函数的图象与性质

本讲主要讨论函数图象的三种变换:平移、对称、翻折,并介绍如何利用函数的图象解题.1)函数图象的平移变换是指函数y=f(x)与y=f(x a) b的图象间的关系:函数y=f(x a) b的图象是由函数y=f(x)的图象,沿x轴方向向左(a≥0)或向右(a<0)平移|a|个单位,再沿y轴方向向上(b≥0)或向下(b<0)     

“图进标退”的原理及其在中学数学中的应用

在高中数学的教与学中,处理图象变换与方程(或函数)变形之间的关系是一个重要而基本的问题,笔者在教学中归纳了“图进标退”几个字以领导部分形数之间的关系,在对多届学生的教学尝试中,他们接受良好,感到原理简明,准确好用,适用面广,本人认为它在图象变换中理顺了庞杂的关系,有化难为易的作用;此提法是否妥当,希望和同志们共同研讨。一、“图进标退”的原理引理1 对于函数y=f(x),若将其图象沿x轴正方向平移h个单位,所得图象与函数y=f(x-h)对应;若将其图象沿y轴正方向平移k个单位,所得图象与函数y=f(x) k对     

争鸣

问题　　 问题 6 9　已知函数 y =f(x) 的对称轴为x =b ,求 y=f(kx +c) (k≠ 0 )的对称轴方程 .解　因为 f(kx +c) =f(k(x + ck) ) ,所以 y=f(kx +c)的图象是由 y =f(x) 的图象先实施平移变换 ,再实施伸缩变换而得到 .x =b进行相应的平移变换后得x =b - ck ,再将x =b - ck 进行相应的伸缩变换后得x =b- ckk .即x =kb-ck2为 y =f(kx +c)的对称轴 .上述解法对吗 ?若不对请说明产生错误的原因 .(本刊编辑部根据来稿摘登 )　　问题 70 　在人教版数学第一册 (必修 )的三角函数一章中 :正切函数 y =tanx的单调递增区间表示为 (kπ - π2 ,kπ + …     

到底向何方向平移

1 问题出现 问题 求函数y=f(x)的图象按a=(-m,n)(m>0,n>0)平移后得到的图象的函数解析式. 错解 把y=f(x)的图象向右平移m个单位得y=f(x-m)的图象,再把y=f(x-m)的图象向下平移n个单位得y+n=f(x-m),即y=f(x-m)-n,这就是所求.     

谈函数图象的变换

如果己知函数y=f(x)的图象,我们可以通过有关的变换而得到一系列函数的图象。下面用具体例子加以说明。一、简单变化 1.y=-f(x) 因为-f(x)与f(x)互为相反数,所以函数y=-f(x)的图象与y=f(x)的图象关于x轴对称。故只要把y=f(x)的图象关于x轴反射,就可以得到y=-f(x)的图象。     

对相位变换规律的正确认识

先看一个例题 .给出下列六种图象变换方法 :①将图象向左平移 π3个单位 ;②将图象向右平移 π3个单位 ;③将图象向左平移 π6 个单位 ;④将图象向右平移 π6 个单位 ;⑤将图象向左平移π个单位 ;⑥将图象向右平移π个单位 .利用上述变换中的某些方法能由函数y =sin3x的图象得到函数 y =sin(3x +π)的图象 ,则变换方法的序号是 .错解 1:∵sin(3x +π) =sin3(x +π3) ,故只需将函数 y =sin3x的图象向左平移 π3个单位 ,才能得到函数 y =sin(3x +π)的图象 ,故正确的变换方法序号应选① .错解 2 :把函数 y =sin3x的图象向左平移π个单位后得到…     

图象平移四字诀

对于下述平移 :y =f(x)→y =f(x±a) (a >0 )(1)y =f(x)→y±a =f(x) (a >0 )(2 )如果我们将加法称为阳 ,减法称为阴 ;图象向右平移称为阳 ,图象向左平移称为阴 ,则图象的平移与“±”之间的关系可用“阴阳互变”来描述 .如将 y=f(x)的图象向右 (阳 )平移a个单位 ,则 (1)中取“ -”号 (阴 ) .又如将 y=f(x)的图象向下 (阴 )平移a个单位 ,则 (2 )中取“ +”号 (阳 ) .用类似的方法可记忆图象的拉伸与压缩变换 .图象平移四字诀@孙伯友$湖南省郡阳市二中!422000…     

一道高考题解答引起的思考

一、问题的产生上海市2000年高考理科第8题:设函数y=f(x)是最小正周期为2的偶函数,它在区间[0,1]上的图象如图所示的线段AB,则在区间[1,2]上f(x)=本题涉及函数的奇偶性与周期性等知识点,一般的解题思路是由y=f(x)是偶函数.它的图象关于y轴对称,从而画出y=f(x)在区间[-1,0]上的图象,再由y=f(x)的最小正周期为2,将此图象向右平移2个单位,得到经过点(1,1)、(2,2)的线段,从而求出f(x)在x∈[1,2]的解析式f(x)=x,x∈[1,2]从图象上看,函数存在对称轴x=1,这样可直接得出f(x)在x∈[1,2]的过点(1,1)、(2、2),再求它的解析式,这样题解简洁明了.由y=f(x…     

互为反函数的函数图象间的关系定理的又一证明

高中数学第一册§1.8揭示了互为反函数的函数图象间的关系,有如下定理: 函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f~(-1)(x)的图象关于直线y=x对称. 要证明这个定理,关键是要证明函数y=f(x)上的任一点M(a,b)与函数y=f~(-1)(x)上的点M′(b,a)关于直线y=x对称.对此,课本上给出了一个证明,这里再介绍一个证法.     

关于两类函数图象的对称性问题

奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称,以及函数y=f(x)和y=-f(x),y=f(-x)及y=-f(-x)的图象分别关于x轴对称,y轴对称和原点对称,这些都是显为人知的,但对另一些有关对称性的问题,如;函数y=f(x),若对于定义域内的任-x,都有f(m x)=f(n-x),其图象的对称性如何? (问题1)以及函致y=f(m x)与y=f(n-x)其图象的对称性又如何?(问题2)有些人恐怕就不大清楚了,本文想对此两类函数图象的对称性问题谈一些浅见。     

函数图象的变換

在中学数学中,从开始学习一次函数和二次函数时,就遇到函数图象的变換,以后对于指数函数与对数函数的图象,特别是三角函数的图象就需要研究更为复杂的一些图象变換了。但是尽管如此,这还只限在对某些特殊函数图象的研究上,因此笔者愿就一般的一元函数y=f(x)討論它的图象的对称、平移、放縮等变換,供教师們教学时参考。有不当之处,希同志們指正。一、对称 1.軸对称 (1) 关于x軸对称的图象:函数y=-f(x) 与y=f(x),当x取相同的值吋,y有相反的值(即当点的横坐标有相同的值时,两图象中对应点的纵坐标有相反的值。以后各論証仿此),所以它們的图象对称于x軸。 (2) 关于y軸对称的图象:函数y=f(-x) 与y=f(x),当x取相反的值时,y有相同的值,所以它們的图象对称于y軸。因为对于偶函数有f(-x)=f(x),因此,偶函数     

三角函数的图象与性质

1　本单元重、难点分析1)基本三角函数及 y =Asin(ωx +φ)的图象形状及位置特征 ,以及“五点法”作y =Asin(ωx +φ)和 y =Acos(ωx +φ)的图象是本单元学习的重点之一 ,利用平移与伸缩变换作 y =Asin(ωx +φ)与 y =Acos(ωx +φ)的图象是学习的一个难点 .2 )基本三角函数以及 y =Asin(ωx +φ)的定义域、值域、有界性、周期性 ,奇偶性、单调性 ,最值的定义与应用是本单元学习的重点 ,也是高考的热点 ,其中单调性的判断及单调区间的求解是学习的难点 .3)已知三角函数 f =Asin(ωx +φ)的图象求解析式是学习中的一个难点 ,要善于根据图…     

奇偶函数性质的延拓

我们知道一个奇函数f(x) ,对于定义域内任一实数x ,都有f(x) + f( -x) =0 .其实质是奇函数f(x) 的图象关于原点对称 .将其图象适当平移 ,可得如下命题 :命题 1　函数f(x) ,对于定义域内任一实数x ,都有 f(a +x) + f(b -x) =c成立的充要条件是函数f(x) 的图象关于点( a +b2 ,c2 )对称 .证　必要性 .若函数 f(x) ,对于定义域内任一实数x ,都有 f(a +x) + f(b -x) =c.设P(x ,y)是函数f(x) 的图象上任一点 ,则P(x ,y)关于点 ( a +b2 ,c2 )的对称点为Q(a +b -x ,c- y) ,从而 f(a + b -x) =c - f[b - (b -x) ]=c- f(x) =c- y .所以Q(a +b -x ,c …     

平移问题错解剖析

在解答平移问题时,同学们常因没有正确理解平移实质而致错,下面举例说明.1概念不清致错例1将函数y=3x-6的图象按向量a平移后,得到函数y=3x的图象,那么a=.错解因为y=3x-6=3(x-2),所以要得到函数y=3x的图象,只需将函数y=3x-6的图象沿着x轴向左平移2个单位长度,故a=(-2,0).又函数y     

新题征展(10)

A.题组新编1.(1)设函数y=f(x)的定义域为R,则两函数y=f(2-x)与y=f(x-4)的图象关于　　对称;(2)已知函数y=f(x)对于任意x∈R都有f(2-x)=f(x-4),那么函数y=f(x)的图象关于　　对称;(3)设函数y=f(x)的定义域为R,则两函数y=f(x)与y=-f(2-x)的图象关于　　对称.(廉万朝、孙荣供题)2.     

复合函数 f[φ(x)]图象的几何作法

函数是中学数学的重要概念之一,指导学生作好函数图象可以对函数的概念及其性质加强直观理解。中学课本上主要是用描点法来作图的,虽然二次函数和三角函数的图象也介绍了“平移法”。对于复合函数的图象如用描点法作图,常常先要讨论函数的性质,如定义域、单调性、奇偶生、周期性、极值等等,这就此较麻烦了。下面将介绍复合函数的几何作法。所谓复合函数就是:设Y=f(u),定义域为U,u= (x),其定义域为X,值域为U＇,若是UU＇,则称y为x的复合函数,记作y=f〔 (x)〕,其中u称为中间变量。中学课本上常见的函数,诸如y=lg(3x-1),y=sin(ωx+ ),y=1-x~2~(1/2)等等,就是复合函数。如果已知函数y=f(x)及y=(x)的图象,则用下列方法能作出y=f〔 (x)〕的图象。     

对互为反函数图象对称关系的证明过程的注记

关于函数与其反函数的图象间的对称关系有:定理　函数y=f(x)的图象与其反函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称.从教材[1]上对其证明过程来看,证明了两个结论:1.函数y=f(x)图象上任一点M关于直线y=x的对称点M′都在y=f-1(x)的图象上;同时,2.函数y=f-1(x)图象上任一点关于直线y=x的对称点也都在y=f(x)的图象上.若仅仅证明结论1,可否说明y=f(x)与y=f-1(x)图象关于直线y=x对称?回答是否定的,事实上,只要对本节(P62)中例1稍作改造,就构造出一个反例:y=3x-2(x∈R ),y=x 23(x∈R)易见对y=3x-2(x∈R )图象上任一点,关于直线y=x的对称点都在y=x 23…     

新题征展(133)

A 题组新编1.设函数y=f(x)在定义域D上可导,且a∈D,则(1)函数y=f(x)的图象关于点(α,f(α))对称( ←→)函数y=f'(x)的图象关于直线x=α对称;(2)当f'(a)=0时,函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称( ←→)函数y=f'(x)的图象关于点(a,f'(a))对称.     

两道函数题的错解剖析

在函数这章的教学中 ,笔者发现学生在解题过程中出现与函数有关的两个相似的错误 .剖析如下 .错误 1　认为函数 y =f (x 1 )的反函数是 y =f-1(x 1 ) .例 1　已知 f (x) =2 x 3x - 1 ,函数 g(x)的图象与 y =f-1(x 1 )的图象关于直线y =x对称 ,则 g(3 ) =.错解　根据题意 ,g(x)是 f -1(x 1 )的反函数 ,而 f -1(x 1 )的反函数是 f (x 1 ) ,∴　 g(x) =f (x 1 )=2 (x 1 ) 3(x 1 ) - 1 =2 x 5x .故得　 g(x) =1 13 .剖析　 f (x 1 )的反函数是 f-1(x 1 )吗 ?我们不妨来求 f (x 1 )的反函数 ,设 y =f (x 1 ) ,则 x 1 =f -1(y) ,…     

函数f(x)=ax2+b|x-m｜+c的图象与性质探究

函数是高中数学的重要内容,《高中数学课程标准》明确提出:(1)函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型;(2)了解简单的分段函数,并能简单应用;(3)学会运用函数图象理解和研究函数的性质;(4)通过已学过的函数(特别是二次函数),理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义等.如何适应高中课改的要求,达到课程标准中提出的目标要求呢?本文通过对函数y=ax2+b |x-m|+c的图象与性质的探究过程,体现课改的理念.1 问题的提出在一次数学兴趣学习小组的课外活动中,我给学生出了这样一组数学题:1.作出下列函数的图象,说明它们之间的相互关系.(1)y=1/2x2-4x+1(2)y=1/2x2-4|x|+1(3)y=1/2(x-1)2-4|x-1 |+1通过作出函数的图象,我们观察得到:函数(2)的图象是将函数(1)的图象保留y轴右边部分,并将y轴右边部分对称到y轴的左边而得到的(如图);函数(3)的图象是将函数(2)的图象向右平移1个单位而得到的.