关于Liénard方程零解的全局稳定性

本文也来研究Liénard方程(1)的零解的全局稳定性(方程(1)中假设f(x),g(x)是连续可微函数)。本文所得的结果与文[1]中的例4中所得结果相比较不仅减弱了条件,并且证明更简明。我们开始证明之前先,先介绍将在证明中所用到的定理。 考虑系统     

关于二次函数迭代的一个定理的简证

对二次函数f(x)=x2 bx c进行n次迭代,得到f[n](x),其中f[1](x)=f(x).函数f(x)有无不动点(即方程f(x)=x有无实数根)对方程f[n](x)=x解的情况有何影响?文[1]、文[2]对此进行了探讨,得到一些颇有价值的结论.其中文[2]证明了下述结果:定理设f(x)=x2 bx c,Δ0=(b-1)2-4c,若方程f(x)=     

非线性时滞差分方程的全局渐近稳定性

考虑非线性时滞差分方程xn+1-xn+pnxn-k=f(n,xn-l)(*)n=1,2,…其中pn＞0,k,l∈N={0,1,2,…},f(n,x)N×R→R关于x连续,本文获得了上述方程零解全局渐近稳定的充分条件,推广了文[1]的结果.     

广义Liénard方程非平凡周期解的存在性

本文给出了广义 L iénard方程 x f (x)φ(x) x g(x)ψ(x) =0存在非平凡周期解的两个充分条件 ,推广了文 [4,5 ]中的结果 ,并且指出文 [1 ]中的一个疏漏     

二次函数迭代的一个问题初探

对二次函数f(x)=x2 bx c进行n次迭代,得到f[n](x),函数f(x)有无不动点(即方程f(x)=x有无实根)对方程f[n](x)=x的解的情况有何影响?文[1]探讨了这个问题,并提出未解决的问题:方程f(x)=x有两个不等实根,方程f[n](x)=x何时只有两个不同的实数根,何时又有2n个不同的实数解?本文探讨     

一个定理的再推广

文[1]对文[2]中的定理推广为:若方程x f(x)=m和x f-1(x)=m的根分别为a,b.则a b=m.经类比探讨,笔者得到如下结论.定理若方程x·f(x)=m和x·f-1(x)=m分别有唯一根a,b.则a·b=m.该定理的证明用到类似文[2]的引理:若函数y=f(x)与y=g(x)图象的交点为P(x0,y0),则点P′(y0,x0)一定是函     

一类二阶微分方程解的振动性质

利用积分平均技巧研究二阶微分方程(r(t)(x(t) )x′(t) )′ q(t) f(x(t) ) g(x′(t) ) =0 .解的振动性质 ,得到了一些保证此方程所有解振动的充分条件 .特别 ,本文的结果改进了文 [1 ]的主要结果 .     

关于二次函数迭代的一个定理的简证

对二次函数f（x）=x^2＋bx＋c进行n次迭代，得到f^[n]（x），其中f^[1]（x）=f（x）．函数f（x）有无不动点（即方程f（x）=x有无实数根）对方程f^[n]（x）=x解的情况有何影响？文[1]、文[2]对此进行了探讨，得到一些颇有价值的结论．其中文[2]证明了下述结果：     

n阶非线性泛函微分方程的渐近性和非振动性

§1.引言本文讨论n阶非线性泛函微分方程 L_nx(t)+P(t)L_(n-1)x(t)+f(t,x(t),x(g(t)))=h(t) (1)解的渐近性和非振动性,其中L_0x(t)=x(t),L_kx(t)=a_k(t)(L_(k-1)x(t))′,k=1,2,…u,a,p,h,g∈C~0E[t_0,∞),且a_k(t)>0,k=1,2,…n-1,a_n(t)=1;t_0≤g(t)≤t,当t→∞时,g(t)→∞;f∈C~0([t_0,∞)×R_2,R)。我们给出了方程(1)的所有振动解和有界解具有渐近性态:L_kx(f)→0,k=0,1,2,…n-1,的若干充分性准则,并给出了它不存在有界振动解的几个保证性条件。所得定理和推论都分别推广了文[1]-[4]的相应结果。     

一类微分方程零解全局弱吸引和全局吸引到充要条件

考虑二阶微分方程 x =φ(y)-F(x),y=- g(x)q(y) 零解的全局弱吸引和全局吸引性, 说明了Filippov条件(A₂) 不能排除最大椭圆扇形S^* 的存在性, 也不能排除∂S^* 作为其外侧邻域轨线正向极限集的可能. 全面回答了文献[8]末提出的问题;得到了方程(E)满足或不满足Filippov 条件时零解全局弱吸引和全局吸引的一系列充分必要条件, 同时也得到了零解全局渐近稳定的一些新条件.     

关于广义Liénard系统非平凡周期解存在性的注记

本文首先研究广义Liénard系统(x)+f(x)Φ((x))(x)+g(x)Ψ((x))=0初值问题解的存在唯一性问题,其次优化了文[1-4]的条件,利用微分方程几何理论给出此系统存在非平凡周期解的简洁条件,推广和改进了文[1-4]的结果.     

抛物线内定长弦的一个性质

文[1]对一道高考题的解答作了比较详尽的剖析.原题如下(2004年浙江理第12题):若f(x)和g(x)都是定义在实数集R上的函数,且方程x-f[g(x)]=0有实数解,则g[f(x)]不可能是()(A)x2 x-15.(B)x2 x 15.(C)x2-15.(D)x2 15.文中赵老师在分析了相关资料中的三种错误解法之后,出示了一种“答     

对一道微分问题的修正

文[1]习题3-1(P81)第3题(是非题)如下:设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且在[a,b]上f′(x)≤g′(x),则有f(b)-f(a)≤g(b)-g(a).与文[1]配套的[2](P105)给出的解答是:答不对.虽然由拉格朗日定理得f(b)-f(a)b-a=f′(ξ),ξ∈(a,b)(1)g(b)-g(a)b-a=g′(ξ),ξ∈(a,b)(2)且有f′(x)≤g(x).但f′(ξ)不一定小于等于g′(ξ),因为(1)(2)式中的ξ不一定是相同的.我们认为上述解答是错的,也就是说,原命题是成立的.下面给出证明.证明令F(x)=f(x)-g(x),由题意,F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,再由拉格朗日定理得F(b)-F(a)b-a=F′(ξ),…     

高阶微分方程解的渐近性态

对高阶微分方程x~(n)+F(t,x,…,x~(n-1)=0及x~(n)+H_n(t,x~(n-1)+…+H_1(t,x)=f(t),本文得到了有解(?)x~(n-1)存在且不为零的的定理1、1＇,从而把文[1]、[2]、[3]在二阶微分方程的结果完善地推广到一般高阶微分方程。另外本文还得到了上面微分方程有解逼近方程 x~(n)=0的解的定理2,2＇。本文的推论证明本文定理1、1＇的条件是必要的.     

极限环的存在性定理

考虑非钱性方程、声产、,产,人,‘了‘、了叮、、分+f(劣)分+g(劣)~o,或等价的方程祖~夕一F(:),~一g(万),此地F(二,一{;f(。)、. H.H.KPacoBcK诚在[月中研究二阶方程祖零解的全局稳定性时,在某些条件之下,征明了存在趋向无穷远的正半轨修.我们将利用这一事实,在某些甚至很商单的附加条件(参看本文定理1)之下,来征明(z)的极限环的存在性.并且将举出筒单的例子以魏明得到的存在性准RlJ在怎样的程度内扩充了可判定方程的范围. 例如,(l)中的函数f(幻及g(幻的关系只要满足下面不等式之一,郎存在x。>0,使 f(二)(一g(二),当x>x。,(3)或 f(x)《g…     

关于复合函数的一个错误命题

文[1]称:若已知f[g(x)]的定义域为A,则f(x)的定义域就是函数g(x)(x∈A)的值域.错误!例1设函数f(x)=2x,函数g(x)=x2,则复合函数f[g(x)]=2x2.显然,复合函数f[g(x)]的定义域是R,函数g(x)(x∈R)的值域[0,+∞),但函数f(x)的定义域是R,而不是函数g(x)(x∈R)的值     

三次矩阵方程的解的判定

给定A∈Mn(F),g(x)=x3+ax2+bx+c∈F[x],本文讨论矩阵方程g(X)=A的解的存在性问题.在Li′s研究的基础上,当f(x)=p1(x)p2(x)…ps(x)时,我们给出g(X)=A有解的充要条件为对每一个pi(x),pi(g(x))在F[x]中存在ni次因式,ni=degpi(x).     

一类差分方程的渐近性

本文对高维非自治差分方程x(τ+1)=f(τ,x)+g(τ,y);y(τ+1)=k(τ,x,y) (1)得到了保证其平凡解渐近稳定,一致渐近稳定的判别准则,而对V逐数的差分不要求负定性,推广了文[1]中相应的结果.     

退缩拟线性椭圆型方程某类边值问题的无穷多解

文[1]证明了如下D氏问题 -D_i(g|Du|~2)D_iu=f(x,u),x∈Ω, u=0,x∈Ω存在非平凡解,本文讨论上述方程的另一类边界问题 -D_i(g|Du|~2)D_iu=f(x,u),x∈Ω, g(|Du|~2)D_iu(0)(n,x_i)+h(x,u)=0,x∈Ω, (1)其中Ω∈R~n是具有光滑边界的有界区域,n(x)是Ω在x点的外法向,D_iu=u/x_i,Du=gradu=u,重复指标表示求和,与问题(1)相应的泛函为:     

非齐次守恒律方程分片光滑解的粘性方法

1　引　　言考虑非齐次守恒律方程ut+f(u) x =g(u) ,　　 -∞ 0 ,(1 .1 )u(x,0 ) =u0 (x) ,　　 -∞ 0 , (1 .5)g∈ C3且 g是 Lipschitz连续的 ,Lipschitz系数为 L . (1 .6 )对于一般守恒律齐次方程 ,粘性解逼近熵解的收敛阶为 O(ε ) [1 ] .在 f严格凸的条件下 ,其收敛速度可以提高到 O(ε|lnε|+ε) [2 ] ,[3] .本文考虑具有条件 (1 .5) (1 .6 )的非齐次方程(1 .1 ) ,在较广泛的一类初值条件下…