二元全微分的原函数的求法

设du＝P（x，y）dx＋Q（x，y）dy，称P（x，y）dx＋Q（x，y）dy为函数u（x，y）的全微分，u（x，y）为P（x，y）dx＋Q（x，x）dx的一个原函数。若已知P（x，y）dx＋Q（x，y）dy为某一函数的全微分，如何求u（x，y）呢？今举例说明如下：例求全微分（x＋y）dx＋（x—y）dy的一个原函数。首先注意，在本题中P（x，y）一一函数的全微分，即存在原函数u（x，y），使有du（x，y）＝（x＋y）dx＋（x－y）dy．解法一，简单路径法可选取或为积分路径，即这里取则解法二，微分方程法由前式解得。（x，s）一专x’＋xv＋。s），其中。，）为y的一个…     

关于二元函数的全微分求积中积分路径的选取问题

在讨论格林公式应用时，我们知道，如果在单连通开区域C内，函数P（x，y）及Q（x，y）具有一阶连续偏导数，且满足条件时，则微分式P（x，y）dx＋Q（x，y）dy在G内是某个二元函数u（x，y）的全微分式，即有原函数上式右端的曲线积分是与路径无关的。一般地说，可选取由起点M（x     

用凑全微分法计算第二型曲线积分

对第二型曲线积分，若积分与路径无关，则有与定积分的公式相类似的计算公式，下边以定理的形式写出。定理设P（x，y），Q（x，y）在单连通闭区域D内有一阶连续偏导数，点A（x；，y；），B（yz，yz）ED，且，若存在一个可微函数y（y，y），使dy＝P（y，y）dy＋Q（y，y）dy而用此公式的关键在于求P（X，y）dX＋Q（X，y）dX的原函数，即凑全微分dX一＊dX＋Qdy。本文只强调用观察的方法来凑全微分。这就必须对下边几个简单而常用的全微分表达式要非常熟悉：例2计算I—l（e”siny＋y＋l）dx＋（e”cosy＋x）dy，其中C是下半圆周AB，A…     

关于曲线积分计算中常见的一种错误辨析

当把曲线积分化为定积分计算时，允许把曲线弧的方程代人被积函数式。但是，如果把曲线弧的方程先代人曲线积分的被积函数，将曲线积分变形后再计算，有时就会出现与原曲线积分不等价的曲线积分，导致所用计算方法的错误。本文就此问题举例辨析。以对坐标的曲线积分来说，它的计算法主要是根据下面的定理：［定理1沪设P（x，y）、Q（x，y）在有向曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为当参数t单调地由a变到卢时，点M（x，y）从L的起点A沿L运动到终点B，P（t）、～（t）在以a及产为端点的闭区间上具有一阶连续偏导数，且中’（t）＋gb’…     

探讨Pdx+Qdy+Rdz为某函数u(x,y,z)全微分的积分因子

就微分形式P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz为某函数u(x,y,z)的全微分的积分因子进行了探讨,提出了积分因子的必要条件,以及P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)是齐次函数时,方程Pdx+Qdy+Rdz=0具有积分因子的充分条件进行了初步探讨.     

由二元函数全微分求积一例所想到的

通过二元函数全微分求积一例，指出为了保证终点M(x，y)取遍所给定的单连通的开区域G，求得定义在G内的原函数u(x，y)，所选取的积分路径不含有δP/δy及δO/δx不连续的点，必须根据具体情况因制宜选择正确的积分路径，否则会产生错误。     

简议用相关点法求轨迹方程

若动点P（x，y）的变动依赖于另一动点Q（x0，y0），而Q在某已知曲线F（x，y）=0（或具有某种规律的图形）上（这时把从动点P叫做轨迹动点，主动点Q叫做点P的相关点），求出关系式{x0=f（x,y） y0=（x,y） （＊），并代入方程F（x，y）=0，得所求轨迹（或轨迹所在曲线）方程F[f（x，y），g（x，y）]=0，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法，     

解微分方程时应注意的两点

笔者认为，初学者在解微分方程时，应注意两点：（一）注意变量x,y地位的对称性。即在判别微分方程的类型或解微分方程时，若按x为自变量、y为函数时不易处理，可转而考虑按x为自变量、x为函数时的情形。为便于应用，现说明如下：a．一阶齐次方程的两种形式：（这里x为自变量），或：生二。（半）（这里y为自变量）．””dH－”，“”““““““““””b．一阶线性微分方程的两种形式：dyn。、。，、，、。。、，。。，。、三十P（x）y一Q（x）（这里y为x的函数），dH“”—”“””—””““H““““。。。／，。dx、‘＾或三十P（…     

恰当近似全微分问题

<正> 在数学分析中我们已经知道,假如 P(x,y),Q(x,y)是平面区域 G 上的连续函数,那么 P(x,y)dx+Q(x,y)dy是恰当全微分(即某一个二元函数的全微分)的充要条件是曲线积分integral from C P(x,y)dx+Q(x,y)dy与路线 C 无关(C 是区域 G 上的可求长曲线).如果 P(x,y),Q(x,y)并非连续,这时问题就变得复杂一些,因为托尔斯托夫证明了:即使在勒贝格意义下的第二型曲线积分     

用点到直线距离公式解决与函数相关的问题

点P（x，y）到直线Ax＋By＋C=0距离为d=｜Ax＋By＋C｜/√A^2＋B^2,当P（x，y）在函数y=f（x）上时，该公式变为d=｜Ax＋Bf（x）＋C｜/√A^2＋B^2,本文通过引进函数y=f（x），借助该公式解决一些与函数相关的问题．     

用变换研究曲线间的位置关系

如果令u=mx，v=nx，则这个线性变换将x-O-y平面上的点P（x，y）变为u-O-v平面上的点Q（u，v），将x-O-y平面上的曲线P（x，y）=0变为u-O-v平面上的曲线Q（u，v）=0．这样的线性变换具有如下性质．     

高等数学试题(二份)

1．西安电子科技大学（1996～1997学年第二学期）一、填空题（每小题5分，共30分）1．方程组在空间的几何图形是2微分方程的通解为。3．函数人在点处的全微分4.已知，则5．积分区域D为x2＋y2≤1，则6.设函数u（x，y）具有二阶连续偏导数，则当u（x，y）满足条件时，沿任意简单闭曲线L积分二、（1分）求微分方程xlnxdy＋（y－Inx）dx一0满足条件yi。～一1的特解。三、（1分）计算曲线积分nd＝ax＋z【x＋yin（x＋／ds－－－－）」力，其中L是一’””‘”——”””””J／52－－－－．－－“““”““”””’～由点A（。，0）沿曲线v一…     

关于Campanato空间的一个注记

类似于Campanato空间理论，本文对具有以下连续模的函数类给出了一局部积分刻画：｜u（x）-u（y）｜≤C｜x—y｜^α（log｜x—y｜^-1）β，z，y∈Ω，其中C〉0，Ω为R^d中一正则区域，α∈（0，1]，β∈[0，1]．     

Kautz网络中的路和宽距离

用K（d，n）表示Kautz网络，该网络由于具有优良的拓扑性质而频频出现在文献中被广泛研究，本文针对该网络中的路和宽距离得到如下结论：设x和y是中两个不同的顶点，P是一条最短（x，y）-路，Q是一条最短（y，x）-路，那么（1）如果P和Q相交于不同于x和y的内部结点，那么｜P｜＋｜Q｜〉n；（2）PUQ最多由3个圈的并组成；（3）如果有d（x，y）≥n-d＋3，那么（d-1）-宽距离dd—1（K（d，n）：x，y）=n＋1．作为结论（3）的一个应用，本文表明，如果d≥3和他≤d-2，那么独立数al，d-1（K（d，n））=αt，d（K（d，n））=d^n＋d^n-1，其中l=1，2，…，n．     

两类常见等式的证明

本文结合例题，说明两类常见等式的常用的证明方法。一、证明可微函数f（x）=C或等价于波形式的题目对于这类问题，我们可以通过证其等价命题f（X）=0来证明。例1特别地取a=1，代入上式得，即2例2证明：满足方程的函数是指数函数，其中为常数，C为任意常数。例3设周，x。是x’＋P（x）x2Q（x）的两个互异解，则对该方程的任一解人必有其中C为任意常数。又Y；yi、yZ、y是y‘＋p（2）y—Q（2）的解。由此可得：因而有二、证明某区间内存在一点e，满足F’（＄）—0或等价于该形的远目对于这类题目，我们可以以F（x）为辅助函数，在相应的…     

综合题新编选登

题194 已知函数y=kx＋1与y=1/x（x〉0）的图象相关于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1〈x2），l1，l2分别是y=1/x（x〉0）的图象在A，B两点的切线，M是l1与x轴的交点，N是l2与y轴的交点，P是l1与l2的交点．     

高斯公式的一种物理证法

关于高斯公式，数学上有多种证法，本文将从力学的角度入手给出高斯公式的一种物理证明．在三维空间的稳定流动的不可压缩流体（假定密度为1）中，设速度场为V＝（P（H，y，2），Q（x,y,z），R（x，y，Z））其中P（x，y，z），Q（x，y，z），R（x，y，z）都有连续的一阶编导数．由物理意义，速度场7单位时间在民点单位体积内所散发的流量定义为该点的散度，记作点的散度可用下面极限求出．在点给Z，y，Z，分别取增量得到点封闭曲面。及所围空间长方体域nG，其体积OV一tanyat，取月一mp，则单位时间内由6G散发的流量近似为根据散度的物…     

点关于直线对称点的向量公式

1．公式 若点P（x0,y0）关于直线l：Ax＋By＋C=0的对称点Q（x1,y1）,则     

y=f（a＋x）的特征确定y=f（x）的哪些性质？

函数y=f（a＋x）（a≠0，以下不特别说明都有这样的要求）是由函数y=f（x）经过简单的函数复合得来。它们之间从性质到图象都有着密不可分的关系．试题常以告诉y=f（a＋x）的性质。研究y=f（x）以及y=f（x）的其它复合函数的性质的形式命制．那么y=f（a＋x）的特征决定了y=f（x）的哪些性质？对这个问题的回答是解决这类问题的关键所在．     

2011年高考山东理科第22题的简解

题目已知动直线z与椭圆x^2/3＋y^2/2=1交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，且AOPQ的面积S△OPQ=√6/2，其中O为坐标原点．