倡导“一题多变”,实现“一题多得”

数学解题与研究一直是数学教学与学习过程中的一个重要研究课题,也是提升能力与开拓思维的基本场所.基于一道解三角形问题实例,合理分析与研究,从不同层面加以巧妙探究,合理变式拓展,实现问题的“一题多变”,达到问题的“一题多得”,引领并指导数学教学与解题研究.     

一道高考复数试题的变式研究

1999年全国高考第20题:设复数ｚ=3ｃｏｓθ ｉｓｉｎθ.求函数ｙ=θ-ａｒｇｚ(0<θ<π2)的最大值及对应的θ值.下面以本题为原型进行变式研究.变式1　设复数ｚ=ａｃｏｓθ ｉｂｓｉｎθ(ａｂ为常数且ａ>ｂ>0).求函数ｙ=θ-ａｒｇｚ(0<θ<π2)的最大值及对应的θ的值.解　?..     

“希望杯”一赛题的变式探究

2011年第二十二届：“希望杯”全国数学邀请赛高一第一试第17题：     

“一题四多” 变式推进 培养素养

新课标背景下,如何呼应“双减”政策,提升课堂教学的有效性,培养学生的数学核心素养,值得思考与探究.基于课标,基于教材,理解学生,理解数学,真正做到减负提质是教师永恒的追求.     

“一题一课”高三数学复习教学范式的实践研究

“一题一课”是微专题复习的一种形式,兼具自身的定位功能和新高考导向的双重价值,它以“精选根题,注重拓展,合理追问”为基本特点,从一个经典的数学问题或模型出发,通过不断变式、变换问题呈现方式,以问题串的形式引导学生循序渐进地开展探究式学习.本文结合具体案例,从“一题一课”的价值及认识、如何开展、实施建议等方面进行详细的阐述.     

一道向量试题和几道典型的变式题

高中数学里，向量是近几年新增加的内容，由于其具有代数和几何的双重特征。已经成为数形结合的完美典范．向量中的一些题目设计巧妙。内容丰富，是我们训练思维的好材料．本文对一道重要的向量试题给予多角度证明，并指出近两年来活跃在各种资料里的几道典型的变式题，以期对大家学习向量有所帮助．     

一道“对角互补型”几何题的解与变

以一道“对角互补型”几何题为切入点,围绕主题精选、编拟“一题多解”“一题多变”的题目,并不断对问题进行变式,引导学生挖掘数学问题的本质,提炼共性.在数学教学中,凸显数学思想方法,优化数学思维品质,提高数学核心素养.     

一道高考试题的变式推广

分析：（I）要证点P在C上,可先求出点P的坐标,再验证点P的坐标满足C的方程;     

解答变式题小心“套路”陷阱

高效课堂一直是教育教学改革的热点话题,其中变式训练教学是高效课堂的一个重要缩影,教师对典型例题精心准备,充分挖据,让学生更好地理解问题的实质,举一反三,力求注重"形"变和"法"变,从而实现触类旁通,达到事半功倍的效果.     

一道不等式题的变式探究

问题设x,y为正数,求（x＋y）（x/1＋y/4）的zY最小值．这是基本不等式应用部分的一道平常习题,本文将以此题为源,通过变式探究,将基本不等式部分的一些常见问题串珠成串,希望对同学们能有所启发。     

一道中考试题赏析

2011年浙江省绍兴市初中毕业生学业考试第23题,以“空间与图形”学习领域中的等边三角形、全等三角形为载体,考查了学生对等边三角形的性质与判定和全等三角形的判定的理解与应用,考查了学生一题多证,一题多变的解题和编题能力．该题源于人教版课标教材八年级上第66页14题,起点低、坡度缓,且解法灵活多样,可以有效地对不同思维能力水平的学生加以区分,为学生营造创新思维和创新能力的新的发展空间．特别是第（2）小题,有利于学生从不同的角度分析、解决问题．现通过梳理该题第（2）小题的几种不同的解题思路,力求通过一题多变,一题多证的创新思维,揭示基本图形各要素之间的联系．     

一道课本例题的变式与解法

教材的例题是教材的重要组成部分,它蕴含着数学的基础知识、基本技能、基本思想与方法,是培养学生思维能力的重要素材.因此教师要把例题进行变式与拓展,从"一题多解、一题多变、一题多用"等途径改造经典例题,进行适当的引申、变式、拓展,挖掘其潜在的数学功能.这样可以引导师生抓纲务本,切实减轻学生的训练量,达到事半功倍的效果.     

一题多变求“心”题

在数学教学中,若能经常把一道题的条件或问题进行合理改变,不但能激发学生的学习兴趣,调动其主观能动性,积极思考,而且还能培养学生的思维能力．设计有关三角形四“心”（重心、垂心、内心、外心）的向量变式训练题,能使我们对向量形式的多样性和向量运算的灵活性有更深刻的认识．     

一道赛题变式的简解

第31届西班牙数学奥林匹克第2题为：如果（x＋√x^2＋1）（y＋√y^2＋1）=1，那么x＋y=0． 在《数学通讯》网站论坛上，一位网友提出了该题的如下变式，并发贴向各位求教：     

一道三角求值题的巧解及变式

给出一道三角求值题的两个简解以及三个变式.     

一道向量试题的变式探究

分析此题是2008年杭州市第一次教学质量检测卷的最后一道填空题,同学们答题正确率很低．考后问大家是如何思考这个问题的,绝大多数同学不理解题目的要求与已有的知识之间的联系,没有充分挖掘向量a。     

一道解析几何题的变式探究

高三复习圆锥曲线时遇到这样一道习题：题目 点P是双曲线C1：x^2/a^2-y^2/b^2=1（n〉0，b〉0）和圆C2：x^2＋y^2==a^2＋b^2的一个交点，且2∠PF1F2=∠PF2F1，其中F1，F2是双曲线C1的两个焦点，则双曲线C1的离心率为____.     

一道变式题的另证及推广

本刊2007年第20期刊登了张必平老师所撰写的《一道西班牙竞赛题的奇异变式》一文，文中对变式题提供了一种证法，该题为：     

一道试题的基本解、另解与变式

在抛物线复习中,遇到了下面的试题,通过该试题的基本解、别解与变式的探究,可见该题为一道优质的试题,现介绍给大家.     

一道实验探究题的变式教学

变式教学在数学教学中有着举足轻重的地位,所谓变式是对数学中的问题进行不同角度、不同层次、不同情形、不同背景的变化,而事物的本质特征却保持不变．变式教学能使一题多用,多题重组,常给人以新鲜感,能唤起学生的好奇心和求知欲．教师若能重视对课本例题进行变式训练,不但可以抓好双基,便于弄清问题的内涵和外延,最大限度地发挥例习题的功能,