例谈数形结合求解二元函数的极值问题

二元函数的极值问题的初等解法很多，一般都采用降维法转化为一元函数来处理．但有些极值问题，若题中的数量关系能赋予某种几何意义，则可采用数形结合的观点，凭借图形的直观优势，结合解析几何的知识求解，解法往往显得简捷、直观、从以下数例，我们将得到数形结合求解二元函数的极值问题的常用方法，并从中体会到数形结合的独特偏力．1当目标函数形如f（x，y）＝ax＋by＋c时．可考虑利用直线的截距求解例1已知a、b∈R＋，方程x2＋ax＋2b＝0，x2＋2bx＋a＝0都有实数根，试求2a＋b的最小值．分析问题可化为，若a、b满足求2a＋b的最小值．…     

椭圆和双曲线的其它形式方程

1．椭圆和双曲线的其它形式方程 直线与x轴交于点（a,0）,则称a为直线在x轴上的截距;直线与y轴交于点（0,b）,则称b为直线在y轴上的截距．直线在x、y轴上的截距分别是a和b,且ab≠0时,     

找回了漏的解

原题：已知直线l1：x＋3y-6=0,l2：y=kx＋b,若l1、l2与x轴、y轴正半轴围成的四边形有外接圆,则k=_______。 这是解析几何教学中,教师经常使用到的例（习）题．此题难度不大,主要考查直线的斜率、四点共圆等知识点和数形结合的思想．在执教过程中,笔者发现：在参考资料上提供的和网上搜索的答案均为3,解法也为大家所认同．     

一个有用的规律

企一些课外资料上,有这样一道题: 过已知点M(1,4)引直线l,使l在两坐标轴_{几的截距为正值,_日_所围的面积最小,则直线l]’l勺方程为__.答案是lx+2刀~8=。,化成截距式,为二1,可以看出,它在:轴和穿轴的截距分别夕一OC +戈一勺山是点盯的坐标的两倍,这是偶然的巧合,还是一个可循的规律呢,我们不妨将特殊间题一般化: 过巳知点,习(a,b)(月,中a>0,丙>0),弓直线l使l在两坐标轴土的截距为正值,且所围的面积最小,则直线l方程为刀︺一︸石仃 山丁﹄a解:如图,在坐标系上作直线l。::二1交x刀轴分别为D、刀.过4作直线{。。//l。‘.交x、方轴为召、+乒=1…     

一道解析几何题的推广

有这样的一道解析几何题：已知直线l：y=kx＋b与抛物线y^2=4x相交于A、B两点,｜AB｜=5,且AB的中垂线在x轴上的截距为7/2,求直线l的方程.     

弄清概念,防混、防漏、防错

如果直线l与x轴和y轴的交点分别是A(a,0)和B(0,b),那么,a和b分别叫做l在X轴和y轴上的截距。又称横截距和纵截距。因对截距的概念不清,而常常会导致以下几种解题错误。一、混淆了“截距”与“距离”两个不同的概念例1 求过点p(2,1)且在两轴上的截距相等的直线与两轴围成的三角形的面积。错解:依题意,当k=1时,直线x-y-1=0与两轴围成的三角形面积是1/2,当x=-1时,直线x y-3=0与两轴围成的三角形面积是9/2。剖析:因截距可正可负,故当k=1时,直     

经典题的拓广探索

下面是大家非常熟悉的一道题： 过点P（2,1）作直线l,与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点,求：（1）△AOB面积的最小值及此时直线l的方程;（2）求直线l在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l的方程;（3）求｜PA｜·｜PB｜的最小值及直线l的方程．     

椭圆和双曲线的其它形式方程

1.椭圆和双曲线的其它形式方程直线与x轴交于点(a,0),则称a为直线在x轴上的截距;直线与y轴交于点(0,b),则称b为直线在y轴上的截距.直线在x、y轴上的截距分别是a和b,且ab≠0时,直线有截距式方程:x/a+y/b=1.椭圆标准方程为x~2/a~2+y~2/b~2=1,a>b>0时,椭圆与x轴交于点(±a,0),与y轴交于点(0,土b),与直线的截距式方程类比,不妨也称椭圆的标准方程为椭圆的截距式方程.但根据不同的已知条件,直线还有以下     

线性规划问题的另一有效解法

线性规划的一般解法是通过线性目标函数的截距来求解的．倘若从线性目标函数ax＋by（a，b不同时为0）式子的特点出发，联想到点到直线的距离的公式，则可得到利用点到直线的距离求解线性规划问题的新方法．     

数学竞赛申几类限定几何极值问题

已知直线l或圆O及两定点A、B，在其上求一点P，使PA＋PB为最小．此问题称为限定几何极值问题，本文对它拓广，并对由此衍生的竞赛题的背景进行探讨及给出新解法．一般可表述为：A、B为已知圆锥曲线M外的两定点，求M上任一点P到A、B距离之和的最值．1．当线段AB与曲线M有公共点P。时．（1）PA＋PB有最小值，最小值即为线段AB的长．（2）①若M是无界曲线，PA＋PB无最大值．②若M是有界且连续的曲线，当点P为以A、B为焦点的椭圆系与M的“最后”一个公共点（再扩大一点即把M内含）时，PA＋PB最大，最大值即为此时椭圆长轴的长．…     

理科第25题别解

试题设圆满足：①截y轴所得弦长为ZF＠技工轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1．在满足条件①，②的所有固中，求协。到直线L：X一Zy一0的距离最小的目的方程．解法fib所求的团为（—一d）‘十（y—b）’一厂‘，由①，②易得rZ—a’＋1，／一Zb‘，消去厂得Zb’一a’＝1．可见，所求圆的圆心的轨迹为双曲线：2／一X‘一1上的点．设直线产周且与双曲线2／一X’一1相切，则可设I’的方程为C—Zy—C．显然d（（a，b），l）一d（l’，l）这里d（A，B）表A到B的距离．P与2／一X‘一1相切，则易求得C一士1．＄法2同解法1得显然要使d达最…     

关于直线在两轴上的截距

关于直线截距的概念,你清楚吗?请解以下的选择题。过定点M(a,b)作直线l,使l在两轴上的截距相等,则这样的直线有: (A)一条; (B)两条; (C)三条; (D)无数条; (E)不确定。 (1)如果选(A),说明你对“零截距”的概念不     

截距为零漏解两例

<正>在必修2学习了直线的截距式方程后,笔者让同学们做了习题3.2A组第9题:求过点P(2,3),并且在两轴上的截距相等的直线.同学们的解法是:     

还有一解值得一提

问题 一条直线L经过点P(2,1),且与x 轴正半轴、y轴正半轴交于B、C两点.如果三角 形BOC的面积最小,求此直线L的方程. 此题是本刊2004年第7月上期《一个解析 几何问题的解法及启示》中的问题.它给出了多 种解法以及启示,写得很好.但在问题的多种解 法中,本人认为还有一种常见的通解,没有给出, 应值得一提. 解法 (待定系数法) 利用直线的截距式, 以及不等式的性质定理:两个正变量的和是常 量,积有最大值. 解 设直线方程为x/a+y/b=1(a>0,b>0).     

求直线方程易错点辨析

1.待定系数时忽视方程自身的限制条件例1直线l过点P(2,3),且在x轴和y轴上的截距相等,求l的方程.错解设直线方程为x/a+y/a=1,则2/a+3/a=1,得a=5.所以方程为x+y-5=0.错因设直线方程为x/a+y/a=1,已经排除     

一道探究题的拓展

苏教版数学“必修2”教材中有一道探究题目：已知圆C：x^2＋y^2=r^2,直线l：ax＋by=r^2．（1）当点P（a,6）在圆C上时,直线z与圆C具有怎样的位置关系？（2）当点P（a,b）在圆C外时,直线l具有什么特点？     

巧用“截距”求函数的值域及其它问题

巧用“截距”求函数的值域及其它问题唐益生（湖南衡东五中）在直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ中，ｂ表示直线在ｙ轴上的截距，中学数学中有些代数、三角问题可根据直线截距的意义，结合图形给出新颖的解法．１．应用截距求函数的值域例１　求函数ｙ＝的值域．略解　　令其国象是等轴双...     

一道解析几何试题的来龙去脉

2005年北京春考理科第18题是一道解析几何综合题,我们做一些分析,会有所启示。试题如图1,O为坐标原点,直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b(a＞0,b≠0),且交抛物线y~2=2px(p＞0)于M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)两点。 (Ⅰ)写出直线l的截距式方程； (Ⅱ)证明：1/y_1 1/y_2=1/b； (Ⅲ)当a=2p时,求∠MON的大小。试题叙述简洁明快,形式新颖。试题第(Ⅱ)问最初来源于对下面习题的改造：习题如图2,设抛物线y=ax~2与直线y=bx c有两个交点,其横坐标分别为x_1,x_2,且a≠0,b≠0,b~2 4ac＞0,x_3是直线y=0与y=bx c     

巧证一个性质

笔者运用几何画板探得如下命题： 命题1 已知椭圆方程为x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0），如图1．切椭圆于点P的直线与⊙O：x^2＋y^2=a^2相交于M，N两点，⊙O在点M，N处的切线相交于点Q，则PQ⊥x轴．     

2009年福建卷理科19题的引申与简解

2009年高考福建卷理科19题：已知A、B分别为曲线C：x2/a2＋y2=1（y≥0,a〉0）与x轴的左、右两个交点,直线l过点B且与x轴垂直,S为l上异于点B的一点,连结AS交曲线C于点T．