二次函数在闭区间上的最值

求二次函数 ｆ(ｘ) =ａｘ2 ｂｘ ｃ在闭区间上的最值 ,由于可以较好地考查学生的数学思想和思维能力 ,因而是一类很典型的题型 .通过画图我们可直观的得到 :二次函数 ｆ(ｘ) =ａｘ2 ｂｘ ｃ(ａ >0 )在ｘ∈[ｘ1 ,ｘ2 ]上的最值为 :1　若ｘ1 ≥ - ｂ2ａ,则ｆ(ｘ)有最小值 ｆ(ｘ1 ) ,最大值ｆ(ｘ2 ) ;2　若ｘ1 ≤ - ｂ2ａ≤ｘ2 ,则 ｆ(ｘ)有最小值 ｆ( - ｂ2ａ) ,最大值ｍａｘ{ｆ(ｘ1 ) ,ｆ(ｘ2 ) };3　若ｘ2 ≤ - ｂ2ａ,则 ｆ(ｘ)有最小值 ｆ(ｘ2 ) ,最大值ｆ(ｘ1 ) .至于ａ <0的情况有类似的性质 .例 1　 ( 1996年全国高中数学联赛题 )如…     

2003年第一期初中数学问题解答

一、求方程ｘ2 - 3ｘ + ｐ =0的整数根 ,其中ｐ为质数 .解 :令△ =( - 3) 2 - 4ｐ≥ 0 ,则 4ｐ≤ 9.∴ ｐ≤ 2 14 .∵ ｐ为质数 ,∴ｐ =2 .∴ｘ2 - 3ｘ + 2 =0 .解得ｘ1 =1,ｘ2 =2 .二、实数ｘ与ｙ,使得ｘ + ｙ,ｘ -ｙ ,ｘｙ ,ｘｙ 四个数中的三个有相同的数值 .求出所有具有这样性质的数对(ｘ ,ｙ) .解 :由于 ｘｙ 有意义 ,所以ｙ≠ 0 ,从而ｘ + ｙ≠ｘ -ｙ .因此 ,ｘｙ =ｘｙ ,即ｘｙ2 -ｘ =0 .所以ｘ =0或ｙ =± 1.( 1)若ｘ =0 ,则由ｘｙ =ｘ +ｙ或ｘｙ =ｘ -ｙ得 ｙ =0 ,这样与 ｙ≠ 0矛盾 .( 2 )若 ｙ =1,则由ｘｙ =ｘ + ｙ得ｘ =ｘ + …     

中考中二元二次方程组的新题型

近年来的中考数学试卷中 ,围绕二元二次方程组的知识 ,出现了一批考查应用与创新能力的新题型 ,归纳起来主要有 :一、探索构造型例 1　一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解是ｘ =2 ,ｙ =4和 ｘ =-2 ,ｙ =-4 .试写出符合要求的方程组.(只要填写一个即可 )(2 0 0 2年安徽省中考题 )分析　注意到 ｙ =2ｘ ,ｘｙ =8,ｘ2 + ｙ2 =2 0 ,等 ,可以构造出许多符合要求的二元二次方程组 ,如 :ｙ =2ｘ ,ｘｙ =8;2ｘ -ｙ =0 ,ｘ2 + ｙ2 =2 0 ;ｙ =2ｘ ,ｙ =ｘ2 + 2ｘ -4 ;等等 .随着你探索的角度不同 ,答案也不一样 .二、整体思…     

例谈数学思维的批判性

发展中学生的数学思维能力 ,特别是对思维品质的培养 ,是中学数学教学的一项重要任务 .近年来 ,高考中也注意了“加强对思维品质的考查” ,“无疑 ,对学生思维的灵活性、批判性、创新性等思维品质的考查是命题人员的新的探索与追求” .①所谓思维的批判性 ,就是善于发现问题 ,提出疑问 ,辨别是非的一种思维品质 .批判性的思维是一种实事求是、周到缜密的思维 .例 1　判断命题 :“设两曲线Ｃ1 ∶ｆ1 (ｘ ,ｙ) =0和Ｃ2 ∶ｆ2 (ｘ ,ｙ) =0有交点 ,则经过Ｃ1 和Ｃ2 交点的曲线的方程是 ｆ1 (ｘ ,ｙ) λｆ2 (ｘ ,ｙ) =0 ( ) ,其中λ∈Ｒ”的真假…     

一道课本习题的引申及其应用

题 :已知一个圆的直径的端点是Ａ (ｘ1,ｙ1) ,Ｂ(ｘ2 ,ｙ2 ) ,求证 :圆的方程是(ｘ -ｘ1) (ｘ -ｘ2 ) + (ｙ -ｙ1) (ｙ -ｙ2 ) =0 .这是人民教育出版社出版的全日制普通高级中学教科书 (试验本 )数学第二册 (上 ) (必修 )Ｐ82 第 3题 .把该题当结论应用 ,已有多文论及 ,本文将给出该题的推论和相应结论的应用 .推论　设直线ｌ∶Ｆ(ｘ ,ｙ) =0与二次曲线Ｇ(ｘ ,ｙ) =0交于不同的两点Ａ(ｘ1,ｙ1) ,Ｂ(ｘ2 ,ｙ2 ) ,由Ｆ(ｘ ,ｙ) =0Ｇ(ｘ ,ｙ) =0 分别消去 ｙ ,ｘ得 ｆ(ｘ) =0 ,ｇ(ｙ) =0 ,并使 ｆ(ｘ) ,ｇ(ｙ)的二次项系数相等 ,则以ＡＢ为直径…     

对《W. Janous 猜测的推广》的质疑

Ｗ .Ｊａｎｏｕｓ猜测 :设ｘ ,ｙ,ｚ>0 ,则ｙ2 -ｘ2ｚ +ｘ +ｚ2 -ｙ2ｘ +ｙ +ｘ2 -ｚ2ｙ +ｚ >0 ( )文 [1 ]用排序不等式给出猜测的一个证明 ,并对项数推广得到设ｘ1 >0 (ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ) ,记Ｓ =ｘ1 +ｘ2 +… +ｘｎ,则ｘ22 -ｘ21 Ｓ-ｘ2 +ｘ23-ｘ22Ｓ-ｘ3+… +ｘ21 -ｘ2 ｎＳ-ｘ1 ≥ 0这个推广的证明是错误的 .Ｗ .Ｊａｎｏｕｓ猜测隐含条件 :左边关于ｘ ,ｙ ,ｚ对称 (这需要验证 ) ,而上述推广不具有对称性 ,不能设ｘ1 ≥ｘ2 ≥…≥ｘｎ>0 .例如 :当ｎ=4时 ,ｘ1 =1 ,ｘ2 =2 ,ｘ3=3 ,ｘ4= 4与ｘ1 =3 ,ｘ2 =1 ,ｘ3=2 ,ｘ4=4所对应的结果是…     

2002年全国各地高考数学模拟试题集锦函数、不等式、数列

(接第 1 8期Ｐ48)　　解答题1.由 ｆ(2 ) =ｇ(2 ) - 1知点 (2 ,1)是两函数图象的公共点 .假定 ｆ(ｘ) ,ｇ(ｘ)的图象还有一个公共点(ｘ0 ,ｙ0 ) ,则 ｆ(ｘ0 ) =ｇ(ｘ0 ) =ｙ0 (1) ,ｌｇ3(1+ｘ0 ) =ｌｏｇ2 ｘ0 (ｘ0 >0 )即 1+ｘ0 =3ｌｏｇ2 ｘ0 ,即 1+ 2 ｌｏｇ2 ｘ0 =3ｌｏｇ2 ｘ0 ,令ｔ =ｌｏｇ2 ｘ0 ,∴ 1+ 2 ｔ=3ｔ,∴ (13) ｔ+ (23) ｔ=1(2 ) ,而 (13) ｔ+ (23) ｔ 为单调递减函数 ,故 (2 )仅一解ｔ =1,从而 (1)只有唯一解ｘ0 =2 .2 .1)由已知 ,将函数 ｙ =ｌｏｇ2 (ｘ + 1)进行坐标变换ｘ→ｘ + 1,ｙ→ ｙ2 . 得 ｙ2 =ｌｏｇ2 (ｘ + 1…     

上期课外练习解答

高一年级1.Ｂ ={ｍ ,ｎ},Ｃ ={ ,{ｍ},{ｎ},{ｍ ,ｎ}}.2 .设ａ→ =(ｘ1 ,ｙ1 ) ,ｂ→ =(ｘ2 ,ｙ2 ) ,ｃ→ =(ｘ3 ,ｙ3 ) ,则原方程可化为ｘ1 ｘ2 +ｘ2 ｘ+ｘ3 =0ｙ1 ｘ2 +ｙ2 ｘ+ｙ3 =0①②∵　ａ→ ,ｂ→ 不共线 ,即ａ→ 与ｂ→ 都不能为零向量 .∴　ｘ1 ,ｙ1 不同时为零 .( 1)若ｘ1 与ｙ1 中有一个为 0时 ,不妨设ｘ1 =0 .则由ａ→ ,ｂ→ 不共线知 ,ｘ2 ≠ 0 ,由①得ｘ =- ｘ1 ｘ2.这可能是②的解或不是②的解 ,即方程须有一组解或无解 .( 2 )若ｘ1 与ｙ1 都不为 0时 ,由① ,②解得ｘ =ｘ1 ｙ3 -ｘ3 ｙ1 ｘ2 ｙ1 -ｘ1 ｙ2.(唯一解 )综上 …     

2003年第二期初中数学问题解答

一、分解因式 :ｘ3+ｘ2 ｙ -ｘｙ2 -ｘｚ2 +ｙｚ2 -ｙ3.解 :原式 =(ｘ3+ｘ2 ｙ) -(ｘｙ2 +ｙ3) +(ｚ2 ｙ-ｘｚ2 )=(ｘ +ｙ)ｘ2 -ｙ2 (ｘ +ｙ) -ｚ2 (ｘ -ｙ)=(ｘ +ｙ) (ｘ2 -ｙ2 ) -ｚ2 (ｘ -ｙ)=(ｘ +ｙ) 2 (ｘ -ｙ) -ｚ2 (ｘ -ｙ)=(ｘ -ｙ) (ｘ +ｙ +ｚ) (ｘ +ｙ -ｚ) .二、方程 2ｘ -1 +ｘ -2 =ｘ +1的实数解的个数是多少 ?解 :令 2ｘ -1 =0 ,ｘ -2 =0 ,ｘ +1 =0 ,解得ｘ1=12 ,ｘ2 =2 ,ｘ3=-1 .则上述三点把实数集合分为 4个区间 :( -∞ ,-1 ) ,〔 -1 ,12 ) ,〔12 ,2〕 ,( 2 ,+∞ ) .经考查 ,在〔12 ,2〕上 ,方程恒成立 ,因此原方程的实…     

一类特殊方程的解法

第九届“希望杯”全国数学竞赛中有这样一道试题 :设α ,β分别为方程ｌｏｇ2 ｘ ｘ - 3=0和 2 ｘ ｘ -3=0的根 ,则α β =.现解答如下 .解法 1　 (观察法 )显见 1为后一方程的一根 ,又ｆ(ｘ) =2 ｘ ｘ - 3是增函数 ,则 1为后一方程的唯一实根 ,即 β =1.类似得α =2 ,则α β =3.解法 2　 (代入法 )由α为前一方程的根可得ｌｏｇ2 α α - 3=0 ,2 3-α=α ,则 2 3-α ( 3-α) - 3=0 ,即 3-α为后一方程的根 .由解法一知后一方程实根唯一 ,∴ β =3-α ,所以α β =3.图 1　解法 3图解法 3　 (图象法 )在同一坐标系中作出三个函数①ｙ …     

初二几何第一学期期末自测题

Ａ组一 .填空题 (每小题 3分 ,共 3 0分 )1 .△ＡＢＣ的三边长分别是 2ｘ ,3ｘ ,1 0 ,则ｘ的取值范围是 .2 .在Ｒｔ△ＡＢＣ中 ,∠Ｃ =90°,ａ =6,ｃ =1 0 ,则ｂ =.3 .一个等腰三角形底边上的中线为 4ｃｍ ,那么它底边上的高为ｃｍ .4.等腰三角形两边分别是 3ｃｍ和 4ｃｍ ,则它的周长是 .5 .若等腰三角形一个角为 1 0 0°,则另外两个角是.6.在△ＡＢＣ中 ,若 12 (∠Ａ +∠Ｂ) =45° ,则△ＡＢＣ为三角形 .7.在△ＡＢＣ中 ,∠Ａ∶∠Ｂ∶∠Ｃ =2∶3∶4,则∠Ａ =,∠Ｂ =,∠Ｃ =.8.若等边△ＡＢＣ的边长为ａ ,则△ＡＢＣ的面积Ｓ△ＡＢＣ= .9.…     

2002年各地中考数学试题转摘

一 .选择题 :1. (天津 )若两个分式 ｘｘ - 3与 6ｘ 3的和等于它们的积 ,则实数ｘ的值为 (　 ) .Ａ . - 6　　　Ｂ . 6　　　Ｃ . - 65　　　Ｄ . 652 . (浙江绍兴 )已知关于ｘ的一元二次方程ｘ2 -(Ｒ ｒ)ｘ 14 ｄ2 =0没有实数根 ,其中Ｒ ,ｒ分别为⊙Ｏ1 ,⊙Ｏ2 的半径 ,ｄ为此两圆的圆心距 ,则⊙Ｏ1 和⊙Ｏ2 的位置关系是 (　 ) .Ａ .外离　Ｂ .相切　Ｃ .相交　Ｄ .内含3. (山西 )有一种足球是由32块黑白相间的牛皮缝制而成的 (如图 ) ,黑皮可看作正五边形 ,白皮可看作正六边形 .设白皮有ｘ块 ,则黑皮有 ( 32 -ｘ)块 ,每块白皮有 6条边 ,共 6ｘ条边 ,因每块白皮有 3条边和黑皮连在一起 ,故黑皮共有 3ｘ条边 ,要求出白皮、黑皮的块数 ,列出的方程正确的是 (　 ) .Ａ . 3ｘ =32 -ｘ　　　　　Ｂ . 3ｘ =5( 32 -ｘ)Ｃ . 5ｘ =3( 32 -ｘ)Ｄ . 6ｘ=32 -ｘ4 . (山西 )如果关于ｘ的方程ｘ2 ｐｘ 1=0的一个实数根的倒数恰是它本身 ,那么ｐ的值是 (　 ) .Ａ ....     

两道代数题的几何解法

文 [1]日本高考题 :设θ∈ [0 ,π2 ],ｃｏｓ2 θ 2ｍｓｉｎθ - 2ｍ - 2 <0恒成立 ,求ｍ的取值范围 .原解答摘录如下 :解　原不等式等价于2 (1-ｍ) (1-ｓｉｎθ) <(1-ｓｉｎθ) 2 2 .令ｘ =1-ｓｉｎθ ,则 0≤ｘ≤ 1且2 (1-ｍ)ｘ <ｘ2 2 .1)若ｘ =0 ,不等式对任何ｍ总成立 .2 )若 0 <ｘ≤ 1,则2 (1-ｍ) <ｘ 2ｘ记 ｆ(ｘ) (1)由ｆ(ｘ) =ｘ 1ｘ 1ｘ ≥ 2 1=3知 ,当ｘ =1时 ,[ｆ(ｘ) ]ｍｉｎ=3,于是不等式 (1)对 0 <ｘ≤ 1恒成立当且仅当2 (1-ｍ) <[ｆ(ｘ) ]ｍｉｎ=3,即ｍ >- 12 .图 1　抛物线综合 1) ,2 )知ｍ的取值范围是 (- 12 , ∞…     

反函数的性质应用举例

我们知道 ,函数 ｙ =ｆ(ｘ)若存在反函数 ,则 ｙ =ｆ(ｘ)与它的反函数 ｙ =ｆ-1(ｘ)有如下性质 :性质　若 ｙ =ｆ-1(ｘ)是函数 ｙ =ｆ(ｘ)的反函数 ,则有ｆ(ａ) =ｂ ｆ-1(ｂ) =ａ .这一性质的几何解释是 ｙ =ｆ(ｘ)与其反函数 ｙ =ｆ-1(ｘ)的图象关于直线 ｙ=ｘ对称 .例 1　函数 ｙ =2 - 34ｘ -ｘ2 - 3( 1≤ｘ≤ 2 )的反函数是 ｙ =ｆ(ｘ) ,则 ｆ( 2 ) =.解　设 ｆ( 2 ) =ｘ ,则由性质知ｆ-1(ｘ) =2 ,即 2 - 34ｘ -ｘ3 - 3=2 ( 1≤ｘ≤ 2 ) ,化简得ｘ2 - 4ｘ + 3=0 ,解得ｘ =1 .所以 ｆ( 2 ) =1 .例 2　函数 ｆ(ｘ) =ｘ - 2ｘ +ａ的图象关…     

数学问题解答

20 0 1年 9月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 331　解方程 :8ｘ3- 6ｘ 1 =0(山东省新泰一中九九级 1 0班南区学生　田茂江　 2 71 2 0 0 )解 :将方程变形为 :12 =3ｘ - 4ｘ3ｓｉｎ( π6 2ｋπ) =3ｘ - 4ｘ3 ①由三倍角公式得ｓｉｎ( π6 2ｋπ) =3ｓｉｎ( π1 8 2ｋπ3)- 4ｓｉｎ3( π1 8 2ｋπ3)②由①②得ｘ =ｓｉｎ( π1 8 2ｋπ3)即ｘ1 =ｓｉｎ π1 8,ｘ2 =ｓｉｎ1 3π1 8,ｘ3=ｓｉｎ2 5π1 8又∵三次方程最多有三个根 ,∴以上即为原方程的全部根1 332　函数ｆ(ｘ) ,ｘ∈ [0 , ∞ ) ,ｆ(ｘ)不恒等于0 ,对任意ｘ ,ｙ∈ [0 , …     

对方程x~2/a~2+y~2/b~2=1中“x,y互换”的误解

先看一个例题 :两轴和坐标轴重合 ,一个顶点和一个焦点分别是直线ｘ + 3ｙ - 6 =0与坐标轴的交点 ,求此椭圆的方程 .错解 :直线ｘ + 3ｙ - 6 =0与两坐标轴的交点分别为Ａ(6 ,0 ) ,Ｂ(0 ,2 ) .若焦点在ｘ轴上 ,则椭圆半焦距ｃ =6 ,短半轴长ｂ =2 ,于是ａ2 =ｂ2 +ｃ2 =4 0 .故其方程为ｘ24 0 + ｙ24 =1. (1)若焦点在 ｙ轴上 ,则将 (1)中ｘ ,ｙ互换 ,得椭圆方程ｙ24 0 + ｘ24 =1(2 )错解分析　当焦点在ｘ轴上时 ,推出的方程(1)是正确的 .但焦点在 ｙ轴上时 ,得出的方程 (2 )就非所求了 .为什么呢 ?在方程 (2 )中 ,ａ =2 10 ,ｂ =2 ,则ｃ =6 .这…     

初三代数第一学期期中自测题

Ａ组一.填空题(每小题2分,共20分)1.方程ｘ2-5ｘ=0的根是.2.已知方程2ｘ2+ｋｘ-6=0的一个根为-3,则另一个根为;ｋ=.3.已知ｘ满足ｘ2-3ｘ+1=0,则ｘ+1ｘ的值为.4.已知三角形的两边长是4和7,第三边长是方程ｘ2-16ｘ+55=0的根,则第三边的长是.5.如果(3ｋ+1)ｘ2+2ｋｘ=-3是关于ｘ的一元二次方程,那么不等式ｋ-12≥4ｋ+13-1的解集为.6.把方程ｘ2-4ｘ-7=0的左边配成一个完全平方式时,得.7.已知ａ,ｂ,ｃ是△ＡＢＣ三条边的长,那么,方程ｃｘ2+(ａ+ｂ)ｘ+ｃ4=0的根的情况为.8.如果方程13ｘ2-2ｘ+ａ=0有实数根,那么ａ的取值范围是.9.若对任何实数ｘ,分…     

借“1”巧证不等式

“1”是最小的自然数 ,也是最简单的一个数 .它在三角函数中非常活跃 ,它在不等式的证明中也功不可没 .在不等式的证明中 ,如果能够充分发挥“1”的桥梁作用 ,有时有出奇制胜之效 .现举例说明如下 .1　借系数中的“1” .例 1　已知ｘ ,ｙ∈Ｒ 且ｘ3 ｙ3=2 ,求证 :ｘ ｙ≤ 2 .证　∵ｘ ,ｙ∈Ｒ 且ｘ3 ｙ3=2 ,∴ｘ ｙ =ｘ· 1· 1 ｙ· 1· 1≤ ｘ3 13 133 ｙ3 13 133 =ｘ3 ｙ3 43 =2 .当ｘ =ｙ =1时等号成立 .例 2　设ｘ ｙ ｚ =ａ (ａ >0 ) ,求证 :ｘ2 ｙ2 ｚ2 ≥ａ23 .证　由柯西不等式得 (ｘ·1 ｙ·1 ｚ·1) 2 ≤ (ｘ2 ｙ2 ｚ…     

试题研讨(13)

题 1　 (2 0 0 3年安徽省春季高考试题 )设α、β为 x2 - x - 1=0的根 ,且α>β,令 cn =αn -βn　 (n∈ N+) .(1)求 c1 ,c2 ,c3 ;(2 )证明 :1α2 n-1 +1α2 n >1c2 n-1 +1c2 n;(3)证明 :∑nk=11ck <α.命题溯源　数列与不等式相结合的题型是高考命题中的一个“热点”,在全国各地的综合测试卷中出现的频率较高 .1998年及2 0 0 2年高考都是以这类题型作为压轴题 ,它能很好的考查学生知识转化为能力的水平层次 .原题思路　 (1)解方程 x2 - x - 1=0得α =1+52 ,　β =1- 52 ,则c1 =α-β=5 ,c2 =α2 -β2 =5 ,c3 =α3 -β3 =2 5 .(2 )易得α+…     

不定方程x^2＋y^2＋z^2＋w^2正整数解的结构与表示

对于四元不定方程ｘ2 +ｙ2 +ｚ2 =ｗ2 ,显然 ,若 (ｘ ,ｙ ,ｚ ,ｗ) =(ｋｘ0 ,ｋｙ0 ,ｋｚ0 ,ｋｗ0 )(ｋ≠ 0 )是它的一个解 ,则 (ｘ ,ｙ ,ｚ ,ｗ ) =(ｘ0 ,ｙ0 ,ｚ0 ,ｗ0 )也必是它的一个解 .故只须考虑 (ｘ ,ｙ ,ｚ ,ｗ) =1 ,即ｘ ,ｙ ,ｚ ,ｗ四数互质的情况 .定理 1　 (解的结构 )若正整数ｘ ,ｙ ,ｚ ,ｗ满足ｘ2 +ｙ2 +ｚ2 =ｗ2 ,且 (ｘ ,ｙ ,ｚ ,ｗ) =1 ,则ｘ ,ｙ ,ｚ三个数中 ,必定是一个奇数、二个偶数 .证　ｘ ,ｙ ,ｚ三个数的奇偶性 ,共有四种情况 :①全为偶数 ;②全为奇数 ;③二奇一偶 ;④一奇二偶 .①若ｘ ,ｙ ,ｚ全是偶数 ,则ｗ也…