两条二次函数图象有唯一公切线的充要条件

2003年全国卷(新课程)文科19题:已知抛物线C_1:y=x~2+2x和C_2:y=-x~2+a.如果直线l同时是C_1和C_2的切线,则称l为C_1与C_2的公切线,公切线上两个切点之间的线段称为公切线段.(1)a取什么值时,C_1和C_2有且仅有一条公切线?写出此公切线方程.(2)若C_1和C_2有两条公切线,证明相应的两条公切线段互相平分.     

“双切线”问题评析

随着高考对切线问题的考查愈加深入，在各类试卷中对两条曲线的公切线或一条曲线的两条切线（下文简称为“双切线”）的考查也随之出现．下面结合一些高考题或高考模拟题对此进行分析，以供参考．     

浅谈解决有关圆与圆位置关系问题时添加辅助线的方法

添加辅助线是几何中解决问题常用的方法,做为媒介可把已知与已知,已知与求证有机地联系起来,起到桥梁的作用。一些常用的辅助线是有现律可循的,可以从如下几个方面来学习在解决有关圆与圆的位置关系问题中添加辅助线的方法和规律。 一、作两圆的公切线 作两圆的公切线是解决圆与圆位置关系问题时常用的方法。因为它可把弦切角与圆周角或圆心角有机地联系起来。     

“必要条件探路”的图象背景及其应用

本文通过呈现一道函数恒成立条件下求参数范围问题的求解过程,试图以函数图象为主线阐述“必要条件探路”的图象背景.再利用公切线找出公切点代入函数求出参数的范围,充分性论证参数的最优解,并将此类方法应用到一般的函数中求参数范围问题.     

沟通高初联系居高临下释疑

在中学数学教学中 ,我们经常会遇到许多形形色色表面上与高等数学毫不相干 ,而在初等数学里看不透、讲不清的问题 .下面介绍的几例就属此类 .这些材料往往有着较深的内涵 .对中学生来说 ,也许不必要求他们“知其所以然” .但对中学数学教师来说 ,就应当知道这些材料的高等数学背景及其求解原理的科学依据 .只有沟通高等数学与初等数学的联系 ,才能把握初等材料的实质 ,正确地为教学析疑解惑 .例 1　已知圆系ｘ2 + 2 ( 1 -α)ｘ+ｙ2 - 2 ( 1 + 2α)ｙ+ 92 α2 +2α+ 2 =0　　　 (α为非零实参数 ) ①有公切线 ,试求公切线方程 .这个问题的一…     

《超级画板》帮你教圆锥曲线（1）

笔者曾在大学和中学组织过几何画板的培训，感受最深的就是几何画板处理解析几何问题太麻烦，老师们也反应难以掌握．举例来说，平时作两圆的公切线，椭圆切线等，都只要拿尺往圆上一靠，马上就可以用笔画出来了．但在几何画板中，作两圆的公切线要分内公切线和外公切线两种情况，作椭圆的切线要分点在椭圆上和椭圆外两种情况，而且这些作法相当复杂，除了需要较深的数学功底之外，还要熟练掌握几何画板的各种技巧．但如果使用超级画板，就只要运行简单的函数命令．下面我们就来介绍具体作法．     

求两圆公切线方程的简捷方法

设⊙Ｏ1,⊙Ｏ2 的半径分别为ｒ1,ｒ2 且ｒ2 >ｒ1.可用以下两种简捷方法来求两圆的公切线方程 .方法 1　 1 )作出两圆的公切线与两圆连心线Ｏ1Ｏ2 的交点Ｐ ,求出点Ｐ分有向线段Ｏ1Ｏ2 的比λ =- ｒ1ｒ2(外公切线 )或λ =ｒ1ｒ2(内公切线 ) ;2 )由定比分点坐标公式求出点Ｐ的坐标 ;(1)　　　　　　 (2 )图 1　方法 1图　　 3)求出过点Ｐ与⊙Ｏ1(或⊙Ｏ2 )相切的切线方程即为所求 .方法 2　 1 )以Ｏ2 为圆心 ,半径ｒ=ｒ2 -ｒ1(外公切线 )或ｒ =ｒ1 ｒ2 (内公切线 )作圆 ;2 )求出过点Ｏ1与所作圆相切的切线斜率ｋ ;3)求出斜率为ｋ的两圆公切线…     

第41届国际数学奥林匹克题解

第一天大田 ,2 0 0 0年 7月 19日时间 :4小时 30分每题 7分　　问题 1 圆Γ1 和圆Γ2 相交于点Ｍ和Ｎ .设ｌ是圆Γ1 和Γ2 的两条公切线中距离Ｍ较近的那条公切线 .ｌ与圆Γ1 相切于点Ａ ,与圆Γ2 相切于点Ｂ .设经过点Ｍ且与ｌ平行的直线与圆Γ1 还相交于点Ｃ ,与圆Γ2 还相交于点Ｄ .直线ＣＡ和ＤＢ相交于点Ｅ ;直线ＡＮ和ＣＤ相交于点Ｐ ;直线ＢＮ和ＣＤ相交于点Ｑ .证明　ＥＰ =ＥＱ .解答　令Ｋ为ＭＮ和ＡＢ的交点 .根据圆幂定理 ,ＡＫ2 =ＫＮ·ＫＭ =ＢＫ2 ,换言之Ｋ是ＡＢ的中点 .因为ＰＱ∥ＡＢ ,所以Ｍ是ＰＱ的中点 .故只需证明Ｅ…     

开放性问题求解的“探索”

数学开放性问题,或是由给定的条件寻求相应的结论,或是由给定的结论反溯应具备的条件,或是判断符合条件的某种数学“对象”是否存在,或改变命题的条件或结论的某一部分来探求整个命题将发生什么变化,等等.数学开放性问题的一个明显特征就是它的探索性,而开放性问题的探索对于考查学生的创新能力具有十分重要的作用,因而开放性问题一直以来倍受高考命题专家的青睐.     

2019全国卷Ⅱ(理科)数学第20题的一个注记

<正>1引言两个曲线的公切线问题一直是高考的一个热点问题,例如:2003年的全国卷(文科,新课程卷)第18题(可参见文献[1]),2016年江苏卷第19题(Ⅱ),2018年的天津卷(理科)第20题等均与切线有关,在平常模拟考试中,这类题更是层出不穷.2019全国卷Ⅱ数学(理科)第20题看似很好入手,其实并非如此,其中第二问,会让部分     

第十部分 圆和正多边形复习研究

【复习目标】 理解圆的有关概念,掌握圆的有关性质;掌握切线的判定、性质定理,两个圆的位置关系的判定和性质,及两圆公切线的概念;理解正多边形的有关概念,会将正多边形的有关计算转变为解直角三角形;会计算圆的周长、弦长及简单组合图形的周长,会计     

多元表征思路宽

<正>我们知道,对于同一个数学对象,可以有不同的表征方式,各种表征扮演着不同的角色,它们或是思维运演的素材,或是联系沟通的角色,或是减轻思维负荷的工具,或是化抽象为直观的手段.由此可见,如何根据问题的特征,合理地表征问题,是解决数学问题的关键.本文以2014年高考辽宁省理科第16题为例,谈谈如何运用多元表征理论,寻求解题途     

圆趣

圆A的半径为1,圆B的半径为4,并且两圆外切,它们的公切线为EF,切点分别为E、F,求阴影部分中最大圆的半径(如图1).解设阴影部分中最大圆C的半径为x,则圆C与圆A和圆B都外切也和直线EF相切,作AD∥EF,过     

等价转化是解题成败的关键

<正>数学问题的解决中总是伴随着不同知识间或不同表述方式间的转化,转化是否等价直接决定了问题解决的成败.那么,如何避免问题解决过程中的非等价转化呢?下面用两个例子加以说明.例1求曲线C_1:y=x~2与曲线C_2:y=x~3的公切线的斜率.错解k_1=2x,k_2=3x~2.由题设,令2x=3x~2.(1)∴x=0或x=2/3.故曲线C_1:y=x~2与曲线C_2:y=x~3的公     

在阅读理解与思考变化中学习数学

多年来,笔者最爱研究<数学通报>问题栏的一些问题,或是寻找它的简单证法,或是思考它的一些变形、加强与推广.有时,也想着猜猜命题人是如何编拟该题的,从思维的深处去挖掘、去分析、去理解、去解决问题、去提出新的问题.下面给出几个思考的例子.     

数列与补间公式

在中学数学的课程中,我们学到一些数字级数的公式.例如等差级数的一般项,以及其它级数的一般项,或是关于这些项的和的公式.同时我们也学到一些有理整函数——一次的,二次的,或是其它的. 这些代数学上的个别问题之间,存在着联系,要用一般的公式来表达的话,就与补间函数的问题发生密切关系,这个问题,在方法上或是在学术上,都具有莫大的意义. 本篇是关于这方面工作的一种汇集.     

初三几何第二学期期中自测题

Ａ组一、填空题 (每小题 3分 ,共 3 0分 )1 .圆和圆的位置关系有五种情况 :① ;②;③ ;④ ;⑤ .2 .设两圆的半径分别为Ｒ和ｒ(Ｒ >ｒ) ,圆心距为ｄ .①两圆外离 ｄ ;②两圆 ｄ =Ｒ +ｒ;③两圆相交 ｄ ;④两圆 ｄ =Ｒ -ｒ;⑤两圆内含 ｄ .3 .相交两圆的重要性质是 .4 .已知两圆外离 ,那么它们的公切线有条 ,两条外公切线的长 ,两条内公切线的长 .5.若两圆只有两条公切线 ,则两圆的位置关系是.6.的多边形叫正多边形 ,正多边形都是对称图形 .7.正ｎ边形的每个内角为 ,中心角为.8.任何正多边形都有一个圆和一个圆 ,这两个圆是圆 ,这个圆的…     

赛题中圆与圆

<正>圆与圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含五种情形;为了沟通两圆,常常添加与两圆都有联系的一些线段,如公共弦、公切线、连心线,以及两圆公共部分相关的角和线段,这是解圆与圆位置关系问题的常用辅助线.1只有两个圆(或弧)的情况例1(希望杯邀请赛试题)如图1,在边长为1的正方形ABCD中,以A为圆心,AB为半径的弧与以DC为直径的半圆交于点E,连接DE并延长     

学会运用极端思想方法

<正>所谓极端思想方法,是指在解决一个问题时,以一种极端的视角审视问题,通过挖掘内隐在问题之中的极端数量关系、极端位置性质、问题反向情形等来求解问题方法.本文拟结合具体实例,谈谈这种极端思想方法在解题中的运用,以资同学们参考.一、析取极端数值解决一些数学问题的关键,有时只需析取其中的某个极端数值.如解决某些涉及多元的数学问题,或是恒成立、存在等一类问题,常常     

解题教学后的补偿教学

数学教学离不开解题教学．笔者经常有这样的感受,在讲解题目时会出现讲了但讲得不到位,学生理解不是很透彻,讲了但选择的方法不够好,学生不易掌握．究其原因,或是由于时间仓促,准备不充分造成的;或是由于自身水平有限,认识肤浅造成的;或是由于对学情估计不足,把握不到位造成的,总之,数学解题教学环节中有时不可避免地存在着一些问题,暴露出一些不足,