高考中数列极限的命题特点剖析

极限思想是高等数学最基本、最重要的思想之一,极限也是高中数学的重要内容,是高考中常考常新的内容.它往往与数列、方程、组合、不等式、对数、解几、平几、函数等学科内知识交汇;又由于极限应用的广泛性,它常与跨学科知识交汇,下面选择几类题剖析“数列极限”的特点和解题思路.一、学科内综合考点数列极限的知识与正整数有关的知识综合,可突出对综合知识的考查,此类问题,需先根据其他知识求数列,再求极限.类型1———与数列知识交汇例1(06湖南)数列{an}满足:a1=31,且对于任意的正整数m,n都有am n=an·am,则lni→m∞(a1 a2 … an)=()A.21B…     

关于二类数列的极限

设有情况I。由(4)可见(5)式中的各分母均为正,从而二个子数列{a_(2m 1)}和{(a_(2m)}中有一个是单调增大,另一个是单调减小的,并且都有上、下界。根据数列极限的存在准则,即得     

试谈极限的计算

计算数列和函数的极限是数学分析的基本运算之一。计算极限除了要熟练运用四则运算的极限法则以外,还必须掌握和运用一些常用的方法和技巧。 数列极限与函数极限之间有着十分密切的关系。如果存在,则必有:因此,当要计算时,如果有一函数f(x)存在,能使a_n=f(n),则可先算。若这个极限存在,必有,这样数列极限问题通过函数极限计算得到解决。但是,并非任何数列极限问题都能化为函数极限问题。当数列的通项本身呈现n项之     

用函数性质研究数列x_(n 1)=f(x_n)

二阶递归数列x_(n 1)=f(x_n)对应的函数y=f(x)称为递归函数。用递归函数研究数列的单调性、有界性和极限等,是十分方便的。一、关于单调性从图上(如图1)分析,可发现决定数列增(减)的关键为:在数列各项x_i(i=1,2,…)取     

一道数列极限的多种解法

利用数学分析中关于数列极限的定义、收敛数列的性质及数列极限存在的条件,介绍一道数列极限问题的多种解法.     

关于迭代数列的审敛法

从迭代数列及其基本性质出发,给出单调有界定理、压缩映象原理、Cauchy收敛准则和上(下)极限四种判别迭代数列收敛的方法.     

由度量诱导的集合列上(下)极限及其应用

从数列上(下)极限出发,引入并研究由度量诱导的集合列上(下)极限,证明通常的集合列上(下)极限本质上是由离散度量诱导的上(下)极限,并且Lebesgue测度关于由度量诱导的集合列极限保持一定的连续性.     

“∞/∞”型数列极限的求法

对于像(?)lnn/n这样类型的极限,是不能直接运用罗必塔法则计算的,这是因为罗必塔法则是针对连续型变量的函数.本文介绍两种计算“∝/∝”型数列极限的方法.1.把离散变量n的极限(?)f(n)看成连续变量x的极限(?)f(x)的特殊情况.这样,要计算“∝/∝”型数列的极限,可以先计算相应的连续型的极限,这时可以使用罗必塔法则.     

Heine定理的等价命题及其应用

一、引言在国内流行的《数学分析》教材中 ( [1 ]～ [3 ]) ,均给出了描述函数极限与数列极限之间关系Heine定理或称归纳原则 :定理 1 ( Heine定理 )　设函数 f ( x)在 u。( a)有定义 ,则 limx→ af ( x) =b 对任意收敛于 a的数列{ an} u。( a)有 limn→∞ f ( an) =b。众所周知 ,Heine定理是沟通函数极限与数列极限之间的桥梁 ,在极限理论和应用中 ,占有非常重要的地位。但是 ,该定理的充分性较强 ,运用中有一定的局限性。1 985年 ,文献 [4 ]减弱了 Heine定理的充分性条件 ,给出了与 Heine定理等价的如下命题 :定理 2 [4 ]　设函数 f ( x…     

托布利兹(Toeplite)定理的推广

托布利兹(T oep lite)定理是数学分析中证明和计算数列极奶的有效工具.将托布利兹(T oep lite)定理推广到函数情形,为证明和计算一类函数的极限提供了一种方法.实例表明利用托布利兹(T oep lite)定理的推广证明和计算某类函数的极限和某些数列的极限,比用传统的数学分析方法更简便.     

一类数列极限的矩阵解法

通过矩阵方法可求一类由常系数线性递推公式所确定的数列的极限.实例演示其递推公式形如xn 1=pxn qxn-1(p,q为非零常数)和xn 1=caxxnn db(c≠0,且ad≠bc)的两类数列{xn}的极限的求法.     

数列极限教学中的若干思考

在中学阶段渗透近代数学的基础知识是课程教材改革的要求之一.高中数学教材把数列极限作为必修内容,其目的是在中学阶段渗透极限思想,使学生初步接触用有限刻划无限,由已知认识未知,由近似描述精确的数学方法.本文对数列极限的教学提出几点思考,谨供大家参考.(一)基本概念、基础知识的正确理解与掌握1.数列极限的定义数列极限概念是教学上的难点,教材采用描述法定义数列极限.对数列极限定义的正确理解,是学习本章内容的基础例1等差数列{an}中,首项a1=60,公差d=-2,记Sn=a1 a2 … an,Tn=|a1| |a2| … |an|,求li mn→∞SnTn.错解:Sn=na1 n(n2…     

运用数列极限运算法则解题的两点注意

数列极限运算法则 ,是中学生求数列极限的基础 .为了更好地掌握求数列极限的方法 ,学生在运用此法则时应注意以下两点 .1)如果ｌｉｍｎ→∞ ａｎ=Ａ .ｌｉｍｎ→∞ ｂｎ=Ｂ ,那么ｌｉｍｎ→∞(ａｎ±ｂｎ) =Ａ±Ｂ .此法则只适用于求有穷数列的极限 ,不能用于求无穷数列的极限 .例 1　ｌｉｍｎ→∞(1ｎ2 1 2ｎ2 1 … 30ｎ2 1) .分析 :此题为有穷数列求极限 ,故可直接运用极限运算的加法法则 .解　ｌｉｍｎ→∞(1ｎ2 1 2ｎ2 1 … 30ｎ2 1)　 =ｌｉｍｎ→∞1ｎ2 1 ｌｉｍｎ→∞2ｎ2 1 … ｌｉｍｎ→∞30ｎ2 1　 =0 0 … 0　 =0…     

例说n项和数列极限的几种求法

有限个数列和的极限一般可用"数列和的极限等于数列极限的和"的运算法则来计算,而对于n项和数列的极限不能采用和的运算法则.针对此问题,文中利用迫敛性、定积分、幂级数和函数性质以及Fourier级数和函数得到了求此类极限的方法.     

有限集合与数列极限的定义

极限理论是微积分学的理论基础,而数列极限是其中最基础也是最重要的一个部分,准确深入理解数列极限的概念对微积分的学习具有重要作用.本文用集合给出数列极限的另一个定义,它与数列极限的ε-N定义等价,其应用可以使数列极限的验证过程的逻辑关系更为清晰.     

求数列极限的一个定理

本文介绍一个有关求数列极限的定理,利用它可以较方便地求出一些数列的极限. 定理对于数列{x_n},若存在一个小于1的正数Υ,使不等式 |x_(n+1)-α|≤Υ|x_n-α| 对一切大于某自然数N的n都成立,则 limα_n=α.n→∞     

Vallée-Poussin算子逼近连续函数的最优估计

通过将Vallée-Poussin算子逼近连续函数的能力转化为对辅助数列{g(n)}的上确界的计算,首先利用数列单调有界定理证明辅助数列极限的存在性,之后借助夹逼准则求得辅助数列{g(n)}的极限,即数列{g(n)}的上确界,进而得到Vallée-Poussin算子逼近连续函数的最优估计常数.     

给中学生讲好微积分基本知识

对于讲授全日制普通高级中学教科书 (试验本 )《数学》第三册 (限选 ·理科 ) (人民教育出版社 ,1 998年 1 2月第一版 )第二、三、四章的建议建议把原书第二章改为两章 ,前一章讲极限 ,另一章讲连续函数 .1　关于极限部分 ,结合原书提如下建议1 1　第 64页的旁注“本章所讨论的数列一般都是无穷数列”是多余的 ,宜删去 .实际上 ,后面讨论的都是无穷数列 .关于数列的定义 ,可参考《数学百科全书》第四卷 784页关于“序列”的条目 .现代的说法 :实数列是定义在正整数集上的实值函数 .加以形象化的直观的解释和举例 ,多数学生应能接受 .1 2　…     

一道数列极限题的注记

用几何方法分析了高等数学中的一道数列求极限的题目,直观地显示了该数列趋向于极限的方式.并把极限的结果从实数域中拓展到复数域中,指出了该数列在复数域趋向于极限的方式是螺旋的,在实数域中趋向于极限的方式是沿直线靠近的.最后类比该数列,构造出相似数列的求极限问题.     

m元线性递推数列与矩阵的幂

设有m个数列{x_n~(1),x_n~(2),…x_n~(n)}(这里x_n~(k)表示第k个数列的第n项)满足递推式组:■其中a_(ij)为常数(i,j=1,2,…,m),初始条件由x_1~(1),x_1~(2),…,x_1~(m)给定,这样的m个数列叫做m元线性递推数列。本文的工作是给出m元线性递推数列的通项公式的求解方法,同时得到矩阵的幂的一种计算方法。递推式组(1)可以用矩阵的形式表示为: