Boundary layer stability at longitudinally curved walls

Summary A theory of the stability of laminar boundary layer flow along a concave wall is derived without making use of the neglections and simplifications which characterize the former theory. The investigated boundary layer flow contains the curvature influence in second order approximation. It refers to walls with leading edge curved like the involute of a circle. Here there exists a self similar boundary layer flow and its asymptotic part does not vary longitudinally. A straight forward solution is given which contains an analytic asymptotic part. The neutral curves are determined for different wall curvature parameters.

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Zusammenfassung Es wird eine Theorie der Stabilität der laminaren Grenzschichtströmung an längsgekrümmten konkaven Wänden vorgelegt, die die Vereinfachungen und Vernachlässigungen der früheren Theorie nicht benutzt. Die untersuchte Grenzschichtströmung enthält den Krümmungseinfluss in zweiter Ordnung genau. Sie bezieht sich auf Wände mit scharfer Eintritts-Kante, die wie die Evolvente eines Kreises gekrümmt sind. Hier besteht eine ähnliche Grenzschichtströmung, und ihr asymptotischer Teil ändert sich nicht in longitudinaler Richtung. Es wird eine direkte Lösung gegeben mit einem analytischen asymtotischen Teil. Die neutralen Kurven werden für verschiedene Wandkrümmungsparameter bestimmt.

     

Laminar jet impingement on an indented wall

Summary The Navier-Stokes equations are solved numerically to study the problems of laminar, axisymmetric jet impinging normally on an indented wall. The results obtained for three different wall geometries and Reynolds number range upto 25 are compared with those for the impingement on a plane wall to study the influence of indentation. The overall flow picture remains similar to the plane wall case qualitatively but the wall shear stress and pressure distribution get altered in the indented region.

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Zusammenfassung Es wird der Strömungsverlauf eines laminaren achsensymmetrischen Strahles nach dem Aufprall auf eine Wand mit Einbuchtung analysiert. Hierzu wird die numerische Lösung der Navier-Stokeschen Gleichungen benutzt. Die Ergebnisse für drei verschiedene Wandgeometrien, als auch für verschiedene Reynolds-Zahlen bis auf 25, sind mit dem Fall der ebenen Wand verglichen, um hieraus den Einfluß der Einbuchtung festzustellen. Das globale Strömungsbild bleibt in allen Fällen qualitativ ähnlich. Es wurde jedoch festgestellt, daß im Bereich der Einbuchtung die Wandschubspannung sowie die Druckverteilung gewisse Änderungen aufweisen.

     

On the formation of vortex rings: Rolling-up and production of circulation

The temporal development of the rolling-up process of vortex rings produced in water at a circular nozzle is investigated by flow visualization. The results are compared with similarity laws for the rolling-up of vortex sheets in plane flow. The unsteady flow field in the nozzle-exit plane is measured by laser anemometry. The vorticity distribution in the boundary layers at the inner and outer nozzle wall and the vorticity flux through the exit plane are derived from the measurements. The flow conditions measured at the nozzle are used to explain the production of the ring-vortex circulation (measured three nozzle-diameters downstream) in relation to the generation conditions.

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Zusammenfassung Durch Strömungs-Sichtbarmachung wird für Ringwirbel, die an einer kreisförmigen Rohrmündung in Wasser erzeugt werden, der zeitliche Verlauf des Aufrollvorgangs untersucht und mit Ähnlichkeitsgesetzen für die Aufrollung von ebenen Wirbelschichten verglichen. Aus Messungen des instationären Strömungsfeldes im Mündungsquerschnitt mit einem Laser-Anemometer wird die Wirbelstärke-Verteilung in den Grenzschichten an der inneren und äußeren Rohrwand sowie der Wirbelfluß durch den Mündungsquerschnitt bestimmt. Dadurch wird die Entstehung der Zirkulation, die im fertig ausgebildeten Ringwirbel drei Rohrdurchmesser stromabwärts gemessen wird, in Abhängigkeit von den Erzeugungsbedingungen verständlich.

     

Interaction between a normal shock wave and a turbulent boundary layer at high transonic speeds. Part II: Wall shear stress

Summary Asymptotic methods are used to calculate the shear stress at the wall for the interaction between a normal shock wave and a turbulent boundary layer on a flat plate. A mixing length model is used for the eddy viscosity. The shock wave is taken to be strong enough that the sonic line is deep in the boundary layer and the upstream influence is thus very small. It is shown that unlike the result found for laminar flow an asymptotic criterion for separation is not found; however, conditions for incipient separation are computed numerically using the derived solution for the shear stress at the wall. Results are compared with available experimental measurements.

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Zusammenfassung Die Schubspannung entlang einer ebenen Platte wird mit asymptotischen Methoden gerechnet für den Fall, dass ein senkrechter Stoss auf die turbulente Grenzschicht einwirkt. Für die Rechnung wird ein Mischweg-Modell benützt. Der Stoss ist von solcher Stärke, dass die Schallinie tief in der Grenzschicht liegt, und so die Wirkung stromaufwärts sehr klein ist. Im Gegensatz zu der laminaren Strömung kann man in diesem Fall eine asymptotische Bedingung für Grenzschicht-Ablösung nicht finden. Aber die Bedingungen für den Beginn der Ablösung kann man von der Lösung für die Schubspannung an der Wand numerisch erhalten. Die Ergebnisse der Theorie werden mit den vorhandenen experimentellen Messresultaten verglichen.

     

On the propagation of pressure pulses in circular elastic rods

Zusammenfassung Die vorliegende Arbeit befasst sich mit den radialen und axialen Dehnungen in einem einseitig unbegrenzten elastischen Stab mit kreisförmigem Querschnitt. Die Oberfläche des Stabes ist in radialer Richtung frei von Spannungen; in normaler Richtung wird an dem einen Ende eine Druckspannung als zeitlicher Sprungimpuls eingeprägt, wobei die Scherspannung an diesem Ende stets zu Null angenommen wird. Die exakte Lösung wird dargestellt durch komplexe Laplace-Umkehr-Integrale, welche für grosse Fortpflanzungsentfernungen asymptotisch gelöst werden. Insbesondere werden Lösungen gefunden für die Umgebung der Vorläufer der Welle und für die Anstiegsflanke der Druckwelle.     

Approximate solution of boundary layer problems with injection or suction

Zusammenfassung Der grundlegende linearisierte Ansatz zur Näherungslösung von Grenzschichtproblemen wird auf neue Anwendungen erweitert, um die Behandlung von Problemen mit Massenaustausch durch die Oberfläche zu ermöglichen und die Beschränkung auf die Prandtl-Zahl 1 zu mildern. Das klassische Problem der konstanten, d. h. nicht ähnlichen Geschwindigkeitsverteilung an der Oberfläche wird behandelt, und die Ergebnisse werden mit der exakten numerischen Lösung verglichen. Es ergibt sich eine ausgezeichnete Übereinstimmung. Sodann wird eine Lösung des schwierigen und praktisch wichtigen Problems einer Stufenfunktion für die Oberflächengeschwindigkeit gegeben. Die freie Konvektion über einer vertikalen Platte mit konstanter Temperatur und Oberflächengeschwindigkeit wird erstmalig gelöst. Schliesslich wird das der Schlitzeinspritzung entsprechende Anfangswertproblem unter Milderung der bisherigen AnnahmeP _r =1 behandelt.

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This work was supported by the National Science Foundation, Grant No. GK-310,     

Heat transfer to magnetohydrodynamic flow in a flat duct

Zusammenfassung Die Untersuchung befasst sich mit der Wärmeübertragung von den Wänden eines flachwandigen Kanals auf eine elektrisch leitende Flüssigkeit bei erzwungener Laminarströmung und in Gegenwart eines quergerichteten Magnetfeldes. Betrachtet wird der Fall konstanter Wandtemperatur mit variierender innerer Wärmeentwicklung durch viskose und elektrische Energiedissipation. Die massgebende Differentialgleichung wird durch eine Differenzengleichung ersetzt und mit der elektronischen Rechenmaschine gelöst. Als Resultat wird die Nusseltzahl angegeben, für die Prandtlzahl 1, die Hartmannzahlen 0, 4, 10 und die Graetzzahlen von 10 bis 10 000, wobei die Kennzahlen für Zähigkeit und elektrische Feldstärke als Parameter auftreten.     

Servo-stabilization of low-frequency oscillations in liquid propellant rocket motors

Zusammenfassung Die Theorie der kleinen Frequenz-Instabilität von Raketenmotoren mit flüssigen Treibmitteln wird überarbeitet, wobei im besonderen die Methode der Satche-Diagramme erörtert wird, welche durchH. S. Tsien für Stabilitätsrechnungen linearer Systeme mit zeitlicher Verzögerung eingeführt worden sind. Das Prinzip der Stabilisierung durch Benutzung einer Gegenkopplungsschleife wird besprochen, und es wird gezeigt, dass schon eine sehr einfache Lösung des Gegenkopplungskreises die Stabilität von flüssigen Einzel- und Doppeltreibmitteln in Raketenmotoren versichern kann, unabhängig von der Grösse der Zeitverzögerung. Auf Grund des beschriebenen speziellen analytischen Beispiels wird gefolgert, dass solche Stabilisierungsmassnahmen für eine viel grössere Klasse von Instabilitäten in Raketenmotoren als die betrachtete empirisch verwirklicht werden können.     

A note on non-uniqueness in linear elasticity theory

Zusammenfassung Es wird mit Hilfe von Gegenbeispielen gezeigt, dass die Annahme eines stark elliptischen Tensors der Elastizitätsmoduln für Spannungsaufgaben und gemischte Probleme der linearen Elastizität und sogar für das Verschiebungsproblem im Fall eines inhomogenen Körpers keine Eindeutigkeit garantiert. Für den Spezialfall eines isotropen Materials mit verschwindender Kompressibilität wird ein Ausdruck für die allgemeinste (nicht-eindeutige) Lösung des Spannungsproblems bei verschwindenden Oberflächenspannungen gegeben.     

A note on the stability of generalized Couette flow

Zusammenfassung Die Stabilität der laminaren Strömung zwischen zwei koaxialen Kreiszylindern, die durch Rotation des inneren Zylinders und Wirkung eines konstanten Druckgradienten in Umfangsrichtung erzeugt wird, wird untersucht mit Hilfe eines Näherungsverfahrens, welches nur die bekannten Stabilitätskriterien für Couette-Strömung zwischen zwei gegenrotierenden Zylindern und Poiseuille-Strömung in einem gekrümmten Kanal benutzt. Es ergibt sich dass solch eine Methode kritische Werte für das Auftreten der Instabilität liefert, die in guter Übereinstimmung mit denen vonDi Prima [2] sind und dass die Methode eine zufriedenstellende Erklärung für die ziemlich unerwartete Abhängigkeit des Taylor-Görtler-Parameters und der kritischen Wellenzahl von der Grösse des azimutalen Druckgradienten gibt.     

A special transformation of the differential equations describing blown arcs

Zusammenfassung Zur Untersuchung der Wechselwirkung von Lichtbögen mit Gasströmungen wird eine Transformation der Differentialgleichungen vorgeschlagen. Und zwar wird anstelle einer Ortsvariablen die Temperatur als unabhängige Variable gewählt.Die Nichtlinearitäten der Ausgangsgleichungen, die durch die Temperaturabhängigkeit der Transportfunktionen bedingt sind, werden dadurch behoben. Ferner ergeben sich Vorteile bei der Untersuchung des Stabilitätsverhaltens von Lichtbögen und vor allem bei numerischen Lösungen der Gleichungen.Für letzteres werden zwei typische Beispiele angegeben. Für einen axial sehr stark angeblasenen Bogen in einer Lavaldüse wird ein Lösungsbeispiel behandelt. Ferner wird das bekannte Problem des abklingenden zylindersymmetrischen Bogens diskutiert.     

Duct flow in magnetohydrodynamics

Zusammenfassung In dieser Arbeit wird die Strömung einer elektrisch-leitenden Flüssigkeit durch ein gerades Rohr mit einem gleichförmigen, querlaufenden magnetischen Feld betrachtet. Das Problem wird unter Berücksichtigung des elektromagnetischen Feldes sowohl innerhalb als ausserhalb der Flüssigkeit formuliert. Besondere Aufmerksamkeit wird auf die Ableitung der Randbedingungen gerichtet. Es wird klargemacht, dass, wenn die Wände des Rohres endliche Leitfähigkeit haben, das Problem, abgeseben von Einzelfällen, kein gewöhnliches Randwertproblem darstellt. Eine Lösung wird für die Strömung durch ein rechteckiges Rohr mit unendlich fernen, dem äusseren Feld parallelen Wänden bei beliebiger Wandleitfähigkeit gefunden, ebenso für die Strömung durch ein endliches rechteckiges Rohr mit idealleitenden Wänden. Es gelingt, die asymptotische Geschwindigkeitsverteilung bei grosser Hartmannscher Zahl für ein dünnwandiges symmetrisches Rohr bei beliebiger Wandleitfähigkeit anzugeben.     

Flow of an electrically conducting fluid past a porous flat plate in the presence of a transverse magnetic field

Zusammenfassung Für die Strömung einer inkompressiblen, zähen, elektrisch leitenden Flüssigkeit über eine poröse Platte werden die Gleichungen vonNavier undStokes, vonMaxwell und die Wärmeübertragungsgleichung integriert. Dabei wird vorausgesetzt, dass Flüssigkeit aus der porösen Platte austritt oder durch sie abgesogen wird. Man findet, dass sowohl die Geschwindigkeiten als auch die Schubspannungen mit steigender magnetischer Druckzahl für Absaugen und Ausblasen anwachsen. Das induzierte Feld an der Plattenoberfläche wird kleiner, wenn die Ausblasegeschwindigkeit abnimmt. Für den Grenzfall unendlicher elektrischer Leitfähigkeit wächst der Wärmeübergang mit der magnetischen Druckzahl im Falle des Ausblasens.     

Helical flow of an idealized elastico-viscous liquid (I)

Zusammenfassung Es wird die stationäre Spiralströmung einer Klasse von idealisierten zähelastischen Flüssigkeiten untersucht. Diese Strömung wird zwischen zwei unendlich langen koaxialen Zylindern erzeugt, wenn im Spalt ein Druckgradient parallel zur Achsenrichtung vorhanden ist und die Zylinder mit verschiedenen Winkelge-Achsenrichtung vorhanden ist und die Zylinder mit verschiedenen Winkelgeschwindigkeiten um ihre gemeinsame Achse rotieren. Es werden exakte Lösungen für das Geschwindigkeits- und Druckfeld angegeben, wobei Mittelwert und Maximalwert der Axialkomponente der Geschwindigkeit ebenfalls berechnet sind. Ferner wird die Berechnung des Durchflussvolumens pro Zeiteinheit und des notwendigen Drehmomentes pro Längeneinheit, um die Relativbewegung der Zylinder zueinander aufrechtzuerhalten, durchgeführt. Schliesslich wird noch die Gleichung der Spirale aufgestellt, die ein Flüssigkeiteilchen beschreibt. Die Diskussion des Geschwindigkeits- und Druckfeldes zeigt einige interessante Resultate im Vergleich zu einer ähnlichen Strömung einer rein zähen Flüssigkeit. Die Couette-Strömung und die koaxiale Rohrströmung werden als Spezialfälle der Spiralströmung diskutiert.     

Approximate frequencies of nonlinear systems

Zusammenfassung Für eine nichtlineare Differentialgleichung, welche die ungedämpften freien Schwingungen einer Masse mit nichtlinearer Rückstellkraft beschreibt, wird mit Hilfe der Störungsrechnung eine einfache Näherungsformel für die Frequenz hergeleitet.     

Simple waves and shock waves in a thin prestressed elastic rod

Zusammenfassung Ein halb-unendlicher dünner elastischer Stab wird einer monoton ansteigenden Störung am freien Ende unterworfen. Die unstetige Wellenbewegung für endliche Verzerrungen wird untersucht, und die Bedingungen zur Bildung von Stössen werden aufgestellt. Eine implizite Lösung für die Wellenbewegung im Gebiete einfacher Wellen wird mittels der Methode der Charakteristiken erhalten. Eine andere und explizite Lösung in diesem Gebiete wird gefunden durch Anwendung der Theorie sich fortpflanzender Diskontinuitätsflächen, als eine Taylor-Reihe um die Ankunftszeit der Wellenfront. Es wird gezeigt dass der Koeffizient des ersten Gliedes in der Entwicklung eine Lösung für eine homogene nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichung ecster Ordnung darstellt. Die übrigen Koeffizienten befriedigen lineare, jedoch inhomogene gewöhnliche Differentialgleichungen mit veränderlichen Koeffizienten. Für den Fall einer rampenartigen Belastung und für Stossbildung an der Wellenfront wird für schwache Stösse durch Anwendung einer Methode von Friedrichs die Vereinigung von einfachen Wellen untersucht. Als Beispiel wird die Entlastung eines Stabes betrachtet, der einer anfänglichen Dehnung von 50% unterworfen ist.     

Circular oscillations of a cylinder in a viscous fluid

Summary The steady streaming velocity induced by the circular motion of a cylinder of elliptic cross-section in a viscous fluid is considered. The amplitude of this circular motion is supposed small compared with a typical diameter of the cylinder, which maintains a fixed orientation throughout the motion. Outside the Stokes shear-wave layer Reynolds stresses contribute to the induced steady streaming. The outer flow is calculated in the case of large streaming Reynolds numbers for two particular cylinders.

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Zusammenfassung Es wird die stationäre Strömung untersucht, die durch die kreisförmige Bewegung eines Zylinders mit elliptischem Querschnitt in einer zähen Flüssigkeit induziert wird. Die Amplitude dieser Kreisbewegung wird als klein angenommen gegenüber den Halbachsen der Ellipse, deren Orientierung während der Bewegung unverändert bleibt. Ausserhalb der Stokes-Schicht tragen die Reynolds-Spannungen zur Induzierten stationären Strömung bei. Die äussere Strömung wird im Falle von grossen Reynolds-Zahlen der Strömung für zwei besondere Zylinder berechnet.

     

Diffusionsprobleme in Strömungen mit diskontinuierlicher Geschwindigkeitsverteilung I

Zusammenfassung Betrachtet wird die zweidimensionale, stationäre Massen- oder Wärmediffusion in einer reibungsfreien, parallelen Kanalströmung. Diese ist in zwei Gebiete mit jeweils konstantem Massenfluss unterteilt. Die Massenflüsse können gleich oder entgegengesetzt gerichtet sein. Auf deren Unstetigkeitsfläche befindet sich möglicherweise eine Zwischenwand mit einem Schlitz. Im Falle der Massendiffusion ist auch der Einfluss eines Gravitationsfeldes senkrecht zur Strömungsrichtung mitberücksichtigt. Die diffundierende Substanz wird von einer Punktquelle produziert. Das Randwertproblem wird mit der Singularitätenmethode behandelt und auf eine Integralgleichung zurückgeführt. Exakte oder angenäherte analytische Lösungen werden in verschiedenen Spezialfällen angegeben. In diesem ersten Teil der Publikation werden folgende zwei Fälle behandelt: Eine Quelle in einem unbegrenzten Medium und in einer Kanalströmung ohne Zwischenwände.

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Summary This paper deals with two-dimensional diffusion of mass or heat in a non-viscous parallel channel flow. The flow is divided into two regions with constant mass fluxes, which have the same or the opposite directions. The two flow regions are possibly separated by a wall, except for a strip of finite length, across which transport may occur. In the case of mass diffusion, the influence of a gravity field perpendicular to the direction of the flow is considered. The diffusing substance is produced by a source singularity. The boundary value problem is treated with the method of singularities and reduced to an integral equation. Exact or approximate analytical solutions are given for various special cases. In this first part of the paper, the following two cases are considered: A source in an unbounded medium and a source in a channel flow without an inner wall.

     

Steady-state thermal stresses in an elastic cone

Zusammenfassung Diese Arbeit befasst sich mit der Bestimmung der stationären Wärmespannungen, die in einem elastischen Kreiskegel durch eine unstetige Verteilung der Oberflächentemperatur hervorgerufen werden. Die Temperatur der Mantelfläche wird oberhalb und unterhalb einer festen Entfernung von der Kegelspitze konstant angenommen. Das zugehörige Wärmeleitungsproblem wurde in einer früheren Veröffentlichung unabhängig gelöst. In der vorliegenden Arbeit wird eine strenge Lösung für die gesuchten Wärmespannungen mit Hilfe der Mellin-Transformation hergeleitet. Das hier benutzte Verfahren ist auch anwendbar auf das gewöhnliche Randwertproblem für einen elastischen Kegel, der durch eine entsprechende unstetige Oberflächenbelastung beansprucht wird.

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The results communicated in this paper were obtained in the course of an investigation conducted under Contracts Nonr 562(20) and Nonr 562(25) of Brown University with the Office of Naval Research in Washington, D. C.     

Stresses in a long hollow cylinder subjected to a band of uniform pressure on the outer surface

Zusammenfassung Die Arbeit gibt eine Fourier-Integral-Lösung für den Spannungsverlauf in einem Hohlzylinder, der einer axialsymmetrischen Radiallast längs eines Bandes an der Aussenfläche unterworfen wird. Es wird für dünne Wände eine Methode für die Approximation der Integranden entwickelt. Damit wird die Auswertung der Interale mit der Residuenmethode möglich. Numerische Ergebnisse werden für den Fall eines unendlich schmalen Lastbandes für ein Radienverhältnis von 910 und für eine Poissonsche Zahl von 0,3 ausgegeben. Die Ergebnisse werden mit denjenigen zweier Näherungstheorien verglichen sowie mit Ergebnissen früherer numerischer Integrationen.