2003年中考数学模拟试题(4)

一、选择题 (本大题满分 3 6分 ,每小题 3分 )1 .下面四个实数中 ,是无理数的是 (　 ) .Ａ .-23 　　Ｂ .-3 .1 4　　Ｃ .4　　Ｄ .π2 .下列计算正确的是 (　 ) .Ａ .( -4ｘ) ( 2ｘ2 +3ｘ -1 ) =-8ｘ3-1 2ｘ2 -4ｘＢ .(ｘ +ｙ) (ｘ2 +ｙ2 ) =ｘ3+ｙ3Ｃ .( -4ａ -1 ) ( 4ａ -1 ) =1 -1 6ａ2Ｄ .(ｘ -2 ｙ) 2 =ｘ2 -2ｘｙ +4 ｙ23 .下列各组二次根式 :① 8和 1 2 ,② 3ｘ3和2 7ｘ ,③ 2ｂｂ和ｂ 2ｂ ,其中第 (　 )是同类二次根式 .Ａ .①　　Ｂ .②　　Ｃ .③　　Ｄ .②③4.已知ａ <ｂ,则下列四个不等式中 ,不正确的是(　 ) .Ａ .ａ +4 <ｂ +…     

巧用均值换元法 妙解因式分解题

本文以部分初中数学竞赛题为例,介绍均值换元法在因式分解中的应用.一.用ｔ=ａ+ｂ2换元例1　分解因式:(ｘｙ-1)2+(ｘ+ｙ-2ｘｙ)·(ｘ+ｙ-2).(1998年长春市初二数学竞赛题)分析:本题通常可以先去括号再化简整理进行分解因式,然而运算繁,不简捷,但巧取后面两多项式的平均项换元,就大不相同了.解:设ｔ=12〔(ｘ+ｙ-2ｘｙ)+(ｘ+ｙ-2)〕=ｘ+ｙ-ｘｙ-1,则ｘ+ｙ=ｔ+ｘｙ+1,所以原式=(ｘｙ-1)2+(ｔ+ｘｙ+1-2ｘｙ)(ｔ+ｘｙ+1-2)=(ｘｙ-1)2+〔ｔ-(ｘｙ-1)〕〔ｔ+(ｘｙ-1)〕=(ｘｙ-1)2+ｔ2-(ｘｙ-1)2=ｔ2=(ｘ+ｙ-ｘｙ-1)2=(ｘ-1)2(ｙ-1)2.二.用ｔ=ａ+ｂ+…     

转化问题的几种策略

有些数学问题,若按常规方法解则繁琐难解.但是,只要改变考虑问题的角度或方法,将问题转化,就会得到简单巧妙的解法.下面举例说明.一.特殊值引路有些问题比较抽象或思路不明显,通过特殊值引路,就可找到解决问题的方法.例1　分解因式6ｘ2+(33-10)ｘｙ-53ｙ2+7ｘ+(23-5)ｙ+2.解:设6ｘ2+(33-10)ｘｙ-53ｙ2+7ｘ+(23-5)ｙ+2=(ａ1ｘ+ｂ1ｙ+ｃ1)(ａ2ｘ+ｂ2ｙ+ｃ2).令上式中ｙ=0,得:　6ｘ2+7ｘ+2=(ａ1ｘ+ｃ1)(ａ2ｘ+ｃ2).即(2ｘ+1)(3ｘ+2)=(ａ1ｘ+ｃ1)(ａ2ｘ+ｃ2),比较两边知ａ1=2,ａ2=3,ｃ1=1,ｃ2=2.再令ｘ=0,可得:　-53ｙ2+(23-5)ｙ+2=(ｂ1ｙ+ｃ1)(…     

2003年第二期初中数学问题解答

一、分解因式 :ｘ3+ｘ2 ｙ -ｘｙ2 -ｘｚ2 +ｙｚ2 -ｙ3.解 :原式 =(ｘ3+ｘ2 ｙ) -(ｘｙ2 +ｙ3) +(ｚ2 ｙ-ｘｚ2 )=(ｘ +ｙ)ｘ2 -ｙ2 (ｘ +ｙ) -ｚ2 (ｘ -ｙ)=(ｘ +ｙ) (ｘ2 -ｙ2 ) -ｚ2 (ｘ -ｙ)=(ｘ +ｙ) 2 (ｘ -ｙ) -ｚ2 (ｘ -ｙ)=(ｘ -ｙ) (ｘ +ｙ +ｚ) (ｘ +ｙ -ｚ) .二、方程 2ｘ -1 +ｘ -2 =ｘ +1的实数解的个数是多少 ?解 :令 2ｘ -1 =0 ,ｘ -2 =0 ,ｘ +1 =0 ,解得ｘ1=12 ,ｘ2 =2 ,ｘ3=-1 .则上述三点把实数集合分为 4个区间 :( -∞ ,-1 ) ,〔 -1 ,12 ) ,〔12 ,2〕 ,( 2 ,+∞ ) .经考查 ,在〔12 ,2〕上 ,方程恒成立 ,因此原方程的实…     

图象平移

定理 1　点Ｐ(ｘ ,ｙ)按 ａ→ =(ｈ ,ｋ)平移得到点(ｘ′ ,ｙ′) ,则 ｘ′ =ｘ +ｈ ,ｙ′ =ｙ +ｋ .(参见高一新教材《数学》第一册下第 12 1页 )定理 1指出了点Ｐ(ｘ ,ｙ) ,Ｐ′(ｘ′ ,ｙ′) ,ａ→ =(ｈ ,ｋ)三者之间的关系 .例 1　点Ｐ(ｔ2 - 5ｔ + 5 ,ｔ2 +ｔ - 7)按向量ａ→ =(1,- 5 )平移到点Ｐ′(0 ,0 ) ,求ｔ=.解　由定理 1知 0 =ｔ2 - 5ｔ+ 5 + 1,0 =ｔ2 +ｔ- 7- 5 ,解得ｔ=3.定理 2　函数ｙ =ｆ(ｘ)的图象Ｃ按ａ→ =(ｈ ,ｋ)平移得到图象Ｃ′ ,则Ｃ′的函数解析式为 ｙ =ｆ(ｘ -ｈ) +ｋ .证　设点Ｐ(ｘ ,ｙ)为Ｃ上任意一点 ,点Ｐ(…     

MM教育方式与数学创新教育

1　什么是“ＭＭ教育式” ?———从一节课谈起1 1　一节课正在进行 ,课题是“平方差公式” :上课伊始 ,老师不点题 ,不讲授 ,只给同学每人发一个 1 6开的纸片 ,上面印着十道题 :计算 :(1 2ｘ) (1 - 2ｘ) =(3ｍ 2ｎ) (3ｍ - 2ｎ) =(ａ-ｂ) (ａ ｂ) =(- 12 ｘ 2ｙ) (- 12 ｘ- 2ｙ) =(2ｔ ｕ) (-ｕ 2ｔ) =(2ｘ 4ｙ) (ｘ- 2ｙ) =(ａ-ｂ) (ａ ｂ) (ａ2 ｂ2 ) =1 0 0 2× 998=85× 1 1 5=992 - 1 =　　老师说 :举行个小小数学竞赛 ,看谁又快又准 (不得超过一刻钟 ) .如所料 ,不到十分钟 ,就有五、六个学生举手示意 :已完成 .可是 ,1 5分钟…     

初三代数第二学期期中自测题

Ａ组一、选择题 (每小题 3分 ,共 3 0分 )1 .如果ａ ,ｂ,ｃ为任意实数 ,那么下列函数中 ,是二次函数的是 (　 ) .Ａ .ｙ=ａｘ2 +ｂｘ +ｃＢ .ｙ=(ａ+ 1 )ｘ2 +ｂｘ +ｃＣ .ｙ =(ａ2 + 1 )ｘ2 +ｂｘ +ｃＤ .以上都是2 .如果反比例函数 ｙ =ｋｘ 的图象经过点 ( - 2 ,-1 ) ,那么ｋ的值为 (　 ) .Ａ .12 　　Ｂ . - 12 　　Ｃ .2　　Ｄ . - 23 .下列抛物线中 ,不与ｘ轴相交的是 (　 ) .Ａ .ｙ=2ｘ2 +ｘ - 1　　　　Ｂ .ｙ =2ｘ2 -ｘ - 1Ｃ .ｙ =- 2ｘ2 -ｘ + 1Ｄ .ｙ =- 2ｘ2 +ｘ - 14 .抛物线 ｙ=2 (ｘ - 1 ) (ｘ + 3 )的对称轴是 (　 ) .Ａ .…     

一个递推公式与ax~n by~n型竞赛题解法

命题 :已知 :Ｓｎ=ａｘｎ ｂｙｎ,ａ,ｂ ,ｘ ,ｙ∈Ｒ ,ｎ∈Ｎ .则有递推公式 :Ｓｎ 2 =(ｘ ｙ)Ｓｎ 1-ｘｙＳｎ.证明 :∵Ｓｎ=ａｘｎ ｂｙｎ,∴　 (ｘ ｙ)Ｓｎ 1-ｘｙＳｎ=(ｘ ｙ) (ａｘｎ 1 ｂｙｎ 1) -ｘｙ(ａｘｎ ｂｙｎ)=ａｘｎ 2 ｂｘｙｎ 1 ａｙｘｎ 1 ｂｙｎ 2 -ａｘｎ 1ｙ -ｂｘｙｎ 1=ａｘｎ 2 ｂｙｎ 2=Ｓｎ 2 .即Ｓｎ 2 =(ｘ ｙ)Ｓｎ 1-ｘｙＳｎ.由上述递推公式可知 :只要Ｓ1和Ｓ2 及ｘ ｙ和ｘｙ已知 ,则可依次计算Ｓ3 ,Ｓ4,…的值 .该递推公式结构简洁 ,但在求解国内外的一些数学竞赛题时却有着独特的功能 .现举例如下 :例 1　 (1 989年江苏省初中数学竞赛题 )若ｍ2 =ｍ 1 ,ｎ2 =ｎ 1 ,且ｍ≠ｎ ,则ｍ5 ｎ5=.解 :∵ｍ2 -ｍ -1 =0 ,ｎ2 -ｎ -1 =0 ,ｍ≠ｎ ,∴ｍ ,ｎ是方程ｘ2 -ｘ-1 =0的两根 .由韦达定理得 :ｍ ｎ=1 ,ｍｎ =-1 .∴ｍ2 ｎ2 =(ｍ ｎ) 2 -2ｍｎ =1 2 =3 ....     

对中学数学中函数值域问题的思考

1　问题的提出我们先从两个例子谈起例 1　求函数ｙ=(2ｘ 1 ) / (ｘ- 1 )的值域解　ｙ =(2ｘ 1 ) / (ｘ - 1 )的反函数是ｙ=(ｘ 1 ) / (ｘ- 2 ) ,反函数的定义域是 {ｘ｜ｘ∈Ｒ ,ｘ≠ 2 } ,所以函数ｙ =(2ｘ 1 ) / (ｘ - 1 )的值域是 {ｙ｜ｙ∈Ｒ ,ｙ≠ 2 } .例 2　求函数ｙ =(2ｘ 1 ) / (ｘ - 1 )的反函数解　由ｙ =(2ｘ 1 ) / (ｘ - 1 )得ｘ=(ｙ 1 ) / (ｙ- 2 ) ,又ｙ =(2ｘ 1 ) / (ｘ - 1 ) =2 3/ (ｘ- 1 )≠ 2 ,原函数的值域是 (-∞ ,2 )∪ (2 , ∞ )即为反函数的定义域 ,所以要求的反函数是 :ｙ=(ｘ 1 ) / (ｘ- 2 ) (ｘ≠ 2 ) .这…     

2002年第二期初中数学问题解答

一.当ｘ2=3ｘ-9时,试求ｘ3的值.解:∵ｘ2=3ｘ-9,∴ｘ3=ｘ2·ｘ=(3ｘ-9)ｘ=3ｘ2-9ｘ=3(3ｘ-9)-9ｘ=9ｘ-27-9ｘ=-27.因此,当ｘ2=3ｘ-9时,ｘ3=-27.二.设ｘ+ｙ+ｚ=ａ,则ｘ2+ｙ2+ｚ2≥ａ23.证明:∵ｘ+ｙ+ｚ=ａ,∵(ｘ+ｙ+ｚ)2=ａ2.也即ｘ2+ｙ2+ｚ2+2(ｘｙ+ｙｚ+ｘｚ)=ａ2.∴ｘ2+ｙ2+ｚ2=ａ2-2(ｘｙ+ｙｚ+ｘｚ).　①又∵(ｘ-ｙ)2≥0,　(ｙ-ｚ)2≥0,　(ｚ-ｘ)2≥0,∴(ｘ-ｙ)2+(ｙ-ｚ)2+(ｚ-ｘ)2≥0.同理得2(ｘ2+ｙ2+ｚ2)≥2ｘｙ+2ｙｚ+2ｘｚ.　②①+②得3(ｘ2+ｙ2+ｚ2)≥ａ2.因此ｘ2+ｙ2+ｚ2≥ａ23.三.若ａ,ｂ为整数,|ａ|≠|ｂ|,则ａｂ+ｂａ不可能是…     

2003年第一期初中数学问题解答

一、求方程ｘ2 - 3ｘ + ｐ =0的整数根 ,其中ｐ为质数 .解 :令△ =( - 3) 2 - 4ｐ≥ 0 ,则 4ｐ≤ 9.∴ ｐ≤ 2 14 .∵ ｐ为质数 ,∴ｐ =2 .∴ｘ2 - 3ｘ + 2 =0 .解得ｘ1 =1,ｘ2 =2 .二、实数ｘ与ｙ,使得ｘ + ｙ,ｘ -ｙ ,ｘｙ ,ｘｙ 四个数中的三个有相同的数值 .求出所有具有这样性质的数对(ｘ ,ｙ) .解 :由于 ｘｙ 有意义 ,所以ｙ≠ 0 ,从而ｘ + ｙ≠ｘ -ｙ .因此 ,ｘｙ =ｘｙ ,即ｘｙ2 -ｘ =0 .所以ｘ =0或ｙ =± 1.( 1)若ｘ =0 ,则由ｘｙ =ｘ +ｙ或ｘｙ =ｘ -ｙ得 ｙ =0 ,这样与 ｙ≠ 0矛盾 .( 2 )若 ｙ =1,则由ｘｙ =ｘ + ｙ得ｘ =ｘ + …     

一道例题的错解剖析及启示

《中学生数学》2 0 0 1年第 1 1月上期所登《解题时切勿忘了“Δ”》一文中的例 2是 :例 2求ｙ=ｘ + 4( 1 - ｘ2 ) 2 + 1的范围 (ｘ∈Ｒ) .简解　将 ｙ =ｘ + 4( 1 - ｘ2 ) 2 + 1 移项平方后得3ｘ2 - ( 1 6- 2ｙ)ｘ - ｙ2 + 3 2 =0 .∴　Δ =( 1 6- 2 ｙ) 2 - 1 2 ( - ｙ2 + 3 2 )≥ 0 .∴　ｙ≥ 2 + 2 2或 ｙ≤ 2 - 2 2 .笔者认为 ,上述解法是错误的 .其错因在于作者忽略了 ｙ -ｘ≥ 4这一隐含条件 ,致使原函数在移项平方后值域的范围扩大了 .例如 :当ｙ =- 2时 ,由 3ｘ2 -( 1 6- 2ｙ)ｘ - ｙ2 + 3 2 =0得ｘ =2或ｘ =1 43 .此时ｙ -ｘ <4 ,…     

2002年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(全国卷)(文史类)

参考公式与理科卷相同一 .选择题 :在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .(1 )若直线 (1 +ａ)ｘ +ｙ+1 =0与圆ｘ2 +ｙ2 -2ｘ=0相切 ,则ａ的值为(Ａ) 1 ,-1　　 (Ｂ) 2 ,-2　　 (Ｃ) 1 (Ｄ) -1(2 ) ,(3 )与理科卷相同 .(4 )函数ｙ=ａｘ 在 [0 ,1 ]上有最大值与最小值的和为 3 ,则ａ=(Ａ) 12 　　 (Ｂ) 2　　 (Ｃ) 4　　 (Ｄ) 14(5 )是理科卷的 (4 ) .(6)是理科卷的 (5 ) .(7)椭圆 5ｘ2 +ｋｙ2 =5的一个焦点是 (0 ,2 ) ,那么ｋ =(Ａ) -1　　 (Ｂ) 1　　 (Ｃ) 5　　 (Ｄ) -5(8)是理科卷的 (7) .(9)已知 0 <ｘ<ｙ <ａ <1 ,则有(…     

对一道三角题的分析

题目　已知函数 ｆ(ｘ) =1+ｓｉｎｘ -ｃｏｓｘ1+ｓｉｎｘ +ｃｏｓｘ,试判断它的奇偶性 ,求函数周期、单调区间 .分析　首先来化简下式 :1+ｓｉｎｘ -ｃｏｓｘ1+ｓｉｎｘ +ｃｏｓｘ.解法一　 (由半角公式 )ｔａｎ ｘ2 =1-ｃｏｓｘｓｉｎｘ =ｓｉｎｘ1+ｃｏｓｘ.根据比例性质得ｔａｎ ｘ2 =1+ｓｉｎｘ -ｃｏｓｘ1+ｓｉｎｘ +ｃｏｓｘ,即　原式 =ｔａｎ ｘ2 .解法二　 (根据万能公式 )设ｔ=ｔａｎ ｘ2 ,则原式 =1+ 2ｔ1+ｔ2 -1-ｔ21+ｔ21+ 2ｔ1+ｔ2 + 1-ｔ21+ｔ2=2ｔ+ 2ｔ22 + 2ｔ=ｔ=ｔａｎ ｘ2 .解法三　 (根据倍角公式 )原式 =(1-ｃｏｓｘ)…     

分组分解法的基本思路

人教版初中《代数》第二册第八章介绍了因式分解的提取公因式法,运用公式法,分组分解法以及ｘ2+(ｐ+ｑ)ｘ+ｐｑ型式子的因式分解,其中的分组分解法是这几种方法中的重点和难点.本文介绍分组分解因式的几种基本思路,以帮助读者学好这部分的内容.一.直接分组1.按公因式分组例1　分解因式:ｘ2-ｘｙ+ｘｚ-ｙｚ.(2001年河北省中考试题)分析:多项式中第1,2项有公因式ｘ,第3,4项有公因式ｚ,可把它们各分为一组.解:原式=(ｘ2-ｘｙ)+(ｘｚ-ｙｚ)=ｘ(ｘ-ｙ)+ｚ(ｘ-ｙ)=(ｘ-ｙ)(ｘ+ｚ).2.按公式分组例2　分解因式:ｘ2-ｙ2+ｙ-14.(2000年北京市大兴县中…     

上期课外练习解答

高一年级1.Ｂ ={ｍ ,ｎ},Ｃ ={ ,{ｍ},{ｎ},{ｍ ,ｎ}}.2 .设ａ→ =(ｘ1 ,ｙ1 ) ,ｂ→ =(ｘ2 ,ｙ2 ) ,ｃ→ =(ｘ3 ,ｙ3 ) ,则原方程可化为ｘ1 ｘ2 +ｘ2 ｘ+ｘ3 =0ｙ1 ｘ2 +ｙ2 ｘ+ｙ3 =0①②∵　ａ→ ,ｂ→ 不共线 ,即ａ→ 与ｂ→ 都不能为零向量 .∴　ｘ1 ,ｙ1 不同时为零 .( 1)若ｘ1 与ｙ1 中有一个为 0时 ,不妨设ｘ1 =0 .则由ａ→ ,ｂ→ 不共线知 ,ｘ2 ≠ 0 ,由①得ｘ =- ｘ1 ｘ2.这可能是②的解或不是②的解 ,即方程须有一组解或无解 .( 2 )若ｘ1 与ｙ1 都不为 0时 ,由① ,②解得ｘ =ｘ1 ｙ3 -ｘ3 ｙ1 ｘ2 ｙ1 -ｘ1 ｙ2.(唯一解 )综上 …     

巧用特殊法 妙解课本题

根据题目条件的信息,选用恰当的化简技巧,是解决课本二次根式题的关键.一、变换所求,以简驭繁例1已知x=1/2(7~(1/2)+5~(1/2)),y=1/2(7~(1/2)-5~(1/2)),求x2-xy+y2的值.解当x=1/2(7~(1/2)+5~(1/2)),y=1/2(7~(1/2)-5~(1/2))时,有x-y=5~(1/2),xy=1/2.∴原式=(x-y)2+xy=(5~(1/2))2+1/2=11/2.二、化简变形,化难为易例2已知x=(3~(1/2)+2)/(3~(1/2)-2),y=(3~(1/2)-2)/(3~(1/2)+2),求     

也谈二元二次多项式可因式分解的充要条件及其分解公式

1　引言对于二元二次多项式ｆ(ｘ ,ｙ) =Ａｘ2 Ｂｘｙ Ｃｙ2 Ｄｘ Ｅｙ Ｆ ,文 [1 ]给出了可因式分解的充要条件及其分解公式 ,它涉及到二次曲线的一般理论 ,对中学生有一定难度 ,其分解公式复杂 ,不便记忆 ,操作不方便 .本文提供的充要条件和分解公式 ,一般高中学生乃至初中学生都可以接受 ,公式统一 ,操作简便 .2　定理及其证明和作用定理　ｆ(ｘ,ｙ) =Ａｘ2 Ｂｘｙ Ｃｙ2 Ｄｘ Ｅｙ Ｆ =(ａ1 ｘ ｂ1 ｙ ｃ1 ) (ａ2 ｘ ｂ2 ｙ ｃ2 ) (1 )的充要条件是ｆ(ｘ ,0 ) =Ａｘ2 Ｄｘ Ｆ=(ａ1 ｘ ｃ1 ) (ａ2 ｘ ｃ2 ) (2 )和ｆ(0 ,ｙ) =Ｃｙ…     

反函数的性质应用举例

我们知道 ,函数 ｙ =ｆ(ｘ)若存在反函数 ,则 ｙ =ｆ(ｘ)与它的反函数 ｙ =ｆ-1(ｘ)有如下性质 :性质　若 ｙ =ｆ-1(ｘ)是函数 ｙ =ｆ(ｘ)的反函数 ,则有ｆ(ａ) =ｂ ｆ-1(ｂ) =ａ .这一性质的几何解释是 ｙ =ｆ(ｘ)与其反函数 ｙ =ｆ-1(ｘ)的图象关于直线 ｙ=ｘ对称 .例 1　函数 ｙ =2 - 34ｘ -ｘ2 - 3( 1≤ｘ≤ 2 )的反函数是 ｙ =ｆ(ｘ) ,则 ｆ( 2 ) =.解　设 ｆ( 2 ) =ｘ ,则由性质知ｆ-1(ｘ) =2 ,即 2 - 34ｘ -ｘ3 - 3=2 ( 1≤ｘ≤ 2 ) ,化简得ｘ2 - 4ｘ + 3=0 ,解得ｘ =1 .所以 ｆ( 2 ) =1 .例 2　函数 ｆ(ｘ) =ｘ - 2ｘ +ａ的图象关…     

恒等式与解方程(组)

利用配方法不难推证下列三元恒等式 :3 (ａ2 +ｂ2 +ｃ2 ) =(ａ +ｂ+ｃ) 2 +(ａ -ｂ) 2 +(ｂ -ｃ) 2 +(ｃ -ａ) 2 .巧用这一恒等式 ,可以妙解一类方程 (组 )竞赛题 .1.巧查一道错题例 1　设ｘ ,ｙ ,ｚ是三个实数 ,且有1ｘ +1ｙ+1ｚ=21ｘ2 +1ｙ2 +1ｚ2 =1,则 1ｘｙ+1ｙｚ+1ｚｘ的值是 (　　 ) .(Ａ) 1　 (Ｂ) 2　 (Ｃ) 32 　 (Ｄ) 3(1991年南昌市数学竞赛试题 )解一　利用 (ａ +ｂ +ｃ) 2 =(ａ2 +ｂ2 +ｃ2 ) +2 (ａｂ+ｂｃ+ｃａ) ,容易误得 (Ｃ) 32 .∵　 2 2 =(1ｘ +1ｙ+1ｚ) 2=1ｘ2 +1ｙ2 +1ｚ2 +2 (1ｘｙ+1ｙｚ+1ｚｘ)=1+2 (1ｘｙ+1ｙｚ+1…