关于四面体的几个不等式

本文将用初等方法证明四面体中的几个不等式。定理设四面体ABCD的体积为V,顶点A、B、C、D所对面的面积分别为S_A、S_B、S_C、S_D,棱长BC=a、DA=a＇、CA=b,DB=b＇。AB=c,DC=C＇,这六条棱的乘积为P,则有以下不等式: (1)(aa＇)~2 (bb＇)~2 (cc＇)~2 ≥4(S_A~2 S_B~2 S_C~2 S_D~2); (2)S_A~2 S_B~2 S_C~2 S_D~2≥9(3V~4)1/3; (3)P≥72V~2。当且仅当四面体为正四面体时(1)、(2)、(3)中等号成立。     

四面体内心与旁心的一个有趣性质

文 [1 ]给出了三角形内心与旁心的一个充要条件 .文 [2 ]与文 [3]将其作了改进 ,文 [3]的结论简洁而明快 .即定理　设a ,b ,c为△ABC的三边 ,则点P为△ABC的内心的充要条件是aPA→ +bPB→ +cPC→ =0 .本文将此性质推广到四面体 .约定 :△表示三角形面积 ,△1 ,△2 ,△3,△4 依次表示四面体ABCD四个顶点A ,B ,C ,D所对的三角形面积 .定理 1　点P为四面体ABCD内心 (内切球球心 )的充要条件是△1 PA→ +△2 PB→ +△3PC→ +△4PD→ =0 .图 1　定理 1图证　如图 1 ,设I为四面体ABCD的内心 .延长AI交面BCD于E .设I,E到面ABC…     

射影定理在四面体中的推广

本文将射影定理在四面体中作推广: 定理在四面体ABCD中,过顶点A的三条侧棱AB、AC、AD两两互相垂直,O是顶点A在底面上的射影。则S2△ABC=     

关于四面体体积的两个新不等式

定理一若四面体的体积为V ,三组对棱的距离分别为R_1、R_2、R_3,各组对棱中点连线长分别为l_1、l_2、l_3,则有 k_1k_2k_3≤3V≤l_1l_2l_3 当且仅当四面体是正四面体时,等式成立。证明设四面体为DABC,如图,过A、B、C分别作BC、CA、AB的平行线,得新四面体DA′B′_(D′)C′,其体积V′=4V。先证 k_1k_2k_3≤3V 因为AB是△A′B′C′的中位线,所以AB∥平面DA′B′,AB到平面DA′,B′的距离就是AB与CD的距离k_1,故E到平面DA′B′的距离也为K_1,故C′到平面DA′B′~(C′)的距离为2k_1。     

余弦定理在四面体的一个推广

余弦定理　在△ABC中 ,设内角A ,B ,C的对边分别为a ,b ,c,则b2 =a2 c2 - 2accosB .( 1 )文 [1 ]给出了余弦定理在四面体的一个推广如下 :定理 1 　在任意四面体中 ,它的一个面的面积的平方 ,等于其他三个面的面积的平方和 ,减去这三个面中每个面的面积与它们所夹二面角的余弦的积的和的两部 .文 [2 ]给出了余弦定理在四边形的一个推广如下 :定理 2　设凸四边形ABCD的四边长依次为AB=a ,BC=b ,CD=c,DA =d ,两对角线长AC =p,BD =q ,则(pq) 2 =(ac) 2 (bd) 2 -2abcdcos(B D)(2 )本文给出余弦定理在四面体的一个有别于定理 1的推…     

Weisenbck不等式在三维空间中的推广

设△ABC的三边分别为a、b、c,面积为S,则 a~2 b~2 c~2≥4(3~(1/2)S)当且仅当a=b=c时等号成立,这就是著名的Weisenbock不等式。对此不等式,本文将其推广到三维空间中的四面体,六面体,八面体,十二面体和二十面体中去。定理1 若S_1,S_2,S_3,S_4,V分别表示四面体ABCD的四个面的面积和体积,则     

触“类(比)”旁通 从“会”到“透”

(2012上海高考理-14)如图1,AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱,BC=2,若AD=2c,且AB+BD=AC+CD=2a,其中a、c为常数,则四面体ABCD的体积的最大值是 分析:观察题中的AD=2c,且AB+BD=AC+CD=2a,类比椭圆定义,易知BC线段是“椭球”面上与焦点连线所在的轴垂直的动线段,当BC线段位于“椭球”短轴所在的截面圆时,体积最大. 解:由已知,B、C在分别是以A、D为焦点,长轴长为2a的两个椭圆上(如图2),过点B作BM上AD,垂足为M,连接MC,由AD⊥BC,AD⊥MB,知AD上平面BMC,进而AD上MC,设BM=x,由椭圆的对称性知BM=CM=x,此时,四面体ABCD的体积V=1/3S△MBC·AD=1/3×1/2×2×√x2-1×2c=2c√a2-c2-1/3(0＜x≤／a2-c2).     

三角形的伴垂心的若干极值特征

如图 1,△ ABC的三条高分别为 AD、图 1BE、CF,垂心为 H ,点 D关于 BC边的中点的对称点为 D′,点 E关于 CA边中点的对称点为 E′,点 F关于 AB边中点的对称点为 F′,则由 Ceva定理易知AD′,BE′,CF′三线共点 ,记为 H′,称 H′为△ ABC的伴垂心 [3 ] ,又叫伪垂心 [1 ] [2 ] .约定 :伴垂心 H′到△ ABC三边 BC、CA、AB的距离分别为 r1 、r2 、r3 ,三边 BC、CA、AB的长分别为 a、b、c,其上的高分别为 ha、hb、hc,面积为△ ,外接圆半径为 R.△ D′ E′ F′的面积为△′.我们需要下述引理 :引理 1[3 ] 　在△ ABC中 ,有A…     

考点31 简单几何体及其体积

1.(全国卷,3)一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π,则球的表面积为().(A)82π(B)8π(C)42π(D)4π2.(全国卷,4)设三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V,P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点,且PA=QC1,则四棱锥B-APQC的体积为().(A)61V(B)41V(C)31V(D)21V3.(广东卷,4)已知高为3的直棱柱ABC-A′B′C′的底面是边长为1的正三角形(如图所示),则三棱锥B′-ABC的体积为().(A)41(B)21(C)63(D)43第3题图第4题图4.(全国卷,5)如图,在多面体ABCDEF中,已知ABCD是边长为1的正方形,且△ADE、△BCF均为正三角形,EF∥AB,EF=2,则该多…     

2007年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题

一、选择题(本题满分36分,每小题6分)1.已知a,b是方程log3x3 log27(3x)=-34的两个根,则a b=()A.2170B.841C.8110D.82182.设D为△ABC的边AB上一点,P为△ABC内一点,且满足AD=43AB,AP=AD 25BC,则SS△△AAPBDC=()A.130B.52C.175D.1853.定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当x∈[0,2π)时,f(x)=sinx,则f(83π)的值为()A.23B.-23C.21D.-214.已知ABCD-A1B1C1D1是一个棱长为1的正方体,O1是底面A1B1C1D1的中心,M是棱BB1上的点,且S△DBM∶S△O1B1M=2∶3,则四面体O1ADM的体积为()A.274B…     

四面体体积比的一个定理

我们知道,若一个四面体被一个平面所截,如果截口是一个三角形,则只要知道了截面分四面体三条棱之比,就可较容易地求出截面分四面体两部分体积之比。但如果截面是四边形,那么情况就要复杂得多。本文介绍四面体体积比的一个定理,从中可以看到用分割法解立几题的作用。 定理 设A—BCD是体积等于V的四面体,它被平面a所截,ABCDA是由四条棱AB、BC、CD、DA首尾顺次相连的空间封闭折线,a与AB、BC、CD、DA的交点依次为P_1,P_2,P_2,P_4     

四面体的内接四面体的体积

若Ai'是四面体A1A2A3A4面上的点，则称四面体A1'A2'A3'A4'为内接四面体．设它们的体积分别为V、V1，则有定理1若A1'与人重合，Ai'在校A4Ai定理2若A'与A4重合，底面△A1A2A3的顶点Ai的对边上点为Ai'，且为了得出更一般的结论，我们首先引入“面积坐标”的概念．即：面积为S的△A1A2A3内一点P，它与Ai的对边构成的三角形面积为Si．记=1，2，3），则称有序实数组（a1，a2，a3）为点P关于△A1A2A3的面积坐标．定理3若A4'与人重合，A4'是Ai对面上的点（i=1，2，3），且它们关于它所在侧面三角形的面积坐标分别为A'（a2，a3，a4）…     

三角形旁切圆切点的一个性质

定理　设△ABC的旁切圆⊙Ia、⊙Ib、⊙Ic 分别切BC、CA、AB于点X、Y、Z .过YZ和BC的中点X1和D作一直线X1D ,及类似的直线Y1E和Z1F(如图 1) .则X1D、Y1E、Z1F三线共点且该点恰为△DEF的内心 .先给出下面的引理 .引理 1[1] 　分别过三角形三边中点的三条周界平分线交于一点 ,这一点称为第二等周中心 (证明略 ) .图 1　　　　　　图 2引理 2　若四边形的一组对边相等 ,则相等的这一组对边交角的平分线必平行于另一组对边中点的连线 .证明　如图 2 ,设四边形ABCD中 ,AD=BC ,E、F分别为AB、CD的中点 ,AD、BC的延长线交于点…     

周界中点三角形的又两个性质

如图1,设D、E、F分别为边BC、CA、AB上的周界中点,且BC=a,CA=b,AB=c,s=a 2b c,EF=a1,FD=b1,DE=c1,△ABC的面积、外接圆半径、内切圆半径分别为△、R、r,△DEF的面积为△1,则有图1定理条件如前所述,设△ABC与△DEF的三条高线长分别为ha、hb、hc,及ha1、hb1、hc1,则(i)hb2ac1 hca     

关联四面体四个量的一个体积公式

笔者最近得到一个关键四面体四个量的一个体积公式: 定理 设四机体任意两面的面积为S_1、S_2,两面所成的二面角的平面角为θ(0<θ≤π/2),两面所夹的棱长为d,则四面体的体积为:V=2/3dS_1S_2sinθ。 证明 在四面体ABCD中,设面ABD和面     

四边形的一个性质

命题　如图 1,A1 、A2 、B1 、B2 、C1 、C2 、D1 、D2 是凸四边形 ABCD边上的点 ,且AA1 =BA2 =r AB,　 DC1 =CC2 =r CD,AD1 =DD2 =t AD,　 BB1 =CB2 =t BC,(0 相似文献   

高考的直觉与直觉思维——基于2010年高考大纲全国卷理12题的思考

2010年高考大纲全国卷理12题:已知在半径为2的球面上有A,B,C,D四个点,若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积最大值为     

2011年全国高中联赛一道题的三种解法

<正>(2011年高中数学联赛第六题)在四面体ABCD中,已知∠ADB=∠BDC=∠CDA=60°,AD=BD=3,CD=2,则四面体ABCD的外接球的半径为.解法一由题意知:四面体的面△ABD是正三角形,又由余弦定理易知CA=CB=槡7.分别取AB,CD的中点K,M,取三角形△ABD中心N,连接CK,DK.在等腰三角形ABC中,对直角三角形     

2011年全国高中联赛一道题的三种解法

（2011年高中数学联赛第六题）在四面体ABCD中,已知∠ADB=∠BDC=∠CDA=60°,AD=BD=3,CD=2,则四面体ABCD的外接球的半径为.解法一由题意知：四面体的面△ABD是正三角形,又由余弦定理易知CA=CB=槡7.分别取AB,CD的中点K,M,取三角形△ABD中心N,连接CK,DK.在等腰三角形ABC中,     

初三几何第一学期期中自测题

A组一、填空题(每小题3分,共24分)1.sin54°,cos35°,cos40°,tan50°从小到大的排列顺序是.2.已知∠A是Rt△ABC的一个内角,且tanA>1,那么∠A的取值范围是.3.如图,矩形ABCD中(AD>AB),AB=a,∠BDA=Q,作AE交BD于E,使AE=AB.试用a和Q表示AD=,BE=.4.已知tanA-cotA=2,那么tan2A+cot2A的值是.5.如图,在△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB于D,CD=3,BD则sin∠ACD=,tanA=.6.在△ABC中,∠C=90°,AC=6,∠A的平分线交BC于点D,AD=43,则BC=.7.在直角梯形ABCD中,∠DAB=90°,上底CD=3,下底AB=7,BC=42,则底角B=,梯形ABCD的面积=.8.甲…