图形中的递推关系

一、数阵中的递推关系 例1将全体正整数排成一个三角形数阵： 按照以上排列的规律，数阵中第n行（n≥3）从左向右的第3个数为_______. 解析我们来观察点阵中从左向右的第3个数的规律，设第n行中数为an（n≥3），     

第3届罗马尼亚大师杯数学竞赛试题及解答（一）

1．对一个由有限个素数组成的集合P，用m（p）表示具有下述性质的连续正整数的个数的最大值：这些连续正整数中的每个数都能被P中的至少一个元素整除．     

一个组合公式及其应用

公式C_n~m=n!q!(p-q)!/m!p!(m-n!)C_p~q表示从n个不同元素中取出m个元素的组合数与从p个不同的元素中取出q个元素的组合数之间的一种关系。现行中学课本及一些中学数学教学参考书在解决“排列、组合和二项式定理”一章中的有关问题时,都没有使用这一公式,少数参考书也只在解决某个问题时使用了它的特例。笔者发现运用这个公式解决某些问题不仅思路清楚,且能简化运算过程。本文仅就异于中学课本及一些参考书,使用这一公式解答一些问题,以拓开学生解题思路。篇末附习题可供练习之用。     

排列

排列是一个十分基本的概念。需要强调指出的是从n个不同元素中任取m个元素的排列是指从n个不同元素中有次序地选取m个元素,它的实质并不在是否排成一列,而是将选出的m个元素分别安放在m个不同位置上,安放的位置不同则代表不同的排列。排列不同于组合,排列计较顺序。     

无限集与康托尔——从一则“阅读与思考”谈起

<正>人教A版新教材必修第一册第一章第3节末有一则“阅读与思考”材料,材料谈及的是集合中元素的个数．在文末处出现了这样一个问题:对于元素无限的集合,如A={1,2,3,4,...,n,．．．},B={2,4,6,8,...,2n,．．．},我们没法数出集合中元素的个数,但可以比较这两个集合中元素个数的多少．那究竟该如何比较呢?1无限魅力这里涉及到了无限的话题．自古以来,人类对无限都有过思考,?庄子?中的“一尺之棰,     

关于无K—间隔的组合数

从排列在一条直线上的n个元素中选取m个元素,以f_k(n,m)表示任意两个被选元素的间隔均不为k之方式数。如果这n个元素排列在园周上,则相应的组合数以g_k(m,m)表示。关于这两类组合数,I.Kaplansky于1943年首先研究了k=0时的计数问题,J. Konvalina于1981年应用递归方法得到了k=1时的计数表达式。对于一般的自然数k,这一问题似乎更加复杂。     

竞赛中的组合计数问题

组合计数问题是数学竞赛中常见的一类问题,解决这类问题的基本方法有： （1）运用枚举法．把要计数的集合M中的元素逐一列举出来。不重复不遗漏,从而计算出集合M中元素的个数．     

集合在受限排列组合问题的应用

在执教人教版新教材第十章“排列、组合和概率”时，排列组合应用问题中许多比较复杂的限制条件，往往让初学者眼花缭乱，不知所措，一时难以理清思路，即使有时能求对结果，但仍然糊里糊涂．课本中的阅读材料“从集合的角度看排列、组合和概率”给了我灵感，我在教学时有意识的让学生使用集合这一工具来表示相关事件，将问题中复杂限制条件间的关系转化为集合间的运算，从而可以通过求出一些集合的元素的个数使问题获得解决，收到了很好的效果．     

有关重复排列的一类计数问题

利用生成函数解决了从n个元素的集合中任意重复选取r个元素且这r个元素中含有不同元素的个数一定时，所构成的不同r-序列的方法数．     

限距组合初探

限距组合初探李平龙（江苏省灌云县中学２２２２００）自集合｛１，２，３，．．．，ｎ｝中选出ｋ个数ｊ１，ｊ２，．．．，ｊｋ，使之满足：称数组（ｊ１，ｊ２，．．．，ｊｋ）为从ｎ个元素中取出ｋ个元素且限距为ｍ的组合，其组合数简记为Ｃ（ｎ，ｋ，ｍ），显见文［１...     

递归树的若干枚举特征

递归树由Meir和Moon定义作非平面增长树的一种，且所有节点出度都是允许的．本文首先在n个节点的递归树集合和n-1个元素的排列之间建立一个新的──对应，这个对应能同时给出树叶子和排列中的路段之间的对应和树叶子数和排列中的路段数之间的密切关系．同时还研究递归树的各种枚举特征，诸如节点的分类枚举（内节点和叶子节点、偶节点和奇节点，具不同出度的节点）和通路长度枚举（接各种节点分类）．     

为排列组合恒等式找模型

大家知道,对于组合数的两个性质的理解,可以从以下两个方面进行:一方面是运算公式本身;另一方面,则是它们的“组合”模型.受其影响,笔者对排列数与组合数的其它一些恒等式也动心——寻找了它们的“排列、组合”模型.1指定特殊元素型例1若m相似文献   

排列、組合的教学

1.前言排列、组合是高中代数教学中比較难讲的一个課題,“怎样分辨排列問題和組合問題?”,“怎样正确地审查題意并列出簡捷的算式?”,“在一个問題里所获得的若干个数字,应当相乘,还是应当相加?”这一連串的問題都是不易使学生搞清的。但是,这一单元不仅和下一单元二項式定理密切相关,还是将来学习具有广泛应用的概率論的重要工具,因此还是必須教好学好的。現仅提出我在教学中的一些体会,供大家研究。 2.概念从m个元素里,每次取出n个元素,按照一定的順序摆在一排,叫做从m个元素里每次取出n个元素的排列;从m个元素里,每次取出n个元素,不管怎样的顺序并成一組,叫做从m个元素里每次取出n个元素的組合。     

全错位排列

定义 编号为1、2、3、…、n的n个元素a1,a2,a3,…,an分别排编号为1、2、3、…、n的n个位置,要求元素ai（i=1,2,…,n）不能排在与其对应的第i个位置,这样的排列称为n个元素的全错位排列;所有排列的个数称全错位排列数.     

一道组合竞赛题的延伸

1978年波兰数学奥林匹克有一道组合题: 对于n元集合N的任何两个子集A和B,求得A(n)B的元素个数,求证所有的个数之和为n.4n-1.     

数学奥林匹克讲与练(Ⅱ)

例题讲解9．设n、k为自然数，k＜n．求作集合A_1，A_2，…，A_n，使其中任意k个集合之交非空，而任意（k＋1）个集会之交为空集，并使并集A中含元素最少．解1）设则对任意的，而对任意的，这时且A中恰含C_n个元素．2）设有n个集合B_1，B_2，…，B_n，其中任k个集合之交非空而任（k＋1）个集合之交为空集．对某个成，B_j，从其余的（n－1）个集合中任取（k－1）个与B_j之交非空，故此交中至少含有一个元素；因为从（n－1）个集合中取（k－1）个集合的方式有C_n种，故此可得B_j的个元素；又因为B_1，…，B_n中任意（k＋1）个集合之交必…     

抽屉原理

抽屉原理俗称鸽巢原理,又叫狄利克雷原理.简单地说就是:把3个苹果放入两个抽屉中,必有一个抽屉中至少有两个苹果;把3个苹果放入4个抽屉中,必有一个抽屉中没有苹果.1抽屉原理的几种形式1)第一抽屉原理(少的抽屉原理)设有m个元素分属于n个集合(其两两的交集可以非空),且m>kn(m,n,k均为正整数),则必有一个集合中至少有k 1个元素.2)第二抽屉原理(多的抽屉原理)设有m个元素分属于n个两两不相交的集合,且m相似文献   

立几组合问题及其它

从七十年代始,中学生数学竞赛试题中的立体几何题,常渗透组合数学的思想,方法和技巧,概括起来,大约有六类问题,连同运动与轨迹问题,现分别举例说明如下。一、计数问题所谓计数,在组合数学中是计算具有某种性质的有穷集合中元素的个数,常用的方法有加法原理与乘法原理,排列与组合,容斥原理,母函数方法,归纳与迭代等。例1 有一百张平面,都经过同一点,但是其中任何三个平面都不经过一条直线;试问:这100张平面把空间分成几个部分? 分析这是一个典型计数问题,计算具有一定性质的一百张平面将空间分成的部分数。采用加强命题     

反射原理在组合计数中的应用

平面镜成像是自然界一个很自然的物理现象 ,其特点就是相源与相之间关于平面镜是完全对称的 ,用数学语言描述就是像源设为Ｐ ,设像为Ｐ′ ,则平面镜就是线段ＰＰ′的中垂线 ,这一反射原理虽然简单直观 ,但它在数学中有很重要的应用 .本文探讨反射原理在组合计数中的应用 .回顾组合数Ｃｍｎ ,其基本的组合意义是从ｎ个不同的元素中取ｍ个不同的元素所得到的不同的ｍ元组合的个数 .这里我们给出另一个组合意义 ,它又表示两类元素全排列的个数 .定理 1　有两类元素 ,一类是ｍ个ａ ,另一类是ｎ -ｍ个ｂ .同类元素之间是没区别的 ,将这两类元素进…     

浅析隔板法的应用

众所周知，隔板法可以解决如下问题：求将n个相同元素分给m个不同对象（n≥m），每个对象至少有一个元素的方法数．此类问题可以视作在行-1个空中插入m-1块板，共有Cm-1n-1种方法．