幂级数∑n=0^∞（2n）!／（n!）^2（1／2）^2的收敛性讨论

利用stirling公式和阿拉伯判别法可证级数∑n=0^∞(2n)!/(n!)^2(1/2)^2发散，但其相应的交错级数条件收敛．     

函数arcsinx的幂级数的收敛性讨论

用拉贝判别法,沃利斯公式,以及初等方法三种不同的方法,讨论了函数arcsinx的麦克劳林展开式在收敛端点的收敛性,即一个特殊数项级数的收敛性,并根据幂级数的连续性得到数项级数的和.     

sum from n=1 to +∞(1/n~(2m))的初等解法

本文用初等的方法研究sum from n=1 to(1/n~(2m))(m∈N)的求和问题。这个问题最先由Euler[8]解决。文献[1][6]给出了另两种求解方法。特别地,对于m=1的情形,即sum from n=1 to ∞(1/n~2)=((π~2)/6),已有许多不同的证明方法,可见文献[2][3][4][5]以及那里的参考文献。本文的想法,主要受文献[5][6]的启发而来的。     

级数sum from n=1 to ∞(n~αsin(n~β))的收敛性

通过推导给出了使级数∑∞n=1nαsin(nβ)收敛的α与β的值.     

求sun from n=1 to ∞ (1/n) K~2与sun from n=1 to ∞ (1/n) K~3的两种简单方法

几何法(l)求艺k: 含.!令k二l,2,3、…,n.对每一个k的位,作如图l所示的边一长为介的正方形4个,如图2所示的边长分别为1,无艺的矩形2个。技图3所示方式,将它们排列成涡形状。于是所有这些小块方形,拼成了一个如图3所示的矩形(利用数学归纳法,读者不难证lljl)。 丫对每一个k的值,所作6个小块方形而积之和为6k2,┌──┐│寿名│└──┘:.所拼矩形的面积二6艺k,11下卜一尸一一一叫已二立二习图2 另一方面,由图3一可知,这个矩形的长为如十卜宽为。’+,二。(。十l),所以又有 所拼矩j卜的面积=n(n+l)(Zn+l)。从而有6艺k艺=,,(“+1)(2,,+1) 山1┌…     

多种方法巧证概率积分intgral from n=-∞ to +∞(1/(2π)~(1/2)·e~(-(x~2/2))dx=1)

利用变量代换、微分中值定理、积分几何意义、积分性质及夹逼定理、Γ -函数和β-函数关系等方法 ,对服从标准正态分布的随机变量 X ,其密度函数的概率积分公式 ,给出了多种证明方法 .     

不等式sum from k=1 to n(x_k~2/y_k)≥(sum from k=1 to n (x_k))~2/(sum from k=1 to n (y_k))的应用

本文试图通过一串竟赛题谈一谈(*)的广泛应用。这些竞赛题虽有一定难度,但只要利用不等式(*)来证明,则问题十分简捷合理,新     

级数sum from n=1 to ∞((1/n~2) e~(-(z~2/n~2))与Riemann Zeta函数

<正> Riemano Zeta函数的两个积分表达式,并同时得到函数方程的三个不同证明.     

级数∞∑n=1nαsin(nβ)的收敛性

通过推导给出了使级数∞∑n=1nαsin(nβ)收敛的α与β的值.     

形如sun from i=1 to n(a_ib_(n-i+1))序列极限的几个命题

<正> 在高等数学中关于极限的讨论,一般是既普遍又复杂的一个问题。我们在此就sum from i=1 to n a_1b_(n-i+1)形式的极限进行讨论。定理1(Mertens)设sum from a_n t 和sum from b_n 两无穷级数收敛且至少有一个绝对收敛,又C_n=a_1b_n+a_2b_(n-1)+…+     

无穷级数sum from n=1 to ∞(1/(2n-1)~(2k))的一种计算方法

根据无穷多项式理论,将余弦函数的幂级数展开式构造成无穷乘积的形式.并且利用ln(1+x)幂级数展开,得到sum from n=1 to ∞(1/(2n-1)～(2k))(k为正整数)的一种计算方法.     

sum from n=1 to ∞(1/n~(2m))的一种求和法

本文通过求出函数 F (x) =x2 m 的 Fourier级数展开式 ,得出了 ∑∞n=11n2 m =Amπ2 m 中 Am 的递推关系式 .     

关于sum from n=1 to ∞(1/n~2=π~2/6)的证明及应用

鉴于欧拉求得的无穷级数∑∞n=11n2收敛于π26的特殊性和重要性,用列举与对比的方法又给出了∑∞n=11n2=π26的若干不同的证明方法及其应用.     

关于sum from n=1 to ∞(1/n~2=π~2/6)的证明及应用

鉴于欧拉求得的无穷级数∑∞n=11n2收敛于π26的特殊性和重要性,用列举与对比的方法又给出了∑∞n=11n2=π26的若干不同的证明方法及其应用.     

lim(n→∞) sum from i=1 to n g(,n)的讨论

<正> 关于的计算问题,通常采用夹心法及化为定积分来计算。为对此类极限进行探讨,我们以如下特例考虑:     

PU(1 ,n ;C)元素的一些性质(英文)

得到了PU( 1 ,n ;C)元素的一个类型判别 ,并讨论了斜驶元素和抛物元素的某些性质 .     

从IMO试题谈公式C_(2n)~n=sum ((C_n~i)~2) from i=0 to n 之应用

从ＩＭＯ试题谈公式Ｃｎ２ｎ＝ｎｉ＝０（Ｃｉｎ）２之应用余世平（华中师范大学一附中４３００７０）公式Ｃｎ２ｎ＝ｎｉ＝０（Ｃｉｎ）２（＊）为一常见组合恒等式，其证明的方法繁多，这里不一一叙述．现在我们来看一看这个公式在最近几年国际国内重要竞赛中的应用...     

关于(sum from i=1 to n a_ib_i)~2下限值的探讨

对a、b两组实数a_i,b_i(i=1,2…,n),切贝雪夫不等式给出sum from(a_ib_i)(本文略去求和上、下限)上下限: 若a_i,b_i同序,有sum from(a_ib_i)≥1/n(sum from(a_i))(sum from(b_i));若a_i,b_i逆序,有sum from(a_ib_i)≤1/n(sum from(a_i))(sum from(b_i)),柯西不等式给出了(sum from(a_ib_i))~2的上限值