图中具有推广的正交（g，f）-因子分解的子图

设G是一个图，具有顶点集V（G）和边集E（G）．设g和f是定义在V（G）上的整数值函数且对每个x∈y（G）有g（x）≤f（x）．本文证明了如下的结果：若G是一个（mg＋kr，mf-kr）一图，且对每个x∈V（G）有g（x）≥r-1，H和G的任意给定的有kr条边的子图，则G中含有一个子图R，使R有（g，f）-因子分解r-正交于H，其中m，k和r是正整数且k〈m.     

二分(mg,mf)-图中的(g,f)-因子

设G是一个二分图具有顶点集V（G）和边集E（G）。设g和f是定义在V（G）上的两个正整值函数使对任意的x∈V（G）有g(x)≤f(x)，G的一个（g,f）－因子H是G的一个生成子图满足g(x)≤dH(x)≤f(x）。若图G本身是一个（g,f）－因子，则称G是一个（g,f）－图。本文得到一个（mg,mf）－图具有特殊性质的（g,f）－因子的充分条件，从而推广了文献[6]中的一个结果。     

图中具有正交（g,f）因子分解的子图

设G是一个 (mg +k ,mf -k) -图 (1≤k 相似文献   

关于图中子图的（n,k）—正交因子分解

设G是一个具有顶点集V(G)和边集E(G)的图. 设g和f是定义在V(G)上的两个整数值函数,使得g(x)f(x)对所有的点x∈V(G)都成立.如果G是一个(mg+n,mf-n)-图,1n<m2k,且g(x)2k-1对所有的点x∈V(G)都成立,则对任意给定具有|E(H)|=nk边的G的子图H,存在G的一个子图G′使G′有一个(g,f)-因子分解(n,k)-正交H.     

分数(g,f)-因子覆盖图

一个图称为分烽（g,f)- 因子覆盖图，如果G中的任何一条边e都包含在一个分数（g,f)- 因子中，并且满足h(e)=1，其中h是分数（g,f)- 因子的导出函数。本文给出了一个图是分数（g,f)- 因子覆盖图的充要条件。     

关于分数(g,f)-因子消去图

一个图称为分数（g,f）－因子消去图，如果去掉图G中的任何一条边e图G仍有一个分数（g,f）－因子。本文分别给出了一个力是分数1－因子消去图和分数2－因子消去图的几个充分条件，并给出一个图有一个分数（g,f）－因子不含给定对集中任何一条边的充要条件。     

图的分数(g,f)-因子

本文研究了图的分数因子的性质,特别给出了图的弧立韧度这一新概念,研究了孤立韧度与分数因子的关系,文中给出了一个图具有某些约束条件的（g,f）-分数因子的一些充分条件,得到了若干新结果,并提出 了一些可供进一步研究的问题。     

（mg＋m—1,mf—m＋1）—图的（g,f）—因子

本文证明了（ｍｇ＋ｍ－１,ｍｆ－ｍ＋１）－图具有一些特殊的（ｇ,ｆ）－因子,从而推广到了关于（ｇ,ｆ）－覆盖图和（ｇ,ｆ）－消去图的有关结果,有助于进一步研究（ｍｇ＋ｍ－１,ｍｆ－ｍ＋１）－图的正交因子分解问题。     

（mg,mf）—图中具有特殊性质的（g,f）—因子

本文给出了一类带有边连通度限制的（ｍｇ,ｍｆ）－图有一个（ｇ,ｆ）因子含任一给定的边且不含其它任意给定的ｍ－１条边的一个充分必要条件,并使（１）中结果成为本文定理的推论。     

On（g,f）—Uniform Graphs

Thegraphsconsideredinthispaperwillbesimpleundirectedgraphs.LetGbeagraphwithvertexsetV(G)andedgesetE(G).ForavertexxofG,thedegreeofxinGisdenotedbydG(x).Theminimumdegreeandthemaximumdegree0fGaredenotedbyS(G)andb(G),respectively.Letgandfbetw0integer-valuedfunctionsdefined0nV(G)suchthatg(x)5f(x)foreveryx6V(G).Thena(g,f)-factorofGisaspanningsubgraphFofGsatisfyingg(x)SdF(x)5f(x)forallxEV(G).Ifg(x)=f(x)foreachxEV(G),thena(g,f)-factoriscalledanf-factor.Iffisaconstantfunctiontakingthevaluek,…     

Randomly Orthogonal (g,f)-factorizations in Graphs

Let G be a graph with vertex set V(G) and edge set E(G) and let g and f be two integer-valued functions defined on V(G) such that 2k − 2 ≤ f(x) for all x ∈ V(G). Let H be a subgraph of G with mk edges. In this paper it is proved that every (mg + m − 1,mf − m + 1)-graph G has (g,f)-factorizations randomly k-orthogonal to H and shown that the result is best possible.     

Randomly Orthogonal (p, f)-factorizations in Graphs

Let G be a graph with vertex set V(G) and edge set E(G) and let g and f be two integer-valued functions defined on V(G) such that 2k-1≤g(x) ≤ f(x) for all x ∈ V(G). Let H be a subgraph of G with mk edges . In this paper it is proved that every (mg m - 1,mf- m 1)-graph G has (g, f)-factorizations randomly κ-orthogonal to H and shown that the result is best possible.     

(g,f)-FACTORS WITH SPECIAL PROPERTIES IN BIPARTITE (mg,mf)-GRAPHS

§1　Preliminary and resultsAll graphs considered in this paper are finite graphs which may have multiple edgesbut no loops.Let G be a graph with vertex set V( G) and edge set E( G) .The degree of avertex x is denoted by d G( x) .The connectivity and edge-connectivity of G are denoted byκ( G) andλ( G) ,respectively.Letg and f be two positive integer-valued functions definedon vertex set V( G) such that g ( x)≤f ( x) .Then a ( g,f ) -factor of G is a spanningsubgraph H of G satisfying…     

ORTHOGONAL (g,f)-FACTORIZAFIONS OF BIPARTITE GRAPHS

1 IntroductionIn this paper we con8ider finite undirected simple graphs. Let G be a graph with vertexset V(G) and edge set E(G). Let g and f be two po8itive iuteger-valued functions defined onV(G) such that g(x) 5 f(x) for every vertex x of V(G). Then a (g, f)-factor of G is a spanningsubgraph H of G satisfying g(x) 5 dH(x) 5 f(x) for each x E V(H). In particular, if G itselfis a (g, f)-factor, then G is called a (g, f)-grapl1. A subgrapl1 H of G is called an rmsubgraphif H has m edg…