一道竞赛题的探源

在2005年卡西欧杯全国初中数学竞赛B卷中,出现了这样一道几何题 :如图1,分别以锐角△ABC的边AB、BC、CA为斜边向外作等腰Rt△DAB、等腰Rt△E BC,等腰Rt△FAC,求证:(1)AE=DF;(2)AE⊥DF.     

巧添圆求最值三例

<正>有些最值问题,做题时如果心中有圆,能从题目中发现其隐藏在图形中的圆,画出圆,说不定会有出其不意的解题效果.现从中考题选取三例说明:例1(2016年安徽)如图1,Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=6,BC=4,P是△ABC内部的一个动点,且满足∠PAB=∠PBC,则线段CP长的最小值为().     

诡辩一则--任意三角形均为等腰三角形

命题　如图 1 ,已知△ ABC是任意三角形 ,∠ A的平分线与 BC的垂直平分线交于点 O,则△ ABC是等腰三角形 .证明　如图 1 ,过 O作 OE⊥ AB,OF⊥ AC.∵　 AO为∠ A的平分线 ,∴　 OE =OF,又　 OA =OA,∴　 Rt△ AOE≌ Rt△ AOF.∴　 AE =AF.连结 OB、OC.∵　 O在 BC的垂直平分线上 .∴　 OB =OC.　又　 OE =OF,∴　 Rt△ BOE≌ Rt△ COF.∴　 BE =FC.又　 AE =AF,∴　 AB =AC.故△ ABC为等腰三角形 .诡辩揭密 :我们知道 ,准确作图是欧氏几何的特点之一 ,忽视规范作图是多数人常犯的通病 ,由此而得到错误结论…     

另解课外练习题两例

<正>贵刊2017年4月下课外练习栏目初二年级的第2题:如图1,直角梯形ABCD中,∠C=45°,AD=1,CD=22^(1/2),BE⊥CD于E,求BE之长.参考答案解延长AD至F,使得AF=BC,连CF,易知:四边形ABCF为矩形,且△DFC为等腰直角三角形.在Rt△DFC中,由勾股定理知CF=FD=2.∴AF=AD+DF=3.     

一道几何试题的多种解法

<正>题目如图1,已知等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点G在BC上,连接AG,过点C作CF⊥AG,垂足为点E,过点B作BF⊥CF于点F,点D是AB的中点,连接DE、DF.求证:∠AED=∠DFE.一、根据等腰直角三角形和斜边上的中点联想到等腰三角形三线合一解法1如图2,连接CD,则CD⊥AB,     

数学思想引路 思维方法当先—一堂“优化思维教学”课回顾

笔者在一堂初中数学竞赛培训课上,选用了1998年全国初中数学竞赛第11题,有意识地用数学思想引路,引发学生创造性思维,得到了多种精巧(异于参考答案)的解答.师生意浓浓、乐融融.课后细品其妙,仍意犹未尽,今欣然举笔,整理成文.图1BAECF题:如图1,在等腰直角三角形ABC中,AB=1,∠A=90°,点E为腰AC的中点,点F在底边BC上,且FE⊥BE,求△CEF的面积.(1998全国初中数学竞赛第11题)1　构造思想思维方法1:构造一个与三角形CEF全等且其面积易于计算的三角形.取BC的中点D,连AD、DE,则AD⊥BC,DE⊥AC(如图2),设AD与BE相交于G,则在△CEF与…     

构造矩形或正方形解几何题举例

在几何解题中,若能根据图形特征,恰当地构造矩形或正方形,然后借助于矩形或正方形的性质常常可使问题得到顺利解决,举例说明如下:例1（北京06）如图1,直角梯形ABCD中,∠C=45°,AD=1,CD=22^1/2,BE⊥CD于E,求BE=?     

正方形折叠中的一个发现

<正>一、动手操作如图,将正方形纸片ABCD折叠,使点B落在CD边上一点E(不与点C、D重合),AB的对应边为FE,且FE交边AD于点G,压平后得到折痕MN.二、探究发现:∠GBE的值不变,为45°证明由折叠知:BN=NE,∠ABC=∠FEN=∠A=∠C=90°.连接BE.设∠NBE=∠NEB=α.则∠ENC=2α,∠BEC=90°-α,∠FEB=90°-α.∴∠BEC=∠FEB=90°-α.过点B作BQ⊥FE交FE于点Q.在△BEC与△BEQ中,BE=BE,∠BEC=∠FEB,     

一道竞赛试题的另证与推广

2011年全国初中数学联赛四川初赛试题第四大题是这样的:如图1,△ABC与△ADE都是等腰直角三角形,其中∠BAC=∠DAE=90°,点M是线段BE的中点,求证:AM⊥DC.     

对角线互相垂直的四边形的两个性质

<正>性质1如图1,在四边形ABCD中,AC⊥BD,分别以AB、BC、CD、DA为斜边向形外作等腰Rt△AEB、等腰Rt△BFC、等腰Rt△CGD、等腰Rt△AHD,则AC、BD、EG、FH四线共点.证明设AC、BD交于点O,连接OE、OG、OF、OH,易证E、B、O、A四点共圆,于是∠AOE=∠ABE=45°,同理,∠DOG=45°,而     

从一般性角度优化解法

题目如图1,Rt△ABC两直角边的边长为AC=1,BC=2.(1)如图2,⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点X,与边CB相切于点Y.请你在图2中作出并标明⊙O的圆心O;(用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法和证明)(2)P是这个Rt△ABC上和其内部的动点,以P为圆心     

一道课外练习题的另解几法

<正>《中学生数学》2017年4月下课外练习题初二年级第2题为:如图1,直角梯形ABCD中,∠C=45°,AD=1,CD=2^(1/2),BE⊥CD于E,求BE之长.参考答案给出的解法是:延长AD至F,使得AF=BC,连CF,易知四边形ABCF是矩形,且△DFC是等腰直角三角形.在Rt△DFC中,由勾股定理知:CF=FD=2.∴AF=AD+DF=3.∴S矩形ABCF=3×2=6,     

动点问题几例

<正>近两年各地中考数学试卷中,常常会出现这样一类动点问题:由于动点的运动路线不明确,学生在解决这类问题时往往无从下手.下面试以几道中考题为例,和大家谈一谈此类问题的解题方法.例1 (2016·安徽)如图1,Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=6,BC=4,P是△ABC内部的一个动点,且     

巧补形解赛题

首先让我们来看一个结论:如图1,正方形AB-CD中,点E、F分别在边BC和CD上,且AE⊥BF,则有△ABE≌△BCF,从而有AE=BF.证明比较简单,从略.以这一结论为基础可轻松地解决一类以等腰直角三角形为背景的赛题.例1(1999年     

一道中考几何题的“先猜后证”

<正>本文以2017年北京中考的几何综合题为例,说明解题中"先猜后证"的思考过程,供参考.一、原题呈现(2017年北京市中考第28题)如图1,在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,P是线段BC上一动点(与点B、C不重合),连接AP,延长BC至点Q,使得CQ=CP,过点Q作QH⊥AP于点H,交AB于点M.(1)若∠PAC=α,求∠AMQ的大小(用含α的式子表示).     

一个三角形性质的应用

<正>如图1,线段AD,BE,CF是△ABC的三条角平分线,则AD,BE,CF交于一点O,即"三角形的三条角平分线交于一点".这是三角形的一个性质,在解题时,容易被"忽略",但应用这一性质可以有效解决一些有关三角形角平分线的问题.例1如图2,等腰△ABC中,AB=AC,P为其底角平分线的交点,将△BCP沿CP折叠,使B点恰好落在AC边上的点D处,若DA=DP,求∠BAC度数.     

关于一道几何证明题的解法赏析

<正>题目如图1,已知△ABC为等腰直角三角形,P为斜边AB上的任意一点,求证:PA2+PB2=2PC2.该题结构简单,形式简洁,可用的知识点很多,解法有很多样,具有一定的启发性和推广性,下面就解题思路与大家共赏析.解法1构造直角三角形,运用勾股定理如图1,过点P作PM⊥AC于点M,PN⊥BC于点N.∴∠AMP=∠PNB=90°.     

2012年自主招生联考题的多种解法

题目(2012年清华大学等七校自主招生联考)如图,在锐角△ABC中,BE⊥AC于E,CD⊥AB于D,BC=25,CE=7,BD=15.若BE,CD交于点H,连接DE,以DE为直径画圆,该圆与AC交于另一点F,则AF=().     

例说通过代数计算解几何题

<正>研读完贵刊《代数法证几何题举例》和《解析法解题一例》两篇文章后,笔者尝试不用几何综合法来解2017年北京数学中考第28题,觉得有必要给同学们补充相关方法,以拓展解题思路.如图1,在等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,P是线段BC上一动点(与点B、C不重合),连接AP,延长BC至点Q,使得CQ=CP,过点Q作QH⊥AP于点H,交AB于点M.(1)若∠PAC=α,求∠AMQ的大小(用     

直角坐标系下的等腰直角三角形

<正>数学的趣味在于它需要我们推理和创造,引入辅助元素是引人注目的一步.本文将探索等腰直角三角形,在平面直角坐标系下添加辅助线的一般规律.等腰直角△ABC,若直角顶点A在直线l上运动,通过引入辅助线(作双垂直),构造一组全等三角形来解题的思路具有一般性.如图1和图2所示.