重视思想生成体验,构建知识发展脉络——平面向量基本定理的教学设计

平面向量基本定理是平面向量这一章最基本的内容之一.它是在学生掌握了向量的基本概念、向量的线性运算的基础上学习的,是向量坐标表示的逻辑前提,是用向量法求解几何问题的重要理论基础.很多中学教师认为平面向量基本定理是一个比较抽象的内容,不容易理解.     

向量共线和不共线

预备知识 :方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 .规定 0 → 与任一向量平行 .任一组平行向量都可移到同一条直线上 ,因此平行向量也叫做共线向量 .由预备知识易证定理 1.定理 1　一组平行向量共线 ,0→ 与任一向量共线 .定理 2　向量ｂ→ 与非零向量ａ→ 共线的充要条件是有且只有一个实数λ ,使得ｂ→ =λａ→ .(参见新教材高一《数学》第一册下第 10 4页 )定理 3　ａ→ ,ｂ→ 具备下列情况中的任何一种情况 ,都可以说ａ→ ,ｂ→ 共线 .1)ａ→ ,ｂ→ 中至少有一个为 0 → ;2 )ａ→ ,ｂ→ 都不为 0 → ,存在一个实数λ ,使得ｂ→=λａ→ …     

基底的选择

在平面向量中,有了共线向量定理和平面向量基本定理,平面内任一向量都可以通过选择一组基底向量来表示,这样,若所选择的两基向量的夹角及其模长都可知,则称这组基底为“已知基底”,那么涉及有关向量运算问题可以将所求向量转化到这组“已知基底”向量上解决,这样就形成向量问题解决的一个通法,在空间向量中这一方法同样是奏效的．     

空间向量的几种常见问题解析

空间向量的概念及其运算与平面向量类似,向量加、减法的平行四边形法则以及相关的运算规律仍然成立.空间向量的数量积运算、共线向量定理、共面向量定理都是平面向量在空间中的推广.通过研究方向向量与法向向量之间的关系,可以确定直线与直线、直线与平面、平面与平面等的位置关系以及有关的计算问题.     

集值映射的对称向量拟均衡问题

研究向量集值映射的拟均衡问题的有效解,利用数值化方法与不动点定理,得到解的存在性定理.作为应用,得到广义向量鞍点,向量变分不等式与向量互补问题的存在性定理.     

三角形面积公式的向量形式及其应用举例

平面向量作为一种工具,在解题时有着广泛的应用．新课程高考考试大纲对此明确要求：会用向量方法解决某些简单的平面几何问题,会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．本文利用平面向量知识,推导三角形面积公式的向量形式,并举例说明其应用．     

平面向量

本单元的重点：向量的概念,向量的几何表示和坐标表示,向量的线性运算,两个向量共线的充要条件,平面向量的数量积,向量垂直的条件．     

向量积性质的另一种证明

对于向量积的性质以及公式的证明,在高等数学教材中基本上均是利用行列式的性质给出的.本文利用向量之间的基本运算,给出了有关向量积性质的另一种证明方法.     

让向量法在直线和圆中闪亮登场

众仁知晓，向量集数与形于一身，既有代数的抽象性，又有几何的直观性．因此向量法也是研究直线和圆的一个有力工具．如能让直线的方向向量或法向量在直线和圆中闪亮登场，那么她将活力四射，光彩照人!     

加权向量中值滤波器的去马赛克算法

本文在深入研究向量中值滤波器基础上,论述了中值向量和均值向量的关系,提出加权算法设计,改进了向量中值滤波器的算法,实现了有效地去马赛克,本算法具有保护了图像边、提高向量中值插值的效果。     

优化和均衡的等价性

通过向量优化问题, 向量变分不等式问题以及向量变分原理来分析优化问题及均衡问题的一致性.从而显然, 可以用统一的观点来处理数值优化、向量优化以及博弈论等问题.进而为非线性分析提供了一个新的发展空间.     

中心对称向量与Skew对称矩阵

引入中心对称向量和中心反对称向量的概念,证明数域P上任意n维向量都可以唯一地表示成一个中心对称向量和一个中心反对称向量的和;给出数域P上Skew对称矩阵的概念,并讨论其性质.     

争鸣

问　题问题 1 9　 在高中立体几何中正棱锥的定义是 :“底面是正多边形 ,顶点在底面上的射影为正多边形的中心” .若将一个正三棱锥的侧面为底面 ,那么此棱锥是否为正三棱锥 .[观点 1 ]　是正三棱锥 ,因为一个正三棱锥不会因它怎样放置而发生变化 ,无论怎样放都是正三棱锥 .[观点 2 ]　不是正三棱柱 ,因为不符合正三棱锥的定义 .问题 2 0　 高一新教材Ｐ95页中 ,“平行向量”与“向量平行”这两个概念是否一样 ?[观点 1 ]　两概念是一样的 ,向量平行就是平行向量 ,平行向量指的就是向量平行 .[观点 2 ]　是两个不同概念 ,因为平行向量是指非…     

幂向量,复合向量数及其函数理论

本文提出向量为其幂向量和向量幂级数．向量幂级数由一实数和某一向量联合组成的“复合向量数”及其函数有重要涵义．这数也有运算法则．从复合向量数的函数理论分析知其函数有导数和解析函数的必要和充分条件．这些条件构成了“双曲型”方程的特征以及函数的积分性质等．     

巧用基向量破解立体几何问题

空间向量为处理立体几何问题提供了许多新的解法,运用空间向量解决立体几何问题,有利于学生克服空间想象力的障碍和空间作图的困难,空间向量包括基向量和坐标向量.利用空间向量的坐标运算解立体几何问题,可把抽象的几何问题转化为代数计算问题,并具有很强的规律性和可操作性,而利用空间向量的坐标运算需先建立空间直角坐标系,但建立空间直角坐标系有时要受到图形的制约,在立体几何问题中很难普遍使用,其实向量的坐标形式只是选取了特殊的基底。     

对“基底”的广义理解

一、基底 1．平面向量基本定理：如果e1^→、e2^→是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a^→,有且只有一对实数λ1、λ2,使a^→=λ1e1^→＋λ2e2^→．     

关于局部凸空间中向量Ekeland变分原理的等价性

基于各种Ekeland变分原理的等价形式, 主要研究局部凸空间中给定有界凸子集乘以距离函数为扰动的单调半连续映射的向量Ekeand变分原理的等价性问题. 首先利用局部凸空间中的向量Ekeland变分原理证明了向量Caristi-Kirk不动点定理,向量 Takahashi非凸极小化定理和向量Oettli-Th\'{e}ra定理. 进一步研究了向量Ekeland变分原理与向量Caristi-Kirk不动点定理,向量Takahashi非凸极小化定理和向量Oettli-Th\'{e}ra定理的等价性.     

一种新的向量互补问题

本文在实局部凸空间中引入了一种新的向量互补问题,这一向量互补问题不仅包含了由Ｙｕ和Ｙａｏ提出的广义向量互补问题由Ｃｈｅｎ和Ｙａｎｇ定义的弱向量互补问题,而且还包含了Ｉｓａｃ意义下的隐互补问题。本文还讨论了新的向量互补问题,向量变分不等式,向量单向极小化问题和最小元问题之间的关系,给出了这一向量互补问题解的存在定理。     

关于共轭化方法的一些探讨

本文分析了共轭向量组的一些性质，并就向量组共轭化的方法作了一些探讨，且对线性无关向量组与其共轭化后向量组的等价性的证明，作了一些新的尝试。     

向量积——求空间直线方程和平面方程的万能工具

求空间直线方程和平面方程的方法繁多,本文指出向量积是此类问题极具规律性的万能求解工具,拟对向量积的这种作用进行归纳