反比例函数系数K与图形的面积

<正>同学们都知道,反比例函数系数k的几何意义为:如图1,过反比例函数y=k/x(k≠0)图像上任意一点P分别作x轴、y轴的垂线PM、PN,垂足为M、N,则矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|=|k|,三角形PON(或三角形POM)的面积S=|k|/2.那么它能帮助我们解决哪些常见的问题呢.     

巧用基本结论 妙求阴影面积

涉及到反比例函数的图像的面积问题,有一个非常实用的基本结论:如图1,从反比例函数y=k/x(k≠0)的图像上任意一点P(x,y)分别作PA⊥x轴于A、PB⊥y轴于B,连结OP,则S矩形PAOB=OA×OB=|x|×|y|=|xy|=|k|.     

反比例函数的“特殊性质”及应用

一般地,如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=k/x(k为常数,k≠0)的形式,那么称y是x的反比例函数.由定义可得反比例函数的另一种表示方法:xy=k,它的几何意义为S三角形=1/2|xy|,S矩形=|xy|.记住这个重要性质,便能运用面积法简便、巧妙地解决反比例函数问题.     

再析反比例函数的图像性质

<正>反比例函数y=k x中,我们印象最深的莫过于其图像上的每一点对x轴、y轴所构成的矩形的面积相等,都为|k|,就是这条重要特性,我们还可以提示出反比例函数图像的另外两个特征.图1我们知道反比例函数图像关于原点中心对称,直线与反比例函数图像交于A,B两点,若直线AB过原点时,则必有OA=OB.如图1.那么,若直线AB不过原点,还会有相等的情况吗?首先,在平面几何中,我们知道如下基本性质.     

两个反比例函数图像间的一个有趣性质

对于反比例函数的图像,有一个大家比较熟悉且容易证明的性质:设A是反比例函数y=k/x(k≠0)图像上的任意一点,过A引x、y轴的平行线,分别交y、x轴于点B、C,则|AB|·|AC|=|k|(定值).进一步探究我们发现,将以上性质中的一个反比例函数引申拓     

与面积有关的反比例函数问题

<正>解决与反比例函数有关问题时,经常要用到反比例函数的面积的不变性,即反比例函数图1y=k x的本质特征,两个变量y与x的乘积是一个常数k,由此不难得到反比例函数的一个重要性质:如图1,过双曲线y=k x(k≠0)上一点P分别作x轴、y轴的垂线PM、PN,所得的矩形的面积S=PM·PN=|x||y|=|xy|=|k|.下面举例介绍一些与面积有关的反比例函数问题.图2例1如图2,Rt△ABC的直角边BC在x轴正半轴上,斜边AC边上的中线BD反向延长线交y轴负半轴于E,双曲线y=k x(x>0)的图像经过点A,若△BEC的面积为4,则k     

通向面积之桥——|k|

一、重要结论反比例函数y=k/x(k≠0)中的比例系数k有以下几何意义：如图1,过双曲线上任意一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN,垂足分别为M、N,所得矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|     

矩形使双曲线的问题“有法可依”

<正>反比例函数y=k/x是初中数学中的一类重要的函数,它的图像双曲线的本质特点是:1.图像上任意一点P(x,y)的横、纵坐标之积为k;即xy=k.2.图像上任意一点向坐标轴引垂线与坐标轴所构成的矩形AOBP面积为|k|(如图1).这就使得矩形在解决有关双曲线的问题时有了特殊作用.笔     

关于两条反比倒函数图像的面积问题

<正>近几年中考中,出现了一类同一坐标系下两条双曲线的问题,此类问题多以小题出现,图形美观,设计精巧,值得玩味.解题的关键是面积,也就是反比例系数k的几何意义:过双曲线y=k/x上任意一点向一条坐标轴作垂线,则以该点、垂足和坐标原点为顶点的三角形的面积为12|k|,证明非常简单,这里从略.下面     

例谈反比例函数图像上点的对称性

<正>反比例函数y=k/x(k≠0)的图像是双曲线,它既是轴对称图形,也是中心对称图形.本文通过寻求反比例函数图像与正比例函数y=kx(k≠0),或特殊一次函数y=±x+b(b≠0)图像的交点的对称性,借助"形"的直观,灵活设交点的坐标,这样既能从整体上思考问题,又能提高思维的灵活性.     

求“k”值的解析与感悟

反比例系数k是反比例函数y=k/x(k≠0)中的唯一常数,它决定着反比例函数的图像和性质.求k是求反比例函数解析式的关键步骤.在解有关反比例函数解析式的问题时,"k"起着     

一次函数与反比例函数图像交点问题一例

<正>一次函数图像与反比例函数图像相交,确定交点坐标及交点构成的三角形面积问题,综合了待定系数法、一元二次方程解法与三角形面积公式等知识点.下面结合一道例题进行分析,供参考.例已知反比例函数y=k/x与一次函数y=2x-1的图像交于点A(a,b),且一次函数y=2x-1图像经过点B(a+1,b+k),     

与反比例函数图像有关的图形面积问题的求解策略

近几年各地中考中有不少试题涉及到了与反比例函数图像有关的图形面积问题,从形式上看,这类问题涉及的图形变化多端,精彩纷呈;从考查的知识点上看,这类问题通常将反比例函数、相似三角形、图形变换等知识融合在一起,具有一定的综合性;从解法上看,这类问题涉及的知识点比较多,它的解法具有很强的灵活性.因此要正确解决这类问题,除了要熟练掌握反比     

点评反比例函数

反比例函数的性质是初中数学的重点难点,也是各类竞赛和各地中考倍受关注的焦点之一,要想准确理解它,必须准确掌握反比例函数内涵.本文想通过分类讲解来揭示其丰富的内涵,领略一些规律.一、反例函数与其它函数图像共生类这类情况多是考察对参数准确分类,以及参数与图像之间的关系.例1如果|x|>x,且kp<0,那么在自变量x的取值范围内,正比例函数y=kx和反例函数y=xp在同一直角坐标系中的图像示意图正确的分析是(:)由|x|>x x<0,排除A,C;由kp<0则k和p不同号,则有①kp><00则A符合,但x可取0,排除A.②kp<>00则B符合.故选B.例2如图函数y=xk与y=kx+k…     

与反比例函数有关的面积问题

如图1,过双曲线y=k/x(k≠0)上任意一点P 作x轴、y轴的垂线PA、PB,易证S△POA=S△POB=1/2|y·x|=1/2|k|.这是反比例函数图像的一个重     

反比例函数问题的几何直观

对于几何题,人们有画图的习惯;而对于非几何题,人们往往不会从几何直观人手去思考问题的解决方法．图形可以使我们对已知条件与结论之间的关系有更明确、更形象的了解,使问题的解决更加简单明了．函数不仅仅和方程、不等式等代数内容联系紧密;同时借助于平面直角坐标系,也和三角形、四边形建立起了紧密的联系．而反比例函数中k的几何意义具有非常好的几何直观,由此展开的几何联想也就愈加丰富了．笔者将从k的几何意义出发,探索反比例函数问题中的几何直观,并从几何直观去寻求问题解决的思路．     

为什么反比例函数的图象是双曲线

学习双曲线定义时,容易想到反比例函数y=k/x(k≠0)的图象也称作双曲线.反比例函数图象与圆锥曲线定义的双曲线是同一类曲线吗?为了让学生弄清这一问题,笔者建议学生在学完双曲线后,根据所学知识作一番探究,然后在适当时间将成果在课上进行交流.为简便起见,都以反比例函数y=1/x图象为研究对象.     

反比例函数与面积问题

将反比例函数与面积综合在一起进行考查,是目前比较热点的一类题型,充分体现了数形结合思想的具体应用,现举例加以说明.一、求图形的面积     

例谈反比例函数中的几个不变性问题

反比例函数是最基本的函数之一.通过学习反比例函数可以使学生进一步理解常量与变量的辩证关系和反映在函数概念中的运动变化观点,深化对函数内涵的理解和掌握.对于每一个具体的反比例函数来说,其中蕴涵的变化与对应的数学思想是具有普遍性的,但它还有自身的独特性质,笔者在教学中发现了一些关于反比例函数的几个不变性问题,本文通过实例谈谈这些不变性问题中体现的数形结合及转化等一些重要的数学思想.1面积的不变性问题图1例1如图1,已知双曲线y=xk(k为常数,k>0,x>0)经过矩形OABC的边AB的中点F,交BC于点E,则E一定是边BC的中点.分析要证明E是边BC的中点,只需要证明S△OCE=41S矩形OABC或者S矩形OMEC=21S矩形OABC即可,为此可以将问题转化为反比例函数中的面积不变性命题来证明.证明设点E的坐标为(x1,y1)(x1>0,y1>0),点F的坐标为(x2,y2)(x2>0,y2>0).则x1.y1=x2.y2=k.过点E、F分别作EM⊥x轴于M,FN⊥y轴于N.则OM=x1=x1,OC==y1=y1,OA=x2=x2,ON=y2=y2.∴S矩形OMEC=OM.OC=x1.y1=k,S矩形OAFN=O...     

与反比例函数的图象有关的面积问题

以反比例函数的图象和性质为载体,与三角形、正方形、圆等几何图形的面积相关的综合性问题,作为一种新颖的试题,在中考或数学竞赛试卷中频频出现,这类问题将函数知识与平面几何知识有机地融合在一起,要求解题者不仅掌握反比例函数的图象和性质,而且要熟悉平面几何图形的性质,因而这类试题倍受命题者和中学生的青睐.例1(自编题)已知正比例函数y=ax和y=bx,(a>0,b>0)的图象与反比例函数y=2xc,(c>0)的图象在第一象限内分别相交于点A,B,过点A作x轴的垂线,垂足为C,过点B作y轴的垂线,垂足为D.记△AOC,△BOD的面积分别为S1和S2,则S1和S2的大小关系怎样?解析在如图1中,设点A(x1,y1),B(x2,y2),则S1=21x1y1,S2=21x2y2,而点A,B都在反比例函数y=2xc,(c>0)的图象上,所以,x1y1=2c,x2y2=2c,所以S1=S2.图1图2例2(改编题)已知,如图2,正比例函数y=k1x与反比例函数y=kx2的图象相交于A,B两点(k1>0,k2>0),A点坐标为(4,2),分别以A、B为圆心的圆与x轴相切,则图中两个阴影部分面积的和为.解析由反比例函数的图象关于原点对...