一道高等数学竞赛题的一题多解

陕西省第四次高等数学竞赛 (初赛 ) ( 2 0 0 1年 9月 )有这样一道选择题 :已知limx→ 0x2 f ( x) +cosx-1x4 =0 ,则limx→ 02 f ( x) -12 x2 =(　　 )( A) 0　　 ( B) -12 4　　 ( C)不存在　　 ( D) 11 2下面给出这道题的三种解法 ,希望对读者能有所启发。解 1　选 ( B)。由cosx=1 -12 x2 +x44!+0 ( x4 )得0 =limx→ 0x2 f ( x) +cosx -1x4 =limx→ 0x2 f ( x) -12 x2 +x44!+0 ( x4 )x4 =limx→ 0 (f ( x) -12x2 +14 !+0 ( x4 )x4 ) =limx→ 0f ( x) -12x2 +12 4所以　　　　　　　 limx→ 02 f ( x) -12 x2 =-12 4评注　利用 cosx的带 …     

一道国际数学竞赛题的推广

我们首先来看2003年第16届爱尔兰数学奥林匹克试题9(见文[1])：     

一道竞赛题的推广及应用

2004年全国高中数学联赛吉林赛区初赛第四大题是:设ai∈R ,i=1,2…,5.求a1a2 3a3 5a4 7a5 a2a3 3a4 5a5 7a1 … a5a1 3a2 5a3 7a4的最小值.本文笔者将给出这道试题的一个推广及应用.命题设xi>0(i=1,2,…,n),n∈N,n≥3,数列{λn}成正项等差数列,则x1λ1x2 λ2x3 … λn-1xn x2λ     

一道奥地利不等式竞赛题的证明、变式与推广

研究了2020年奥地利奥林匹克数学竞赛中的一道不等式题,对其内部结构进行挖掘,给出了多种证明方法和变式的探究思路,得到了试题的推广.     

一道数学考研试题的改进与证明

对一道数学考研试题进行改进,并用多种方法给出其证明.     

一道巴尔干数学奥林匹克竞赛题的再推广

2005年巴尔干数学奥林匹克试题的第3题是： 设a，b，C是正数，求证： α^2/b＋b^2/c＋c^2/α≥α＋b＋c＋4（α-b）^2/α＋b＋c （1） 文[1]从变量的个数方面给出了一个推广：     

一道叙利亚数学竞赛题的推广

2016年叙利牙数学奥林匹克试题中,有如下一道优美的条件不等式.     

一道数学竞赛题的五种解法及一般形式

给出第十届江苏省大学生数学竞赛一道试题的五种解法并对试题作出推广.     

一道竞赛题推广的简证

题　 (第 2 6届独联体数学奥林匹克竞赛试题 )证明 :对任意实数ａ >1,ｂ >1,有不等式 ａ2ｂ - 1 ｂ2ａ - 1≥ 8.文 [1]将其推广为 :设ａｉ>0 (ｉ=1,2 ,… ,ｎ) ,则(ａ1 1) 2ａ2 (ａ2 1) 2ａ3 … (ａｎ - 1 1) 2ａｎ (ａｎ 1) 2ａ1≥ 4ｎ (1)文 [2 ]将 (1)式进一步推广为 :设ａｉ(ｉ=1,2 ,… ,ｎ)∈Ｒ ,ｍ≥ 2 ,ｍ∈Ｎ ,则(ａ1 1) ｍａ2 (ａ2 1) ｍａ3 … (ａｎ - 1 1) ｍａｎ (ａｎ 1) ｍａ1≥ｎ·ｍｍ· 1(ｍ - 1) ｍ - 1(2 )李超同学在文 [2 ]中采用待定系数法证明了 (2 )式 .经探究发现 ,采用拆项法可以简洁地证明 (2 )…     

一道伊朗竞赛题的证明、变式、加强与推广探究

本文首先介绍了1996年第14届伊朗数学奥林匹克中一道代数不等式问题的背景,并给出了一种较易理解的证法,然后从该代数不等式出发,通过演绎变形得到一系列几何不等式,最后对该代数不等式进行了加强与推广.     

一道高等数学竞赛试题的推广

对2015年浙江省高等数学竞赛中的一个条件极值问题作出了推广.     

一道全国大学生数学竞赛题的推广

对一道大学生数学竞赛题分别从导数的阶数及变量的个数两方面做出推广.     

一道大学生数学竞赛题的推广

针对2015年第七届全国大学生数学竞赛预赛(非数学类)第五题,本文利用介值性定理或者积分中值定理,将结论推广到一般情形,并给出证明.     

数学文化对数学教育的启示

数学文化为数学教育的反思提供了一种理念 ,数学文化提示数学教育应格外注重数学精神和理性思维方面在数学教学中的意义 ,数学文化将对数学教育的发展产生深远的影响     

内点算法中一类非奇异矩阵的证明及其应用

在内点算法中,迭代方向WK=(X,Y,Z)的存在唯一性需要考虑一类矩阵的非奇异性.本文用简单的代数方法给出这类矩阵非奇异性的证明,并给出了迭代方向WK=(X,Y,Z)的具体表达式.     

概率思想在数学证明和计算中的应用

通过多个典型实例说明了古典概型、概率密度函数、分布函数、Cauchy—Schwarz不等式、Chebeshev不等式、数字特征等在数学证明和计算中的应用,提出了在概率论教学中对概率思想在数学证明和计算中的应用应加以介绍.     

一个矩的不等式的证明及应用

我们通过对随机变量X的分类和m,n的不同取值分别比较矩EXm+n和EXmEXn的大小,同时指出可以利用这些结果解决其他的数学问题.     

协方差不等式的证明和推论

利用构造二次函数的方法,证明了改进的协方差不等式,并在证明过程中得到3个推论,进一步探讨了随机变量具有线性关系时的若干结论.     

一个关于(k;g)-笼的猜想的证明

(k;g) -笼是指具有围长 g的 k-正则图中那些顶点数最小的图 .文 [2 ]中有下面的猜想 :设 G为一个 ( k;g) -笼 ,则它的每一个 g-圈 C是不可分离的 ( nonseparating) ,也就是说 ,对 G中任意的 g-圈 C,G- C仍是连通的 .对于偶数 g,[2 ]已给出了此猜想的证明 .本文中 ,证明 :对于奇数 g,此猜想也是正确的 .