respect to a suitable metric related to the operator). As a consequence, we obtain results and estimates in L^p andL ^{p, θ} spaces for the solution of the Dirichlet problem.

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Lavoro eseguito nell’ambito del Gruppo di Ricerca n^o 46 del Comitato per la Matematica del C N.R.     

On minimum problems for families of functionals

Sommario Per una famiglia { | λ ∈ ⁁} di funzionali reali definiti in uno spazio metricoX e dipendenti da un parametro λ ∈ ⁁, dove ⁁ è uno spazio topologico, si pone il problema di come si comporta, al variare di λ, l'insieme dei punti di minimo di I_λ. Lo studio di tale problema è l'oggetto del presente lavoro e il risultato principale è dato dal Teorema1.

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Entrata in Redazione il 3 marzo 1970.     

Un problema di controllo ottimale nel cambiamento di stato in uno strato

Summary In this paper we studied a minimum property for a Stefan-like problem in a slab S. We considered all possible processes of change of state which occur under security conditions in an assigned time interval t_o. We proved that, among these processes the particular one for which the cooling (or warming) temperature f=f(t) is time-independent minimizes the integral . As a consequence, such a process, which occurs in an asigned time interval, minimi zes the external work.

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A Bruno Finzi nel suo 70^mo compleanno

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Lavoro eseguito nell'ambito dell'attività del contratto di ricerca matematica del C.N.R n^o 115.2210.2 (amm. Prof. R. Einaudi) presso l'Istituto Matematico ? U. Dini ? della Università di Firenze, viale Morgagni 67^a.

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Entrata in Redazione il 27 febbraio 1970.     

Le immaginiM-epimorfe di unM-piano

Sunto Un piano proiettivo ordinato π è M-piano se e solo se esistono un suo punto x ed una sua retta X, x ∉ X, tali che: 1) π è (p, P)-transitivo, p ε P, quando e solo quando p ε X e P = p ∪ x; 2) π è (p, P)-semitransitivo se p ε X, p ∉ P, x ε P. Un epimorfismo f: π → π′ è un M-epimorfismo se e solo se f(x) ∉ f(X). In questo lavoro si caratterizzano i piani π′ che si ottengono da un M-piano π mediante un M-epimorfismo; si perviene alla caratterizzazione usufruendo, tra l'altro, della nozione di posto di un sistema cartesiano e della classificazione degli M-piani dovuta aJ. André.

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Summary An M-plane π is an ordered projective plane containing a point x and a line X with x ∉ X such that: (i) π is (p, P)-transitive, p ε P, p ε X and P = p ∪ x; (ii) π is (p, P)-semitransitive for every p ε X with p ∉ P and x ε P. An M-epimorphism is an epimorphism f: π → π′ such that f(x) ∉ f(X). We determine the planes π′ that are M-epimorphic images of a given M-plane π; our results are obtained using, among other things, the concept of a place of a cartesian group, and the classification of M-planes given byJ. André.

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Entrata in Redazione il 1^o agosto 1973.

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Lavoro eseguito con contributo del C.N.R. nell'ambito del ? Gruppo Nazionale per le Strutture Algebriche e Geometriche e loro Applicazioni ?.     

A note on regularity for a class of quasilinear elliptic equations

The following regularity of weak solutions of a class of elliptic equations of the form are investigated.     

Some remarks on the identity between a variational integral and its relaxed functional

Summary Letf: (x, z)∈R ⁿ×Rⁿ→f(x, z)∈[0, +∞] be measurable inx and convex inz. It is proved, by an example, that even iff verifies a condition as|z| ^p≤f(x, z)≤Λ(a(x)+|z|^q) with 1<p<q,a∈L _loc ^s (R ⁿ),s>1, the functional that isL ¹(Ω)-lower semicontinuous onW ^1,1(Ω), does not agree onW ^1,1(Ω) with its relaxed functional in the topologyL ¹(Ω) given by inf

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Riassunto Siaf: (x, z)∈R ⁿ×Rⁿ→f(x, z)∈[0, +∞] misurabile inx e convessa inz. Si mostra con un esempio che anche sef verifica una condizione del tipo|z| ^p≤f(x, z)≤Λ(a(x)+|z|^q) con 1<p<q,a∈L _loc ^s (R ⁿ),s>1, il funzionale , che èL ¹(Ω)-semicontinuo inferiormente suW ^1,1(Ω), non coincide suW ^1,1(Ω) con il suo funzionale rilassato nella topologiaL ¹(Ω) definito da inf

     

Su di un nuovo problema del tipo di Stefan

Summary We study a problem of Stefan in a semi-infinite, homogeneous, thermically isotropic medium, whose initial temperature is position indipendent. Our semi-infinite medium is initially in a well defined state and its surface is maintained at a constant temperature. It is remarkable that an hypothesis is made, which is new in connection with Stefan problems: we suppose in fact the change of state temperature is a function of the position at which the change happens. Finally we study the asymptotic behaviour for t → ∞ of the solution of our problem.

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Lavoro eseguito nell'ambito dell'attività del VI^o Gruppo di Ricerca Matematica del C. N. R. presso l'Istituto Matematico ? U. Dini ? della Università di Firenze.