用调整优值法求最优整数解

“线性规划问题”的最优整数解是《简单的线性规划》一节中的一个难点 .现以教科书 (试验本 )第二册 (上 )第 6 5页习题 7.4的第四题为例说明如何用调整优值法来求“线性规划问题”的最优整数解 .(题目略 )本题的线性约束条件为1 8ｘ + 1 5 ｙ≤ 1 80 ,1 0 0 0ｘ + 6 0 0 ｙ≤ 80 0 0 ,ｘ∈Ｎ ,ｙ∈Ｎ , 6ｘ + 5 ｙ≤ 6 0 ,5ｘ + 3ｙ≤ 40 ,ｘ∈Ｎ ,ｙ∈Ｎ .线性目标函数为ｚ =2 0 0ｘ + 1 5 0 ｙ ,其中ｘ、ｙ分别表示大、小房间的间数 .作出可行域如图 1 .图 1为求ｚ的最大值 ,先将目标函数化为ｙ =-43ｘ + ｚ1 5 0 ,易知当该直线ｌ在ｙ轴…     

二元不等式（组）解集的图示及应用

对于不等式 ｇ(ｘ ,ｙ)≤ 0 ,或 ｇ(ｘ ,ｙ)≥0 ,若曲线 ｇ(ｘ ,ｙ) =0将平面分成两部分 ,则不等式的解集通常是其中的一部分 ,利用平面上的点集表示二元不等式 (组 )的解集 ,可为求以二元不等式 (组 )为约束条件的某些二元函数的最值提供方便 ,新教材中关于线性规划问题的求解正是这一思想的体现 .例 1　已知ｘ + ｙ≤ 4ｘ - 2 ｙ≤ 03ｘ - ｙ≥ 0( 1 )( 2 )( 3)求ｘ2 + ｙ2 的最大值 .图 1　例 1图解　如图 1 ,不等式 ( 1 )的解集是直线ｘ+ ｙ =4下方的半平面 .不等式 ( 2 )的解集是直线ｘ - 2 ｙ =0上方的半平面 .不等式 ( 3)的解集是直…     

例说高考线性规划最值题型的求解

线性规划是教材的新增内容,是高考命题的热点内容.对于线性规划最值题,我们应该选择怎样的方法求解呢?本文结合近几年全国各省市高考试题及模拟试题介绍三种方法,供大家参考.1.截距化归法利用化归思想,先把目标函数的代数式化成直线的截距式“y=kx b”,然后平移直线“y=kx”,在约束条件的可行区域内寻找其截距的最值:例1(2005年山东高考理科卷第15题)设x,y满足约束条件x y≤5,3x 2y≤12,0≤x≤3,0≤y≤4,则使得目标函数z=6x 5y的值最大的点(x,y)是.图1例1图解原目标函数代数式可化为y=-65x 5z,依题意,作出约束条件的可行区域,如图1阴影部分…     

尝试自主教学享受生成创新--基于“简单的线性规划问题”教学

一、教材分析
　　本节课是继上一节二元一次不等式（组）表示平面区域的后续内容,是“简单的线性规划问题”第1课时,内容主要包括线性规划的意义、线性约束条件、目标函数、可行域、可行解、最优解等概念和一些简单应用。简单线性规划在工程设计、经济管理、科学研究等方面的应用非常广泛。通过本节课的学习,使学生进一步了解数学在实际问题中的应用,以培养学生应用数学的意识和解决实际问题的能力。笔者制订了本节课的教学目标,由实际问题引入来探讨学生自主探究的主要思路。     

非线性的规划问题

我们知道,线性规划研究的是线性约束条件下线性目标函数的最值,那么类似的会有非线性的规划问题,主要是下面三类问题:(1)非线性约束条件下求线性目标函数的最值;(2)线性约束条件下求非线性目标函数的最值;     

用均值不等式求“最值”须注意的几点

利用均值不等式求最值要注意使用的条件 .下面试通过几例进行剖析 .一、正数是前提例 1已知ｘ∈Ｒ ,求函数ｙ=ｘ+1ｘ的最值 .错解　由ｘ +1ｘ≥ 2 ,得函数ｙ的最小值为 2 .(ｘ =1时取到等号 )评析　错误的原因是误把ｘ当成了正数 .在利用均值不等式求最值时 ,必须首先搞清给定的数或式是否是正的 ,如果是负的 ,必须先变成正的 .二、定值是关键例 2　已知 0 <ｘ <1 ,求函数ｙ =ｘ( 1 -ｘ) 2 的最大值 .错解　∵　ｘ( 1 -ｘ) 2 ≤ [ｘ +( 1 -ｘ) 22 ]2 ,∴　当ｘ =( 1 -ｘ) 2 ,即ｘ =3 -52 时 ,ｘ+( 1 -ｘ) 22 =3 -52 为定值 .∴　函数ｙ=ｘ( …     

巧用数学思想 探求三角最值

本文通过一道三角函数例题 ,说明函数最值的一些通常求法 .例　求函数ｙ =ｓｉｎｘ2 ｃｏｓｘ的最值 .思路 :本题可从化归思想出发 ,设法把函数变成ａｓｉｎ(ωｘ φ) =ｂ型 ;或借助万能公式 ,把函数转化成只含正切的函数 ;或寻求函数的几何背景 ,用数形结合的办法求出函数的最值 .解法 1　应用有界性将原函数变形 ,得2 ｙ ｙｃｏｓｘ =ｓｉｎｘ ,即ｓｉｎｘ -ｙｃｏｓｘ =2 ｙ ,∴ ｙ2 1ｓｉｎ(ｘ - φ) =2 ｙ ,其中 φ =ａｒｃｔｇｙ .∴ｓｉｎ(ｘ - φ) =2 ｙｙ2 1,则 2ｙｙ2 1≤ 1.解之得- 33≤ｙ≤ 33,∴ ｙｍａｘ=33,ｙｍ…     

指数函数与对数函数

选择题1　函数 ｙ =ｌｏｇ0 .5(4ｘ - 3)的定义域是 (　　 )(Ａ) {ｘ|ｘ≥ 1} .　　　 (Ｂ) {ｘ|ｘ≤ 1} .(Ｃ) {ｘ|ｘ >34 } . (Ｄ) {ｘ|34 <ｘ≤ 1} .2　函数 ｙ =ｌｏｇ12 (6-ｘ -ｘ2 )的单调递增区间是(　　 )(Ａ) [- 12 , ∞ ) . (Ｂ) [- 12 ,2 ) .(Ｃ) (-∞ ,- 12 ]. (Ｄ) (- 3,- 12 ].3　设 3ｘ=0 .0 3ｙ=10 - 2 ,则 1ｘ - 1ｙ 等于 (　　 )(Ａ) 1. (Ｂ) - 1.(Ｃ) 1-ｌｇ3. (Ｄ) ｙ =- 1 ｌｇ3.4　下列函数中 ,值域是 (0 , ∞ )的是 (　　 )(Ａ) ｙ =31ｘ - 2 . (Ｂ) ｙ =2 ｘ- 1.(Ｃ)ｙ =ｘ3ｘ. (Ｄ)ｙ =(15 ) ｘ - 1.5　函数 ｙ =1…     

反函数的性质应用举例

我们知道 ,函数 ｙ =ｆ(ｘ)若存在反函数 ,则 ｙ =ｆ(ｘ)与它的反函数 ｙ =ｆ-1(ｘ)有如下性质 :性质　若 ｙ =ｆ-1(ｘ)是函数 ｙ =ｆ(ｘ)的反函数 ,则有ｆ(ａ) =ｂ ｆ-1(ｂ) =ａ .这一性质的几何解释是 ｙ =ｆ(ｘ)与其反函数 ｙ =ｆ-1(ｘ)的图象关于直线 ｙ=ｘ对称 .例 1　函数 ｙ =2 - 34ｘ -ｘ2 - 3( 1≤ｘ≤ 2 )的反函数是 ｙ =ｆ(ｘ) ,则 ｆ( 2 ) =.解　设 ｆ( 2 ) =ｘ ,则由性质知ｆ-1(ｘ) =2 ,即 2 - 34ｘ -ｘ3 - 3=2 ( 1≤ｘ≤ 2 ) ,化简得ｘ2 - 4ｘ + 3=0 ,解得ｘ =1 .所以 ｆ( 2 ) =1 .例 2　函数 ｆ(ｘ) =ｘ - 2ｘ +ａ的图象关…     

烟台市1999年高考适应性练习数学试题(文、理合卷)

选择题 :本大题共 14小题 ;第 1— 10题每小题 4分 ,第 11— 14题每小题 5分 ,共 60分 ,在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .1　函数 ｆ(ｘ) =3ｓｉｎ2 πｘ 1的最小正周期为 (　　 )(Ａ) 1.　 (Ｂ) 2 .　 (Ｃ) 3 .　 (Ｄ) 4.2　设Ｍ ={ｘ|0≤ｘ≤ 2 },Ｎ ={ｙ|0≤ ｙ≤2 },给出下列 4个图形 .其中能表示集合Ｍ到集合Ｎ的函数关系的有 (　　 )(1)　　　　　 (2 )　　　　　 (3 )　　　　　 (4 )(Ａ) 0个 .　　　　　 (Ｂ) 1个 .(Ｃ) 2个 .　　　　　 (Ｄ) 3个 .3　双曲线的焦点在ｘ轴上 ,它的两条渐近线与ｘ轴的夹角都是…     

线性规划的非线型求解

在新课程数学教学内容中我们已经接触到：在线性规划问题中,二元一次不等式（组）表示的平面区域也称为线性约束条件,同时也较为熟练地掌握了求线性目标函数最值的常用方法．这部分的知识学习主要着重培养学生掌握“数形结合”的数学思想．从这几年高考命题情况发现：以线性规划为载体的非线性目标函数的范围的求解不断变化演变,对培养学生观察、联想、猜想、归纳等数学能力的要求也逐步提高．     

一类不宜提倡的问题

参考资料上常见如下类型的题目 :“若函数 ｙ =ｆ(ｘ 1)的定义域是 [- 2 ,3],则 ｙ=ｆ( 2ｘ - 1)的定义域是 .”本题目的实质是“已知ｆ[ｇ(ｘ) ]的定义域求ｆ(ｘ)的定义域 ,再求ｆ[(ｘ) ]的定义域”的问题 .其解法是∵ｆ(ｘ 1)的定义域是 [- 2 ,3],∴ - 2≤ｘ≤ 3.∴ｘ 1∈ [- 1,4 ].又由 - 1≤ 2ｘ - 1≤ 4　得 0≤ｘ≤ 52 .∴ｙ =ｆ( 2ｘ - 1)的定义域是 [0 ,52 ].上述解答中 ,由ｆ[ｇ(ｘ) ]定义域求ｆ(ｘ)定义域的过程中 ,用到了如下假设 :即内函数 ｇ(ｘ)的值域与外函数ｆ(ｘ)的定义域相等 .而此假设在复合函数中是不恒成立的 .众…     

由值域求定义域的问题值得商榷

不少的参考书及杂志上出现了如下的题目 :已知函数 ｙ =4 ｘ- 3·2 ｘ 3的值域为 [1,7],则它的定义域是 (　　 )(Ａ) [- 1,1]∪ [2 ,4 ].　　 (Ｂ) [2 ,4 ].(Ｃ) (-∞ ,0 )∪ [1,2 ]. (Ｄ) (1,2 ) .其所谓的正确解答过程为 :解　由题设得4 ｘ- 3·2 ｘ 3≤ 7,4 ｘ- 3·2 ｘ 3≥ 1 4 ｘ- 3·2 ｘ- 4≤ 04 ｘ- 3·2 ｘ 2≥ 0 - 1≤ 2 ｘ≤ 42 ｘ≥ 2或 2 ｘ≤ 1 - 1≤ 2 ｘ≤ 1或 2≤ 2 ｘ≤ 4 ｘ≤ 0或 1≤ｘ≤ 2 .故函数定义域为 :(-∞ ,0 ]∪ [1,2 ].但我们很容易验证 ,当该函数的定义域为 [1,2 ]时 ,函数的值域也是 [1,7],可见 ,本题…     

构造向量巧解线性规划问题

二元线性规划问题是高中数学一个重要内容,属不等式范畴,其基本方法是数形结合,即根据线性约束条件在坐标平面中作出可行域,通过对目标函数图像的研究,得到目标函数的最优解.高中数学简单的线性规划深刻体现了数形结合的数学思想方法,与其他知识点很容易形成交汇,在解决取值范围、最值等方面有很好应用,因而成为高考命题的一个热点,并多以选择、填空题出现.     

一道例题的错解剖析及启示

《中学生数学》2 0 0 1年第 1 1月上期所登《解题时切勿忘了“Δ”》一文中的例 2是 :例 2求ｙ=ｘ + 4( 1 - ｘ2 ) 2 + 1的范围 (ｘ∈Ｒ) .简解　将 ｙ =ｘ + 4( 1 - ｘ2 ) 2 + 1 移项平方后得3ｘ2 - ( 1 6- 2ｙ)ｘ - ｙ2 + 3 2 =0 .∴　Δ =( 1 6- 2 ｙ) 2 - 1 2 ( - ｙ2 + 3 2 )≥ 0 .∴　ｙ≥ 2 + 2 2或 ｙ≤ 2 - 2 2 .笔者认为 ,上述解法是错误的 .其错因在于作者忽略了 ｙ -ｘ≥ 4这一隐含条件 ,致使原函数在移项平方后值域的范围扩大了 .例如 :当ｙ =- 2时 ,由 3ｘ2 -( 1 6- 2ｙ)ｘ - ｙ2 + 3 2 =0得ｘ =2或ｘ =1 43 .此时ｙ -ｘ <4 ,…     

高一同步测试题

指数函数与对数函数选择题1　函数 ｆ(ｘ) =2 3 2ｘ -ｘ2 ( 1≤ｘ≤ 3) ,则 ｆ- 1(ｘ)的定义域是 (　　 )(Ａ) [1,4 ].　　　　 (Ｂ) [1, ∞ ].(Ｃ) [0 ,4 ]. (Ｄ) ( 0 , ∞ ) .2　将函数 ｙ =2 ｘ 的图象向左平移 1个单位得图象Ｃ1;再将Ｃ1向上平移 1个单位得图象Ｃ2 ;作出Ｃ2 关于直线 ｙ =ｘ对称的图象Ｃ3,则Ｃ3对应的函数解析式是 (　　 )(Ａ) ｙ =ｌｏｇ2 (ｘ - 1) 1　 (ｘ >1) .(Ｂ) ｙ =ｌｏｇ2 (ｘ - 1) - 1　 (ｘ >1) .(Ｃ) ｙ =ｌｏｇ2 (ｘ 1) - 1　 (ｘ >- 1) .(Ｄ) ｙ =ｌｏｇ2 (ｘ 1) 1　 (ｘ >- 1) .3　 0 .9<ａ <1,ｘ =…     

简易函数方程(续文)

续第 2期 )2　求函数方程中的某些函数值例 6　函数 ｆ定义在有序正整数对的集合上 ,且满足下列性质 :ｆ(ｘ ,ｘ) =ｘ ,ｆ(ｘ ,ｙ) =ｆ( ｙ ,ｘ) ,(ｘ ｙ) ｆ(ｘ ,ｙ) =ｙｆ(ｘ ,ｘ ｙ) .计算 :ｆ( 1 4,5 2 ) .( 1 988年第 6届美国数学邀请赛试题 )解　由 (ｘ ｙ) ｆ(ｘ ,ｙ) =ｙｆ(ｘ ,ｘ ｙ) ,可得 ｆ(ｘ ,ｘ ｙ) =ｘ ｙｙ ｆ(ｘ ,ｙ) .∴ ｆ( 1 4,2 5 ) =ｆ( 1 4,1 4 38)=5 238ｆ( 1 4,38) =5 238·382 4ｆ( 1 4,2 4)=5 22 4·2 41 0 ｆ( 1 4,1 0 ) =2 65 ｆ( 1 0 ,1 4)=2 65 ·1 44 ｆ( 1 0 ,4) =915 ｆ( 4,1 0 )=915 ·1 …     

一道习题的变式教学

在数学教学中 ,若注重对课本习题进行变式训练 ,不但可以抓好双基 ,而且还可以提高学生的数学能力 .下面是一道课本总复习参考题的变式教学的一点探讨 .题　 (人教版《解析几何》总复习题第 13题 )求曲线ｙ2 =4 - 2ｘ上与原点距离最近的点Ｐ的坐标 .变题 1　在曲线 ｙ2 =4 - 2ｘ上求一点Ｍ ,使此点到Ａ(ａ ,0 )的距离最短 ,并求最短距离 .解　设点Ｍ的坐标为 (ｘ ,ｙ) ,则|ＯＰ | =(ｘ -ａ) 2 + ｙ2=(ｘ -ａ) 2 - 2ｘ + 4=(ｘ -ａ - 1) 2 + 3- 2ａ(ｘ≤ 2 ) .若ａ≥ 1,则当ｘ =2时 ,|ＭＡ| ｍｉｎ=|ａ - 2 | ,这时点Ｍ的坐标为 (2 ,0 ) ;若…     

纠正一种用判别式求参数值的错误认识

“已知函数ｙ=2ｘ2 -ｋｘ 1 0ｘ2 4ｘ 6的最小值为 1 ,求实数ｋ的值”这是高中数学教学中常见的问题 .李素兰在 [1 ]中用判别式作出了它的详细解答 :由ｙ=2ｘ2 -ｋｘ 1 0ｘ2 4ｘ 6 可得(ｙ - 2 )ｘ2 (4ｙ ｋ)ｘ 6ｙ- 1 0 =0 .由题意△ =(4ｙ ｋ) 2 - 4(ｙ- 2 ) (6ｙ- 1 0 )≥ 0 .即 8ｙ2 - (8ｋ 88)ｙ 80 -ｋ2 ≤ 0 .因为　ｙ最小值 =1 ,所以　 1是方程 8ｙ2 - (8ｋ 88)ｙ 80 -ｋ2= 0的根 ,代入得ｋ2 8ｋ =0 .所以　ｋ=0或ｋ =- 8.[1 ]并认为 ,这是一种正确的解法 ,拙以为不妥 .纵观解题全过程 ,并不是每一推导过程都是可逆的 (例如…     

二元函数条件极（最）值的曲线系解法

二元函数条件极（最）值的曲线系解法４６７２００河南省叶县高中尹建堂在约束条件ｆ（ｘ，ｙ）一０（或ＭＯ、＜二０）下，求二元函数Ｆ（ｘ，ｙ）的极（最）值的最基本方法是，先将该二元函数通过代入消元转化为一元函数ｙ－ｇ（ｘ），然后视其不同形式，采用不同的求极...