Due questioni di relatività generale

Sunto Si estendono ad un corpo elastico & capace di coppie di contatto e non di conduzione termica i due seguenti teoremi validi in Relatività generale e già dimostrati nel caso di assenza di coppie di contatto: a) Le equazioni gravitazionali equivalgono alla stazionarietà σ_gI=0 di un certo integrale I rispetto a certe variazioni della metrica cronotopica, e b) Le equazioni di conservazione equivalgono alla stazionarietà di I rispetto a certe variazioni del moto di &.

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Summary The following two theorems are proved in general relativity for an elastic body, &, that is capable of couple stress but not of heat conduction: a) Gravitation equations hold if and only if the variation σ_gI of a certain integral, I, vanishes for certain variations of space-time metric, and b) Conservation equations hold if and only if the variation of I vanishes for certain variations of the motion of &. In the absence of couple stress the above theorems were already known.

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Lavoro eseguito nell’ambito dell’attività dei gruppi di ricerca del C.N.R.

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Entrata in Redazione il 26 luglio 1971.     

Elasticità con elettro-magneto-strizione

Sunto Si pongono le basi — direttamente in Relatività generale — di una generale teoria di materiali elastici capaci di elettro-magneto-strizione (con deformazioni finite e coppie di contatto); in assenza di campo magnetico e coppie di contatto essa sostanzialmente si riduce a una teoria di R. Toupin. In Relatività generale — ove la cosa è più agevole — si dimostra che è unica la parte simmetrica del tensore energetico E_αβ alla quale corrisponde la forma, direi, più spontanea delle equazioni costitutive (nonostante, com'è noto, a priori E_αβ sia largamente indeterminato). Ciò accresce l'interesse di una certa determinazione di E_αβc recentemente considerata dall'autore in connessione con i solidi. Lavoro eseguito nell'ambito dell'attività del gruppo di ricerca N. 29 del C.N.R., per l'anno accademico 1965–66.     

Sulle connessioni di una varietà quasi complessa

Sunto L'esistenza di una struttura quasi complessa su di una varietà V conduce in modo naturale alla considerazione di alcune classi di connessioni su V, geometricamente caratterizzate e dotate di interessanti proprietà. Risultati di natura più generale riguardano invece coppie di connessioni. Lavoro eseguito nell'ambito del Gruppo di Ricerca n. 1 del C.N.R., per l'anno 1964–65.     

Sul contatto di superficie algebriche lungo curve

Sunto Si studiano alcune questioni generali relative al contatto d'ordine assegnato di due ipersuperficie algebriche F e G dello spazio S_r lungo una varietà & (r−2)-dimensionale, ottenendo fra l'altro una semplice condizione necessaria e sufficiente affinchè &, contata q volte, esaurisca l'intersezione di F e G. In secondo luogo si considera il caso di due superficie algebriche immerse in una V ₃ algebrica ed aventi un contatto semplice lungo una curva priva di punti multipli; ed in particolare, qualora V ₃ sia lo spazio ordinario, si prova che certe condizioni segnalate daB. Segre come condizioni necessarie affinchè una data superficie F possa essere tangente ad un'altra superficie lungo un' assegnata curva & (non singolare), sono anche sufficienti se l'ordine di F è inferiore a5. Infine si dà l'effettiva costruzione delle superficie circoscritte ad una superficie F d'ordine m=2, 3, 4, e si mostra come i metodi impiegati possano essere utilizzati anche quando si abbandoni l'ipotesi m<5.     

Sui sistemi continui nel caso asimmetrico

Sommario Si prosegue da un punto di vista generale una ricerca di G. Grioli sulla elasticità asimmetrica con deformazioni finite (e con momenti interni di contatto). Tra l'altro si fanno osservazioni sull'energia libera e su un certo parametro τ in connessione con le equazioni costitutive e col problema della loro determinazione sperimentale. Si caratterizza pure il conformarsi dei materiali considerati al principio di isotropia fisica dello spazio. Si confrontano le relazioni trovate con altre differenziali già note, delle quali si determina l'integrale generale. Tra l'altro si dà una caratterizzazione di tipo energetico della simmetria degli sforzi derivanti da un potenziale elastico.     

Sui moti liberi di un mezzo continuo

Sunto. Vengono così chiamati quei moti di un sistema continuo in cui ogni particella si muove di un suo moto rettilineo uniforme. Essi in generale non sono stazionari ed il campo istantaneo delle loro velocità è legato da una relazione funzionale, in termini finiti, a quello iniziale. Tale relazione è l'integrale, corrispondente alle condizioni iniziali date, della equazione differenziale che esprime l'annullarsi della accelerazione dei singoli punti. Accanto al caso stazionario presentano particolare interesse i casi della stazionarietà parziale della sola orientazione della velocità e quello del solo valore di questa, trovando che in questo le linee di flusso giacciono su una famiglia di piani, che sono superficie isotachie. Sono dati esempi dei vari casi. Viene infine esaminata la variazione della distribuzione delle masse nell'ipotesi di un mezzo materiale.     

Sui prodotti completi contenenti prodotti di gruppi permutabili

Sunto In un precedente lavoro sono stati determinati i gruppi G = AB, (con A e B fra loro permutabili ed isomorfi rispettivamente a due gruppi dati A* e B*) come sottogruppi, di un certo tipo, di un prodotto completo di due gruppi di sostituzioni, noti a partire dai dati. Qui si mostra che in alcuni casi tali gruppi G = AB sono contenuti in un prodotto completo che è un sottogruppo di , che in altri casi tale riduzione non è possibile, ed infine si assegnano condizioni necessarie e sufficienti e condizioni solo sufficienti affinchè tale riduzione sia la massima possibile. Si considerano questi problemi prima nel caso in cui A e B hanno in comune solo l’unità e poi nel caso generale, in cui A e B hanno in comune un sottogruppo proprio. Nell’ultima parte del lavoro si danno alcune estensioni del problema dell’ampliamento che si scinde.     

Sopra le trasformazioni in sè della varietà di Jacobi relativa ad una curva di genere effettivo diverso dal genere virtuale,in ispecie nel caso di genere effettivo nullo

Sunto. Si precisa la natura del problema di determinare le trasformazioni in sè della varietà quasi abeliana diJacobi, relativa ad una curva di genere virtualeπ, ottenuta da una curva di genere effettivop considerando su questaδ ₁ coppie neutre a punti distinti eδ ₂ coppie neutre a punti coincidenti, in modo che siaπ=p+δ ₁+δ₂. Come nel coso abeliano (δ ₁=δ₂=0), tale problema ha un aspetto aritmetico, che si collega alla considerazione di relazioni, che generalizzano quelle note diHurwitz. Nel casop=0 si trovano tutte le trasformazioni in sè dellaV _π diJacobi, mostrando che queste costituiscono un gruppo formato sempre da infinite schiere ∞^π (tranne nel casoπ=δ ₁=1, δ₂=0), dipendenti da parametri in parte variabili in modo continuo ed in parte in modo discreto. Le trasformazioni sono tutte birazionali seδ ₁=0 oδ ₂=0, mentre seδ ₁ ≠ 0 eδ ₂ ≠ 0 si presentano anche trasformazioni trascendenti.     

L'indeterminazione delle funzioni di sforzo per membrane comunque curve

Sunto Vengono analizzati e giustificati i comportamenti diversi delle superfici che ammettono spostamenti rigidi in sé e di quelle che non ne ammettono, di fronte ai problemi della congruenza e dell'equilibrio. Per membrane del tutto generiche si rende conto dell'esistenza di più funzioni di sforzo e della loro indeterminazione dovuta alle identità che legano le corrispondenti condizioni di congruenza, confermando i risultati trovati in precedenti Note. Si trovano inoltre le condizioni di congruenza e l'integrale generale delle equazioni indefinite di equilibrio per superfici che, pur non ammettendo spostamenti rigidi in sè, non sono del tutto generiche. A B. Finzi, nel suo 70^mo compleanno. Lavoro eseguito nell'ambito dell'attività dei gruppi di ricerca matematica del C.N.R. Entrata in Redazione il 5 aprile 1970.     

Sullo spazio dei modelli di un calcolo generale

Sunto Si studiano e si confrontano condizioni di compattezza, di finitezza e di introducibilità dei connettivi in un linguaggio generale.

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Résumé On examine dans un language général des conditions valables dans le cas classique.

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Lavoro eseguito nell'ambito dell'attività dei gruppi di ricerca matematici del C.N.R. (gruppo n. 37, anno 1968–1969).     

Due questioni di relatività generale

Sunto Si considera un generico conduttore ideale elastico magnetizzabile & in Relatività generale. Si mostra che quando il moto di & è rigido secondo Born sussistono certe proprietà di invarianza per grandezze elettromagnetiche, le quali, nel caso di non magnetizzabilità, si riducono a certe proprietà già note sia in Fisica classica che in Relatività generale, cf.[11] e[14]. Inoltre si scrivono le equazioni (in termini finiti) che determinano la velocità di propagazione in & delle onde magneto-elastiche d’accelerazione e le discontinuità d’accelerazione. Con ciò si generalizzano alcuni risultati noti per fluidi.

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Summary An arbitrary magnetizable and elastic ideal conductor, &, is considered in general Relativity. Certain invariance properties of some eletromagnetic quantities are shown to hold for &, under the condition of the Born rigidity. This is a generalization of a result that for nonmagnetizable bodies is already known in both classical physics and general Relativity, cf.[11], [14]. Furthermore the author deduces the algebraic equations for the propagation speed in & of (acceleration) magneto-elastic waves and for the discontinuity vector of acceleration. Thus some known results concerning fluids have been generalized.

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Lavoro eseguito nell’ambito dell’attività dei gruppi di ricerca del C.N.R.

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Entrata in Redazione il 26 luglio 1971.     

Sull'identità birazionale delle ipersuperficie multiple diramate da una medesima varietà

Sunto Si dimostra che: data in S_r-1 un'ipersuperficie generale F(x₁, x₂, …, x_r-1)=0 e su di essa una varietà D che sia di diramazione per una funzione u(x₁, x₂, …, x_r-1) — definita da un'ipersuperficie generale A_μ(x₁, x₂, …, x_r-1, u) =0 d'ordine μ >4 (di S_r) — qualunque funzione u' dei punti di F diramata dalla D è birazionalmente identica alla u. La dimostrazione viene ricondotta al caso delle curve multiple, in virtù di un criterio d'identità qui appositamente stabilito, ed è basata sulla costruzione della Riemanniana di una curva multipla generale.     

Sul problema generale dell'equilibrio spontaneo di una massa fluida gravitante e ruotante

Sunto Si studia, da un punto di vista generale, l'equilibrio relativo di una massa fluida gravitante isolata nello spazio e in rotazione stazionaria rigida intorno ad un asse e si determinano, in queste ipotesi, le condizioni alle quali devono soddisfare la velocita di rotazione ω, la pressione p e la densità ρ. Si fanno infine alcune applicazioni dei risultati ottenuti e si ritrovano, come casi particolari, alcuni classici risultati noti. A Giovanni Sansone nel suo 70^mo compleanno     

Criteri jacobiani di regolarità ed eccellenza per anelli di serie ristrette

Riassunto Nel presente lavoro studiamo il problema seguente: seA è un anellom-adico eccellente, è pure eccellente l’anello (A, m) {X ₁,…,X _n } delle serie ristrette? I risultati che presentiamo sono relativi ad anelli baseA di char. 0, ma con quozienti di char.p>0; essi sono basati su tecniche che sfruttano fortemente i criteri jacobiani di regolarità. Perciò ci riferiamo sempre ad anelli base ?di tipo analitico? (nel senso di [5], def. 1.1), cioè ad anelli muniti di un numero sufficiente di derivazioni, tale da garantire la validità di criteri jacobiani. Proviamo che, seA è locale regolare di tipo analitico eA/pA è finito come modulo su (A/pA) ^p , allora (A, m) {X ₁,…,X _n } è eccellente; evitando così, rispetto a [10] (teorema 10), ogni condizione restrittiva sui corpi residui. Estendiamo inoltre in modo naturale la definizione di anello di tipo analitico al caso non locale e troviamo condizioni necessarie e sufficienti per la permanenza dell’analiticità nel passaggio alle serie ristrette. Proviamo infine che gli anelli analitici sono eccellenti se lo sono modulop.

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Summary In the present paper we investigate the following problem: ifA is anm-adic excellent ring, is the restricted power series ring(A, m){X ₁,…,X _n } also excellent? Here we are able to produce some results when the basic ringsA are of char. 0, but with quotients of char.p>0. We need to use techniques which exploit strongly the jacobian criteria of regularity; hence we limit ourselves to the class of the basic rings ?of analytic type? (in the sense of [5], def. 1.1), i.e. rings with enough derivations to make jacobian criteria true. We prove that, ifA is a regular local ring of analytic type andA/pA is a finite module over (A/pA)^p, then (A, m){X ₁,…,X _n } is excellent. With regard to [10], theorem 10, we can avoid every restrictive condition over the residue fields. Moreover we extend in a natural way the definition of a ring of analytic type in the case of a regular domain of char. 0 not necessarily local and we find necessary and sufficient conditions for the permanence of the analytic property in the passage to the restricted power series. At last we prove that the analytic rings are excellent if they are so modulop.

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Lavoro eseguito nell’ambito dell’attività dei Gruppi di Ricerca Matematica del CNR (GNSAGA).     

Un'estensione del teorema di dualità di Poincaré

Riassunto In questo lavoro si generalizza la dualità di Poincaré a spazi topologici localmente omeomorfi con insiemi analitici realin-dimensionali con singolarità isolate; tali spazi non sono in generale orientabili, nè sono muniti di una struttura analitica globale. Rispetto ad un analogo risultato diL. Kaup ([6]), il nostro Teorema 2 si dimostra a prescindere dall'esistenza di normalizzazioni topologiche (nel senso di [6]).

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Summary In this paper we generalize Poincaré duality to topological spaces locally homeomorphic with real analyticn-dimensional sets with isolated singularities; these spaces are in general neither orientable nor globally analytic. Compared with a similar result ofL. Kaup ([6]), our Theorem 2 is proved without supposing the existence of a topological normalization (in the sense of [6]).

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Lavoro eseguito come borsista del C.N.R. nell'ambito del G.N.S.A.G.A.     

Formule di maggiorazione connesse ad una classe di trasformazioni lineari

Sunto Si costruisce un funzionale F(w) i cui valori sono limitati inferiormente dal modulo di una trasformazione lineare, che verifica opportune ipotesi. Come applicazione vengono ottenute formole di maggiorazione globale per le soluzioni di talune equazioni differenziali lineari. Lavoro eseguito per l'INAC nell'Istituto matematico dell'Università di Trieste. I risultati di esso, furono comunicati al Congresso della Società Matematica Austriaca a Salisburgo (9–15 settembre 1952) ed esposti in una conferenza, tenuta presso l'Istituto Matematico dell'Università di Napoli (4 maggio 1953).     

Self-orthogonal foliate conformal symplectic almost para-Hermitian manifolds

Si studia una classe di varietà Ricci-flat: le varietàà quasi para-Hermitiane conformi simplettiche alle foglie auto-ortogonali, di chi le varietà para-Kahler sono un caso particulare. Consideriamo il caso generale e in seguito il caso de campo vettoriale de Lee concorrente.     

Su un problema di frontiera libera connesso a questioni di idraulica

Sunto Si dimostra esistenza e unicità della soluzione di un problema di frontiera libera che traduce il moto di filtrazione di liquidi attraverso mezzi porosi. Il problema è ricondotto alla minimizzazione di un funzionale quadratico su un convesso chiuso di uno spazio di Hilbert, il che fornisce anche dei procedimenti per l'approssimazione numerica del problema stesso. Entrata in Redazione il 16 dicembre 1971. Indirizzo dell'autore:C. Baiocchi, Istituto di Matematica, Università, Pavia. Questo lavoro è stato eseguito nell'ambito delle attività del Laboratorio di Analisi Numerica del C.N.R. di Pavia; i risultati qui ottenuti sono stati annunciati in una nota preventiva sui C. R. Acad. Sc. Paris, t. 273, pp. 1215–1217.     

Sulle successioni di funzioni quasi continue negli spazi astratti

Sunto Si studia una definizione del tutto generale di funzione quasi continua; si enuncia e dimostra poi un teorema, concettualmente nuovo, per le successioni di funzioni che sono quasi continue nel senso generale studiato. A Mauro Picone nel suo 70^mo compleanno. Lavoro eseguito presso l'Istituto Nazionale per le Applicazioni del Calcolo.     

Iperpiani ad inflessione di poligoni

Sunto Si definiscono iperpiani ad inflessione di poligoni dello spazio reale proiettivo L_n di dimensione n e si dànno relazioni fra queste singolarità e gli spazi osculatori dei poligoni. Come applicazione dei risultati si dimostra che esiste un poligono unico d'ordine n i cui vertici sono n + 3 punti dati in posizione generica in L_n. Alla memoria di Guido Castelnuovo, nel primo centenario della nascita.